VI.-Гидродинамика (1109684), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Условие сшивания простой волны с общим решением на граничной характеристике получается подстановкой выражений (105.1) для х и 1 в уравнение простой волны х = (о ш с)1+ 1'1о)) это дает ~ ш — ~+1(о) =О. Кроме того, в простой волне (и на граничной характеристике) имеел! Г)О=~ — Р=~ —, ус с или шс = |1ш|'|1о. Подставив это в написанное условие, получим — + — — + 1'(о) = — + )'(о) = О, дх дх с1ш дх до дш Й~ ||Р откуда окончательно Х=- /Йо))о, (105.11) чем и определяется искомое граничное значение Х. В частности если простая волна центрирована в начале координат, т.
е. у" (о) = О, то Х = сопв1; поскольку функция Х вообще определена лишь с точностью до аддитивной постоянной, то в этом случае можно, не уменьшая общности, положить на граничной характеристике х = О. ') Если волна разрежения возникает от поршня, который начинает выдвигаться из трубы с постоянной скоростьк|,то С есть скорость поршня. Задачи 1. Определить движение, возникающее при отражении центрированной волны разрежения от твердой стенки. Р е ш е н и е.
Пусть волна разрежения возникаот в момент | = О в точке х = О и распространяется в положительном направлении оси х; она дойдет до стенки через промежуток времени | = 1/Ге, где 1 — расстояние до стенки. На рис. 91 изображена диаграмма характеристик для процесса отражения волны. Н областях 1 и |' газ неподвижен, в области 3 движется с постоянной скоростью е = — бг ) . Область й есть падающая волна разреже! ния (с прямолинейными характеристиками Са), а 5 -- отраженная волна (с прямолинейными характеристиками С ). Область 4 есть «область взаимодойствия|ч в которой должно быть найдено решение; попадая в зту область, 556 гл х ОДНОМВРНОК ДВИЖКИИВ СЖИМЛКЭ|ОГО ГЛЗЛ а: = 0 и х = 21 и распростраияюп!ихся навстречу друг другу, как это очевидно из соображений симметрии !рис.
93). 2. Вывести уравнение, аналогичное уравнению (105.3), для одномерного изотермнческого движения идеального газа. Р е ш е н и е. Для изотермического движения в уравнении Бернулли вмеСто топлОвОй функции ю стоит величина Г йр ° Г йр р = ~ — = с!.~ — =от!пр, Р Р где с! = (ОРГдр)т --квадрат изотермической скорости звука; у идеального газа в изотермическом случае ст = сонэк Выбрав эту величину (вместо ш) в качестве независимой переменной, получим тем же способом, что и в тексте, для функции Х следующее линейное уравнение с постоянными коэффиггиеитаь!Й! , д'х дх а'х ст —, -~- — — —, = О.
дре др доа 9 106. Задача о сильном взрыве Рассмотрим распространение сферической ударной волны большой мощности, возникшей в результате сильного взрыва, т. е. мгновенного выделения в некотором небольшом объеме большого количества энергии (которую обозначим буквой Е); газ, в котором волна распространяется, будем считать политропным ') .
Мы будем рассматривать волну па расстояниях, не слишком дсигеких от источника, .в той области, где волна обладает еще большой интенсивностью. В то же время эти расстояния предполагаются большими по сравнению с размерами источника: это дает возможность считать, что выделение энергии Е произошло в одной точке (в начале координат). Большая интенсивность ударной волны означает, что скачок давления в ней очень велик. Мы будем считать, что давление р2 позади разрыва настолько велико по сравнению с давлением рг невозмущенного газа впереди него, что ра з-~-1 — » —. ш '!' 1 Это дает возможность везде пренебрегать р! по сравнению с р2, причем отношение плотностей р2/рг будет равно своему предельному значению 1'у+ 1)7!( у — 1) (сх!.
