VI.-Гидродинамика (1109684), страница 118
Текст из файла (страница 118)
С качественной стороны картина выглядит следующим образом. Как и при аналогичном обтекании плоского угла, должна возникнуть ударная волна (А. Вияетапп, 1929); из соображений симметрии очевидно, что зта волна будет представлять собой коническую поверхность, коаксиальпую с обтекаемым конусом и имеюшую общую с ним вершину (на рис. 114 изображен разрез конуса плоскостью, проходящей через его ось).
Однако в отличие от плоского случая ударная волна не осуществляет здесь поворота скорости газа на полный угол х, необходимый для течения вдоль поверхности конуса (2Х вЂ” угол раствора конуса). После перехода через поверхность раз- Рис. 114 рыва линии тока искривляются, асимптотически приближаясь к образующим обтекаемого конуса. Это искривление сопровождается непрерывным уплотнением (добавочным к уплотнению в самой волне) и соответственным падением скорости. Изменение направления и величины скорости на самой ударной волне определяется ударной полярой, причем и здесь осу щс- 592 пьевсв'!яник поввгхпОсткй Рлзеыва Гл х! ствляется решение, отвечающее «слабой» ветви поляры ') .
Соответственно! для каждого значения числа Маха натекающего потока М! = О17'с! существует определенное предельное значение Утла полУРаствоРа конУса 7~ аю за котоРым такое обтекание становится невозможным и ударная волна «отсоединяется» от вершины конуса. Поскольку за ударной волной происходит дополнительный поворот течения, значения у „для обтекания конуса превышают (при одинаковых М!) значения )сшах для плоского случая (обтекания клина). Непосредственно за ударной волной движение газа обычно сверхзвуковое, но может быть и дозвуковым (пРи )с, близких к Кшах).
СвеРхзвУковое за УдаРной волной течение по мере приближения к поверхности конуса может стать дозвуковым., и тогда на определенной конической поверхности скорость проходит через звуковое значение. Коническая ударная волна пересекает все линии тока натекающего потока под одинаковым углом, а потому обладает постоянной интенсивностью. Отсюда следует (си!. ниже 8 114), что и за ударной волной течение будет иззнтропическим и потенциальным. В силу симметрии задачи и ее автомодельности (отсутствия в ее условиях какой-либо характеристической постоянной длины) очевидно, что распределение всех величин (скорости, давления) в потоке за ударной волной будет функцией только от угла О наклона к оси конуса (оси т на рис. 114) радиус-вектора, проведенного в данную точку из вершины конуса. Соответственно уравнения движения сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям; граничные условия к этим уравнениям на ударной волне определяются уравнением ударной поляры, а на поверхности конуса требуют параллельности скорости образующим конуса.
Эти уравнения, однако, не могут быть проинтегрированы в аналитическом виде и должны решаться численным образом. Отсылая за результатами таких вычислений к оригинальным источникам э) ! мы ограничимся лишь кривой (см. рис. 65), дающей зависимость предельного допустимого угла раствора конуса 2)бшах как фУнкции числа М!. Укажем также, что пРи М! — э 1 Угол гшах ст)темитси к нУлю по закону' (113.1) ! ) Это может, однако, быть пе так при некоторых «экзотических» формах обтекаемого тела.
'Гак, существуют указания на отбор волны «сильного» семейства при обтекании конуса на переднел! крае широкого тупого тела. !) См. Тау1ог 0.7., з1«ассо1 з. Иг. О Ргос.. йоу. $ос. 1933. У. 139А. Р. 278: Массо1 7. И'. !!' Ргос. гсоу. Яос. 1937. МА 159А. Р. 459. См. также изложение в кнх Кочин Й.Е., Кобель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика.— 51.: Физ»затгиз, 1963, ч. 11, 3 27. 393 1 из ОБТБКАНИК КОНИЧЕСКОГО ОСТРИЯ как это можно заключить на основании общего околозвукового закона подобия (12б.11) (сопв1 есть число, не зависящее ни от Мы ни от рода газа).
Замкнутое аналитическое решение задачи об обтекании конуса возможно лишь в предельном случае малых углов раствора конуса (ТЬ. Кагтап, М.В. Моог, 1932). Очевидно, что в таком случае скорость газа во всем пространстве будет лишь незначительно отличаться от скорости Аг1 натекающего потока. Обозначив буквой ч малую разность между скоростью газа в данной точко и скоростью ч1 и введя ее потенциал у, мы можем применить для последнего линеаризованное уравнение (114.4); если ввести цилиндрические координаты я, г, ы с осью вдоль оси конуса (ы полярный угол), это уравнение примет вид (113.2) или для осесимметрического движения (113. 3) где введено обозначение (113.4) Для того чтобы распределение скорости было функцией только от угла О, потенциал должен иметь вид ~р = я1(с), где с = = г/я = 1~0.
