VI.-Гидродинамика (1109684), страница 114
Текст из файла (страница 114)
(99.13)). Пользуясь эти»ли формулами, представим интеграл (109.9) в виде "1' — 1 ХГСŠ— С' критическая скорость (см. (83.14)). Отсюда /т+1 с 1р =,)' ~ агссов — + сог1В$, )1 У вЂ” 1 Е. где с„ или, выбирая начало отсчета р так, чтобы сопв1 = 0, имеем /~ -Т П =С=С,СО — 1Р. Ф 1/- (109. 12) Согласно формуле (109.8) получаем отсюда 111 = сЕ В1п 1Р. (109.13) )/.— Далее, воспользовавшись уравнением адиабаты Пуассона в виде (109.11), находим зависимость давления от угла 1р: ет ='(- Н)— Наконец, для угла т (109.6) имеем т = 1Р+ агсф8(1 ~ с$81 1Р) (109.15) т1 Ч-»г И ЧЧ-~ (угол Р отсчитывается от того же направления, от которого отсчитывается 1р).
(109.14) Из сказанного можно вывести важное следствие. Возму1цения, вызывающие образование слабых разрывов, исходят от особой линии (оси е) и распространяются по аправлепию от нее. Это значит, что ограничивающие волну разрежения слабые разрывы должны быть «исходящими» по отношению к втой линии, т. е. компонента скорости и,, касательная к слабому разрыву, должка быть положительна. Таким образом, мы оправдали сделанный в (109.8) выбор знака у о„. Применим теперь полученные форе|улы к политропному газу.
В таком газе ю = сй/( у — 1); уравнение же адиабаты Пуассона можно написать в виде рс ЙД' П = сопе1, рс ~~11т П = сопе1 575 8 109 ВОЛНА РАЗРВ1КВНИЯ Поскольку должно быть е1 > О, с > О, то угол 91 в этих формулах может меняться только в пределах между 99 = 0 и 91 = 92 где 11 /+1 9 п1ах = -~/ 2 )/'у — 1 (109.16) Это значит, что волна разрежения может занимать сектор с углом РаствоРа, не пРевышающим 91юах; так, Дла двУхатомного газа (воздух) этот угол равен 219,3'. При и:зменепии 99 от 0 до узюах угол )с меняется от к/2 до 99~~,. Таким образом, направление скорости в волне разрежения может повернуться на угол, не превышающий зуюа - — уг/2 (для воздуха 129,3').
При 1р = 1р„,ах давление обращается в нуль. Другими словами, если волна разрежения простирается вплоть до этого утла, то ограничивающий ее с этой стороны слабый разрыв представляет собой границу с вакуумом. При этом он, естественно, совпадает с одной из линии тока; имеем здесь: и, =с=О, 11г Е ~/ С* — ПВ1ах1 + рс, р,'о 0,8 рад 120 0,6 0,4 80 40 0,2 0 ад 0 40 80 120 160 19, гР Рис. 97 Рис.
98 Полезно заметить форму, которую имеет определяемая формулами (109.12), ((109.13) кривая в плоскости пте„(так называемый годограф скоростей). Это — дуга эпициклоиды, построенной между окружностями радиусов е = с, и е = пю, (рис. 98). Задачи 1. Определить форму линий тока в волне разрежения. Р е ш е н и е. Уравнение линий тока для двумерного движения в полярных координатах есть с)г)о„= г ссу/о . Подставляя сюда 1109.12), 1109.13) и т. е, скорость направлена по радиусу и достигает своего предель- НОГО ЗНаЧЕНИя оспах (СМ. 8 83). На рис. 97 даны графики величин рсср„с„с1е и т как функции угла ~р для воздуха ( у = 1,4). 576 пвгвов !илие повегхност'вй Рлзгыва 1'Л Х1 интегрируя, получаем 'у -~- 1 г= ге сов <р Эти линии тока представлягот собой семейства подобных кривых, обращенных своей вогнутостью в сторону начала координат, являющегося центром подобия.
2. Определить наибольший возможный угол между слабыми разрывами, ограничивающими волну разрежения, при заданных значениях 11, с1- скорости газа и скорости звука на первом из них. Р е ш е н и е. Для соответствующего первому разрыву значения угла ус находим из (109.12)1 у-г1 с1 агссов — . ')) у — 1 с, ЗначениЯ же З1е = У1, г, так что искомый Угол Равен )з~+ 1 . с1 Зсз — Фг = агсв1п —. ~/, с, Критическая скорость с, выражается через о1, с1 уравнением Бернулли с', г,' у+1 П1 à — = + — = С,. 2 у — 1 2 2(у — 1) * Панбольший возможный угол поворота скорости газа в волне разре- жения получится соответственно с помощью (109.15) как разность Х„,ь„= = х('р1) — х0ре)1 Ч-~-1 .
