VI.-Гидродинамика (1109684), страница 106
Текст из файла (страница 106)
С течением времени профиль волны смещается: вычислим производную по времени от написанного интеграла. Поскольку скорость 2Ь,222г тоРис. 82 чек профиля волны определяется формулой (102.1), а скорость дх/Ж разрыва формулой (102,3)2 то мы получим "22 Р2 В2 -'УВ-КЗ =- 1 -"'" 1 .)= Р2 Р2 Р2 (при дифференцировании интеграла надо иметь в виду, что хотя сами пределы интегрирования о2 и о2 тоже меняются со временем, но значение х — х, на них всегда есть нуль и поэтому достаточно дифференцировать только под знаком интеграла). Таким образом, интеграл 1 (х — х,) Р122 остается с течением времени постоянным.
Поскольку же в начальный момент возникновения ударной волны он равен нулю (точки а, и е совпадают)., то и всегда / (х — х,)до=0. (102 А) ВЬВ22В Геометрически это означает, что площадь або равна площади с22е. Этим условием определяется положение разрыва. Образование разрывов в звуковой волне представляет собой пример самопроизвольного возникновения ударных волн в отсутствие каких бы то нн было особенностей во внешних условиях движения. Следует подчеркнуть, что хотя ударная волна может самопроизвольно возникнуть в некоторый дискретный момент времени, она не может столь же дискретным образом исчезнуть.
Раз возникну в2 ударная волна затухает в дальнейшем лишь асимптотически при неограниченном увеличении времени. Рассмотрим одиночный одномерный звуковой импульс сжатия газа, в котором уже успела образоваться ударная волна, и выясним, по какому закону будет происходить окончательное затухание этой волны. На поздних стадиях своего распространения линией изображен профиль распределения скоростей, соответствующий простой волне, и пусть отрезок ае есть возникающий в волне разрыв (х, --. его координата). Разность заштрихованных на рисунке площадей або и са2е определяется интегралом 536 Одномвгнок движкнив сжимлкмо!'о Глек гл. х рис.
83 а (значения величин, относящие в ся к этому моменту времени, будем отличать индексом 1) ') . Перемещая точки этого профиля со скоростями (102.1), мы получили бы по истечении времени 1 про- ( Ле) г л с филь А'В'С' (рис. 83 б). В деиствителье ности разрыв переходит в точку Е и ион, тинный профиль будет А'РЬ'.
Площади РВгЕ и СгЕЕ равны друг другу в силу л с,' < и условия (102А); поэтому. площадь А'РЕ нового профиля равна площади АВС исходного профиля. Пусть 1 —. длина звукоРис. 83 вого импульса в момент времени 1, а г"гп скачок скорости в ударной волне.
За время 1 точка В смещается относительно точки С на расстояние сг1(ЬО)1, .поэтому тангенс угла В'АС' равен (г."гпг)гг[11+ Ы(ЬР)1), и мы получаем условие равенства площадей АВС и А'РЕ в виде ( 1 ) 1в(.'1п)г 1г Ч- о1(Лс)~ откуда 1 =11[1+ '1~ г Ьп = (Ьп)1~1+ '1~ . (102.5) Полная энергия бегущего звукового импульса (отнесенная к еди- нице площади ее фронта) равна Е = р/ и г1т = Е~ ~1+ '1~ . (102.6) ) Здесь и ниже мы говорим о профиле распределения скорости о — имея в виду лишь простоту записи формул.
Фактически более интересной величиной являотся избыточное давление Р', отличающееся от с лишь постоянным множигелем: р = опросе); к нему относятся такие же результаты. Отметим, что знак в совпадает со знаком Р~, так что е > О отвечает сжатию, а с < Π— разрежению. Скорость перемещения точек профиля выражается через р формулой и = се(1 -г пор (Ро), г' = оРг'(Рс ) (для позитронного газа гз = (т + 1) г'(2 Г)).
е) Индекс же О, отличающий равновесные значения величин, будем ниже опускать. звуковой импульс с ударной волной будет иметь треугольный профиль скоростей, линейный профиль при своем дальнейшем деформировапии остается линейным ') . Пусть в некоторый момент времени (который примем за момент 1 = О) профиль изображается треугольником АВС на 537 ОВРЛЗОВАПВВ РАЗРЫВОВ В ЗВУКОВОЙ ВОЛ!!В 1 102 При 1 -+ ОО величина скачка в ударной волне и ее энергия затухают асимптотически как 1 ! (из!и, что то же, как х с расстоянием х = с8).