3 89). Таким образом, вся картина движения газа будет определяться всего двумя параметрами: начальной плотностью газа р1 и вы! ) Взлагаел!ое ниже решение этой задачи получено независимо Л.И. Седооым (1946) и Нейманом (У. еоп Неигаапп, 1947). С меньшей полнотой (без построения аналитического решения уравнений) задача была рассмотрена Тейлором (О.й Тау1ог, 1941, опубликовано в 1950). 557 1 >об ЗАДА'1А О СНЛЬНОХ1 ВЗРЫВЕ деляющейся при взрыве энергией Е. Из этих параметров и двух независимых переменных времени 1 и координаты 1расстояния от центра) г можно составить всего одну независимую безразмерную комбинацию, которую мы напишем в виде г(р~/1Е1 )) 1 В результате все движение будет обладать определенной автомодельностью. Прежде всего можно утверждать, что положение самой ударной волны в каждый момент времени должно соответствовать определенному постоянному значению указанной безразморной комбинации.
Тем самым сразу определяется закон перемещения ударной волны со временем, обозначив расстояние волны от центра буквой В, имеем (ет>) 1/б 1106.1) где 18 числовая постоянная 1зависящая от у), которая сама определится в результате решения уравнений движения. Скорость распространения ударной волны 1скорость относительно невозмущениого газа, т. е. относительно неподвижной системы координат): И 9Л 25Е1Ы и1 = — = — = сн 51 5 1>'тзы Р1 1106.2) из = и>1 рз = р1, рз = р>й1.
1106.3) т ч-1 з+1 т — 1' я+1 Плотность остается постоянной во времени, а ио и р2 убывают соответственно как 1 ~1~ и 1 ~1'. Отметим также, что создаваемое ударной волной давление ро растет с увеличением полной ' "ерг'" "'рыва "' Е У . Перейдем, далее, к определению движения газа во всей области за ударной волной. Введем вместо скорости и, плотности р ') Оиределиел1ые форл1улами 189.11) скорости ударной Волны относительно газа мы обозначаем здесь как и> и ит.
Таким образом, в рассматриваемой задаче закон движения ударной волны определяется 1с точностью до постоянного множителя) уже из простых соображений размерности. Давление ро, плотность ро и скорость и> = ит — и1 газа 1относительно неподвижной систомы координат) на «задней» стороне разрыва могут быть выражены через и> гю полученным в 9 89 формулам.
Согласно 189.10), 189.11) имеем ') 558 ОДИОЫВРИОВ ДВИЖВНИВ СЖИМЛВМОГО ГЛЗЛ гл х газа и квадрата с = Зр/р скорости звука в нем (который заменит собой переменную р давление) безразмерные переменные 1', С, ю, определив их следующими соотношениями '): 255> бг (106.4) р=р>С, Величины Р', С, Я могут быть функциями только одной без- размерной независимой вавтомодельной» переменной, которую определим как 1/5 й0) д(гг ) (106.5) В соответствии с (106.3), на поверхности разрыва (т. е. при С = 1) они должны принимать значения Г(1) = —, С(1) = ~, У(1) = ' ' .
(106.6) з-ь1' Ь + 1)' Уравнения центрально-симметричного адиабатического движе- ния газа гласят: до дв 1 др др д1рг) 2ри — +о — = — — —, — + — + — =О, дг дг рдг' дг дг г (106.7) — + и — ) 1п — = О. (- -) -= д д 1 р д~ дг) рт ') Не смешивать обозначение Р в этом и следуювдем параграфах с обозначением удельного объема в других местах! Последнее уравнение есть уравнение сохранения энтропии, в которое подставлено выражение (83.12) для энтропии политропного газа.