с1 . с1 Х * = — агсгйп — — агстйп —. ~( у — 1 с. ш Как функция от о1/с1, Х а„имеет напбольшее значение при е1/с1 = 1 Х Нрн с1/сг — > со Х„„стремится к нулю, как 2 сг Х 7 1 9 110. Типы пересечений поверхностей разрыва Ударные волны могут пересекаться друг с другом, это пересечение происходит вдоль некоторой линии. Рассматривая движение в окрестности небольших участков этой линии, мы можем считать ее прямой., а поверхности разрывов плоскими.
Таким образом, достаточно рассмотреть пересечение плоских ударных воли. 577 типы пеРьс'ичьний иовеРхноо"!'ий РАЭРывА 1 по Линия пересечения разрывов представляет собой в математическом отношении особую линию (как уже указывалось в начале 9 109). Вся картина движения вокруг нее складывается из ряда секториальных областей, в каждой из которых имеется либо однородный поток, либо описанная в 9 109 волна разрежения. Ниже излагается общая классификация возможных типов пересечения поверхностей разрывов '). Прежде всего необходимо сделать следующее замечание. Если по обе стороны ударной волны движение газа является сверхзвуковым, то (как было указано в начале 9 92) можно говорить о «направлении» ударной волны и соответственно этому различать ударные волны, «исходящие» от линии пересечения, и волны, «приходящие» к ней.
В первом случае касательная составляющая скорости направлена от линии пересечения, и можно сказать, что возмущения, вызывающие образование разрыва, исходят от этой линии. Во втором же случае возмущения исходят из какого-то места, постороннего по отношению к линии пересечения. Если по одну из сторон от ударной волны движение является дозвуковым, то возмущения распространяются в обе стороны вдоль ее поверхности и понятие о направлении волны теряет, строго говоря, смысл. Для нижеследующих рассуждений существенно, однако, .что вдоль такого разрыва могут распространяться исходящие от места пересечения возмущения. В этом смысле подобные ударные волны в излагаемых ниже рассуждениях играют ту же роль, что и чисто сверхзвуковые исходящие волны, и под исходящими ударными волнами ниже подразумеваются обе эти категории волн.
На следующих ниже рисунках изображаются картины течения в плоскости, перпендикулярной к линии пересечения. Без ограничения общности можно считать, что движение происходит в этой плоскости. Параллельная линии пересечения (а потому и всем плоскостям разрывов) компонента скорости должна быть одинакова во всех областях вокруг линии пересечения и поэтому надлежащим выбором системы координат может быть всегда обращена в нуль. Укажем, прежде всего, некоторые заведомо невозможные конфигурации.
Легко видеть, что не может быть такого пересечения ударных волн, при котором нет хотя бы одной приходящей волны. Так! при изображенном на рис. 99 а пересечении двух уходящих ударных волн линии тока натекающего слева потока отклонились бы в разные стороны, между тем как во всей области 9 ) Она была дана Л.Д. Ландау (1944), а в некоторых пунктах (относящихся к взаимодействию ударных волн с тангенписо!иными и слабыми разрывами) дополнена С.77.
Д»лкоом.м (1954). 19 л. Д. ландау и е.'!4. лифшиц, том 111 578 НЬРЕСЕ 1ЕНИЕ НСВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА ГЛ Х1 скорость должна быть постоянной; это затруднение не может быть преодолено введением в область 2 еще каких-либо других разрывов ') . Аналогичным образом убеждаемся в невозможности изображенного на рис. 99 б пересечения уходящей ударной волны с уходящей же волной разрежения; хотя в такой картине и можно добиться постоянства направления скорости в области 2, но при этом не может быть выполнено условие постоянства давления, так как в ударной волне давление возрастает, а в волне разрежения — падает.
ь 2 з о в '1 3 а б оладьей разрыв Тангенц. Лнннл нюне разрыв Ударнал волна Рис. 99 ') Чтобы не загромождать текст однообразными рассуждениями, ыы не будем приводить аналогичные соображения для случаев, когда имеются области дозвукового движения и уходящей волной является в действительности ударная волна, граничащая с дозвуковой областью. Далее, поскольку пересечение не может оказывать обратного влияния на приходящие ударные волны, то одновременное пересечение (вдоль общей линии) более чем двух таких волн,возникающих от каких-то посторонних причин, было бы невероятной случайностью. Таким образом, в картине пересечения могут участвовать всего лишь одна или две приходящие ударные волны. Весьма существенно следующее обстоятельство: протекающий мимо точки пересечения газ может пройти лишь через одну исходящую из этой точки ударную волну или волну разрежения.
Пусть, например, газ проходит через следующие друг за другом две исходящие из точки О ударные волны, как это показано на рис. 99 е. Поскольку позади волны Оа нормальная компонента скорости сон ( со, то тем более была бы меныпе сз нормальная к волне 06 компонента скорости в области 2 в противоречии с основным свойством ударных волн. Аналогичным образом убеждаемся в невозможности прохождения газа через следующие одна за другой исходящие из точки О две волны разрежения или волну разрежения и ударную волну.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