Длина же импульса возрастает как 1 ! Обратим внимание также на то, что предельное значение угла наклона профиля Ьг/1 — + 1/(О!) не зависит ни от величины скачка! ни от длины импульса. Рассмотрим теперь предельные (на больших расстояниях от источника) свойства ударных волн, образующихся в цилиндрических и сферических звуковых волнах (Л.Д. Линдау, 1945), Начнем с цилиндрического случая. На достаточно больших расстояниях г от оси такую волну в каждоъл небольшовл ее у.частке можно рассматривать как плоскую. Скорость перемещения каждой точки профиля волны будет тогда определяться формулой (102.1). Однако ешти мы хотим проследить с помощью этой формулы за смещением точки профиля на протяжении больших промежутков времени, то необходимо учесть, что амплитуда цилиндрической волны уже в первом приближении падает с расстоянием как г '!з.
Это значит., что для каждой точки профиля о будет не постоянной (как для плоской волны)., а будет убывать как г !!". Если п! есть значение о (длР! заданной точки профиля) на расстоянии (большов!) т!, то можно написать г = !!!(г!(Р) ' . Таким образом, для ско- 1,12 ° рости и точек профиля волны будем иметь и = с+с!п!! (102. 7) !1 !' Первый член представляет собой обычную скорость звука н соответствует перемещению волны Вбез изменения формы профиля» (отвлекаясь от общего уменьшения амплитуды как г !', т. е.
понимая под профилем распределение величины г~(г). Второй же член приводит к искажению профиля. Величина В этого дополнительного смещения точек профиля в течение времени (г — г!)7с получится интегрированием по г!т7с! бг = 2РР— 'л!!г! (~Гт — л!Рг!). (102.8) В Искажение профиля цилиндрической волны растет медленнее, чем у плоской волны (где смещение дх растет пропорционально самому проходимому. расстоянию л).
Но и здесь опо, разумеется, приводит в конце концов к образованию разрывов. Рассмотрим ударные волны, образующиеся в достаточно далеко удалившемся от источника (оси) одиночном цилиндрическом звуковом импульсе. Цилиндрический случай существенно отличается от плоского прежде всего тем, что одиночный импульс пе может состоять 538 ОДНОМКРИОК ДВИЖКПИК С'ЖИМЛКЫО!'О ГЛЗЛ гл х из одного только сжатия или только разрежения; если за передним фронтом звукового импульса имеется область сжатия, то за ней должна следовать область расширения (сх4.
8 71) ') . Точка максимального разрежения будет отставать от всех расположенных сзади нее, в результате чего и здесь возникнет опрокидывание профиля и появится разрыв. Таким образом, в цилиндрическом звуковом импульсе образуются две ударные волны. В переднем разрыве скорость скачком возрастает от нуля, затем шгедует область постепенного уменыпения сжатия, сменяющегося разрежением, после чего давление вновь возрастает скачком во втором разрыве. Но цилиндрический звуковой импульс специфичен (по сравнению как с плоским, так и сферическим случаями) еще и в том отношении, что он не схюжет !лметь заднего фронта --- стремление и к нулю происходит лишь асимптотически. Это приводит к тому, что в заднем разрыве н возрастает не до нуля, а лишь до некоторого конечного (отрицательного) значения, и лишь затем асимптотически стремится 4т о к нулю.
В результате возникает профиль изображенного на рис. 84 вида. Предельный закон, по которому будет происходить окончательное затухание ударных волн со временем (или, что то же, с расстоянием г от оси), можно найти апаРис. 84 логично тому; как зто было сделано вьппе для плоского случая. Из приведенного там вывода видно, что предельный закон отвечает времени, когда смещение бг верхней точки профиля становится уже большим но сравнению с «первоначальной» шириной импульса 11 (под которой будем понимать, например, расстояние от переднего разрыва до точки с н = О). Это смегпение на пути от г! до г « г! есть 2О бг = — (Ьн)„Я,т, с где (гзп)1 «первоначальный» (!га расстоянии г1) скачок на переднем разрыве.
Тогда «конечный» тангенс угла наклона линейной части профиля между разрывами будет м,угг1 (Ьн) ~бг— — с((2о»/т). Условие постоянства площади профиля дает 11»уг!(удн)! = 12с((гг /г), откуда 1 а г1)4 (вместо закона 1 а т112 в плоском случае). Предельный закон убывания скачка гзп в переднем разрыве полу.чается затем из 1хугЬИ = сопк1з т. е. — 3/4 (102.9) 1 ) Мы будем иметь в виду именно такое расположение. Оно отвечает, в частности, применению излагаемых резул»латов к уЗ!арныл! волнам, возникмоп!Им при сверхзвуковом движении коночного тела Я 122). 539 1 102 ОВРЛЗОВАВНВ РАЗРЫВОВ В ЗВУКОВОЙ ВОЛНВ Наконец, рассмотрим сферический случай ') . Общее убывание амплитуды расходящейся звуковой волны происходит как 1(г (где г теперь расстояние от центра).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