После подстановки выражений (106.4) получается система уравнений в полных производных для функций Ъ', .С, ю. Интегрирование этой системы облегчается тем, что один из ее интегралов может быть написан непосредственно из следующих сообра>кений. Тот факт, что мы пренебрегаем давлением 1» певозмущенного газа, означает, другими словами, что мы пренебрегаем первоначальной энергией газа по сравнению с энергией Е, приобретаемой им в результате взрыва. Поэтому ясно,что полная энергия газа внутри ограниченной ударной волной сферы постоянна 1и равна Е). Более того, ввиду автомодельности движения очевидно, что должна оставаться неизменной энергия газа и внутри любой сферы меньшего радиуса, расширя>ощейся со временем по закону с = сопв1 с любым (а не только равным 1) значением сопвФ; радиальная скорость перемещения точек этой сферы равна и„= 2РЯ51) (ср.
1106.2)). 559 ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВВ Легко написать уравнение, выражающее это постоянство энергии. С одной стороны, в течение времени Ж через поверхность сферы (площади 4ууг ) уходит энергия у11 4пгэуун(ну+ — ). С другой стороны, за это же время объем сферы увеличивается на элемент у11 4ягяип, внутри которого заключен газ с энергией у1г 4уугяппр(а+ — 1. 2/ Приравняв эти два выражения друг другу, подставив а и пу из (83.10), (83.11) и введя безразмерные функции согласно (106.4), получим соотношение (, 1)11 1у)1, з 2( ун — 1) (106.8) 11~ ~1,) 7)пс и'1п5 Н!п5 и'1ВЯ,,41ВС 5 — 21' 1'у 1! п'1ВС и'1пс 1 — Г (106.9) Из этих двух уравнений с помощью соотношения (106.8) выра- жаем производные аУР'/у1 1п С и у11п С,Уу1Р" в виде функций только от 11, после чего интегрирование с учетом граничных условий (106.6) приводит к следующим результатам: 2 1 (7 — ) ~ — 1 х [ 11 — 1")], (106.10) 13 уз — 7 у Ь 12 5( у — 1) Ру =— М2 (3 у — 1) (27 + 1) 2 у + 1 3 мз = 21+1 2 Ра =— 2 — у Р1 Ку =— 2 — у которое и является искомым интегралом системы уравнений, автоматически удовлетворящим граничным условиям (106.6).
После установления интеграла (106.8) интегрирование системы уравнений элементарно, хотя и громоздко. Второе и третье из уравнений (106.7) дают 560 Одномвгнов двнжвнив сжимлкмого Газа гл. х Формулы 1106.8), 1106.10) дают полное решение поставленной задачи. Постоянная Р', входящая в определение независимой переменной ~, определяется условием Е / Р( + ) 4ягт г)г о выражающим равенство полной энергии газа энергии взрыва Е. После введения безразмерных величин это условие принимает вид 1бяро ~ ~ ~1'е У о 1106.11) Так, для воздуха ( у = 7/5) оказывается Д = 1,033. Из формул 1106.10) легко видеть, что при ~ — + 0 функция Г стремится к постоянному пределу, а функция С --- к пулю по законам !.х ~б/и2 д з! (без/Ре е/еэ Отсюда следует, что отношения н/02 и р/'р2 как функции отношения г/Л = ~ стрекиятся при ( — э 0 к нулю по законам а/рэ ю/02 сх г/К! Р/Р2 ос )г/Я)5/~з )! О ОД „1,О 1106.12) отношение же давлений р/р2 стремится к Рис.
94 постоянному пределу, а отношение температур соответственно к бесконечности ') . На рис. 04 изображены графически величины и/02, р/р2 и р/р2 как функции г/Л для воздуха 17 = 1,4). Обращает на себя внимание очень быстрое убывание плотности по направлению внутрь сферы: почти все вещество сконцентрировано в сравнительно узком слое позади фронта ударной волны. Это обстоя- 0,5 ) Эти утверждения относятся к значениям З < 7 !при этом функция Ъ'(Я) меняется от значения Р!1) = 2/1т -~- 1) до 1"!0) = 1/ у). Для реальных газов, термодинамические функции которых можно было бы аппроксимировать ормулами для политропного газа, это неравенство заведомо выполняется фактически верхним пределом З является в этом смысле значение б/3, отвечающее одноатомиому газу).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