Сделав подстановку, получим для функции 11~) уРавнение которое решается элементарно. Тривиальное решение ~ = сопв1 соответствует однородному потоку, а второе решение есть ~( Д вЂ” А ~ — А ~ — ). 11 Я Граничное условие на поверхности конуса (т. с. при С = 1я Х-Х) гласит: (113.5) или 1' = Н1Х. Отсюда сопв$ = н1Х~, и в резулгпате получим следующее окончательное выражение для потенциала (в 594 пкРеок 1кпие повеРхност'ей РАЗРЬ1вк 1'Л Х1 области и > ~г ') х'(~й~ — Зь — *А ь — *1.
,Зг ~ (113. 6) Обратим внимание на то, что 1р имеет при г — Р О логарифмическую особенность. Отсюда находим компоненты скорости: — (113.7) г 21' 2 1'~ р — р1 = р1 н~ 1г ~ 1п — — — 1. Д 2)' (113. 8) Все эти формулы, полученные с помощью липеаризовапной тео- рии, теряют применимость при слишком болыпих значениях МЫ сравнимых с 1/1С (сьг. 9 127).
) В рассматриваемом приближении конус е = бг представляет собой поверхность слабого разрыва. В следу1ощем1 приближении появляется ударная водна, интенсивность которой (относительный скачок давлония) пропорциональна т~, а угол полураствора превосходит угол Маха на величину, тоже пропорциональную Х". Давление на поверхности конуса вычисляется с помощью формулы (114.5): благодаря логарифмической особенности 1д при г — + 0 скорость н„на самой поверхности конуса (т, е, при малых г) велика по сравнению с не, и потому в формуле для давления должен быть сохранен член с и,. Б результате получим 2 ГЛАВА ХП ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СяКИМАЕМОГО ГАЗА я 114. Потенциальное движение сжимаемого газа Мы встретимся в дальнейшем с многочисленными важными случаями, когда движение сжимаемого газа можно рассматривать как потенциальное практически во всем пространстве.
Здесь мы выведем общие уравнения потенциального течения и рассмотрим в общем виде вопрос об их применимости ') . Потенциальпость течения сжимаемого газа нарушается, вообще говоря, ударными волнами; после прохождения через ударную волну потенциальный поток становится в общем случае вихревым. Исключение представляют, однако, случаи, когда стационарный потенциальный поток проходит через ударную волну зюстоянной (вдоль всей ее поверхности) интенсивности; таковы, например, случаи, когда однородный поток проходит волну,пересекающую все линии тока под одинаковым углом ') .
В таких случаях течение остается потенциальным и позади ударной волны. Для доказательства этого утверждения воспользуемся уравнением Эйлера, написанным в виде 1 2 1 - Tн — [и го1 и] = — - чр 2 Р (ср. ( 2. 10) ), или г, '1У(ш+ — ] — ~игго1у] = ТгУя, 2 где учтено термодинамическое соотношение сно = Тс1а+ с1р/р. Но в потенциальном потоке перед ударной волной ш + с~/2 = = сопв1, а на ударной волне эта величина непрерывна; поэтому она останется постоянной и во всем пространстве позади у21арной волны, так что будем иметь '1ч го$ у] = — Т ча. (114.1) Потенциальный поток перед ударной волной изэнтропичен. В общем случае произвольной ударной волны с переменным ' ) В етом параграфе течение етде не предполагается плоским! е) С такими случаями мы уже встречались при изучении сверхзвукового обтекания клина и конуса Я 112, 113).
596 плОскОЕ те !еиик сжиь!Аке!О!'О ГАИА ГЛ Х!! вдоль ее поверхности скачком энтропии в пространстве за волной градиент х в у'= О, а вместе с ним будет отличен от нуля и го1 А!. Однако если ударная волна обладает постоянной интенсивностью, то и скачок энтропии в ней постоянен, так что течение за ней тоже будет изэнтропическим, т. е, Tв = О. Отсюда следует, что либо гоех! = О, либо векторы гобм и м везде параллельны друг другу. Но последний случай невозможен: на самой ударной волне м во всяком случае имеет отличную от нуля нормальную компоненту, а нормальная компонента соим равна нулю (нормальная компонента го1 ч определяется тангенциальными производными от тангенциальных компонент скорости, непрерывных на поверхности разрыва).
Другой важный случай, когда лотенциальность течения можно считать не парушающейся ударными волнами, это случай волн малой интенсивности. Мы видели Я 86), что в таких ударных волнах скачок энтропии есть величина третьего порядка по сравнению со скачком давления или скорости. Из соотношения (114.1) видно поэтому, что велегчиной третьего порядка будет и ГОФч за разрывом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
