VI.-Гидродинамика (1109684), страница 121
Текст из файла (страница 121)
Для этого запишем: аур = 4ягх) —,тсЬ +Й(угу) — усЬ, Вводя функцию (116.3) 'р + ягх + угу~ получаем пФ = т пух + у пуу~ где Ф рассматривается как функция от у и пу. Отсюда имеем Т= —, у= дФ дФ (116 А) дх,. ' дх, Удобнее, однако, пользоваться не декартовыми коушоиеитами скорости, а ее абсолютной величиной г и углом О, образуемым ею с осью ул (116.5) и, = гсовО, и„= пв1пО. 606 плОс!кОК те'!анна ОгкимлкмО!'О Глал Гл хп Произведя соответствующее преобразование производных, легко получаем вместо (116А) следующие соотношения: х = сов Π— — — —, д = в)пΠ— + — —.
(116.6) дФ вв! ВдФ дФ со ВОФ дв е дВ ' де е дВ Связь между потенциалом !р и функцией Ф дается при этом простой формулой дФ !р = — Ф+ о —. д.' (116. 7) Наконец для того чтобы получить уравнение, определяющее функцию Ф(о, О), надо преобразовать к новым переменным уравнение непрерывности (116.2). Написав производные в виде якобианов: д(ре, в) д(р „) О д(х, в) д(х, о) умножив затем на д(х, у)!'д(о, О) и подставив ск!да значения о и ов из (116,5) ! имеем Согласно (83.5) имеем и в результате получим окончательно для функции Ф(о, О) следу!ощее уравнение Чапе!в!ганси дгФ + ег д'ф +,дФ О (116.
8) двг л 1г! г двг Здесь скорость звука является заданной функцией скорости, с = с(о), определяемой уравнением состояния газа и уравнением Бернулли. Уравнение (116.8) вместе с соотно!пениями (116.6) заменяет собой уравнения движения. Таким образом, задача о решении нелинейных уравнений движения сводится к решению л!лпейного д(рисов В, В) д(ров!ЛВ. х) д(и, В) д(е, В) При раскрыти!л этих якобианов надо подставить для х и о выражения (116.6). Кроме того, поскольку энтропия е является заданной постоянной величиной, то, выразив плотность в виде функции от в и ю и подставив для ю выражение ю = юо — о !с2! мы г найдем, что плотность может быть написана в виде функции только от скорости: р = р(о). Имея все это в виду, получим после простых преобразований следующее уравнение; сг(ре) !'дФ 1 дгФ'! дгФ вЂ” ! — + - —, ) + ро — = О.
сЛв дв е дВг дег 607 1 116 уелвпкнив чаллы!'иня уравнения для функции Ф(п, О). Правда, нелинейными оказываются зато граничные условия для этого уравнения. Эти условия заключаются в следующем. На поверхности обтекаемого тела скорость газа направлена по касательной к ней. Выразив координаты уравнения поверхности в виде параметрических уравнений Х = Х(0), У = У(0) (как это было объяснено в предыдущем параграфе) и подставив Х и У в (116.6) вместо л и у, мы получим два уравнения, которые должны удовлетворяться при всех значениях О, что возможно отнюдь пе при всякой функции Ф(с, О). Граничное условие как раз и будот заключаться в требовании, чтобы оба эти уравнения были совместными при всех О, т.
е. одно из них должно быть автоматическим следствием другого. Удовлетворения граничных условий, однако, еще не достаточно для того, чтобы гарантировать пригодность полученного решения уравнения Чаплыгина для определения реального течения во всей области движения в физической плоскости. Необходимо еще выполнение следующего требования; якобиан д(т, р) д(0, е) нигде не должен менять знак, проходя через нуль (за исключением лишь тривиального случая, когда обращаются в нуль все четыре составляющие его производные). Легко видеть, что если это условие нарушается, то при прохождении через определенную равенством сз = О (так называемую г!реде!!ьную) линию в плоскости хг! решение, вообще говоря, становится комплексным ') .
Действительно пусть на линии я = по(0) имеем сз = = О и пусть при этом (ду/дд)„ф О. Тогда палеем (' дд'( д(т, р) д(е, й) 0(к, р) /гЗя') О г ду/ г д(о, о) д(о, у) д(о, р) 1, до / у Отсюда видно, что вблизи предельной линии и как функция от х (при заданном О) определяется уравнением вида л — ло = — ( е) (и — по) з Ь е.)„ и по одну из сторон от предельной линии п становится комплексной '). ') Прохождение же через пуль путом обращения !з в бесконечность не запрещается. Если на некоторой линии 1!!Ь = О, то это приводит лищь к тому, что соответствие между плоскостями ху и ед становится не взаимно однозначным в тол! смысле, что при обходе плоскости хр некоторая часть плоСкести од прОхОдится дважды или трижды.
!) Это утверждение остается. очевидно, справедливым и в тех случаях, когда одновременно с Ь обращается в нуль и (дет!!дев)щ но производная (дт!!до)!! по-превгнекгу меняет знак при о = ое, т. е. разность т — те пропорциональна более высокой четной степени е — оо. КАРАктиРист'ики ИИОГ',КОГО с'гациОИАРно!'О та 1инин 609 1 117 относится, в частности, и к линии перехода из до- в сверхзвуковое течение, вдоль которой и = с = с„. В заключение выпишем уравнение Чаплыгина для политропного газа выразив в нем в явном виде с через гш у — 1Р ! 1— д Ф 2 у-!-1 с! д Ф дФ вЂ” +и ., ' — +и — =О.
ддз в дг дю 1 — —, .2 (11б.11) Это уравнение обладает семейством частных интегралов, выра- жающихся через гипергеометричсские функции ') . 9 117. Характеристики плоского стационарного течения те — та = $яо, 1 Ф тотг и- — то = — 1на, 1 этот откуда !по ~ 16 О Г11-Р = 1 ~ тоМа ) См., например, Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. — Мз Наука, 1966, гл. Х; Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости.
— Мз ИЛ, 1961, 9 20. 20 Л. Д. Ландау н Е.Ы. Лифшиц, том 111 Некоторые общие свойства характеристик плоского стационарного (сверхзвукового) движения были рассмотрены уже в 9 82. Выведем теперь уравнения, определяющие эти линии по заданному решению уравнений движения.
В плоском стационарном сверхзвуковом потоке имеется в общем случае три семейства характеристик. По двум из них (которые мы будем называть характеристиками СА и С ) распространяются все малые возмущения, за исключением лишь возмущений энтропии и ротора скорости; последние распространяются по характеристикам третьего семейства Со, совпадающим с линиями тока. Для заданного течения линии тока известны, и вопрос заключается в определении характеристик первых двух семейств. Направления проходящих через каждую точку плоскости характеристик Се и С расположены по обе стороны от проходящей через ту же точку линии тока и образуют с ней угол, равный местному значению угла возмущений гг (см. рис. 51). Обозначим через ьчв тангенс утла наклона к оси (угловой коэффициент) линии тока в данной ее точке, а через тч и ш — угловые коэффициенты характеристик Се и С .
Тогда !ю формуле сложения тангепсов напишем: 610 плОГ:кОЕ ть'1внив ОзкнмлкмО1'О Глзл ГЛ Хн (верхние знаки относятся везде к Сг, а нижние к С ). Подставив сюда Вг с гпо = — ", 18сг = е и произведя сокращения, получим следующее выражение для уг- ловых коэффициентов характеристик: ду1 хее„х с~5~ — се Ш,= — ) 17х) х хе — се -=()=",. ' ' 1117.1) Если распределение скоростей в потоке известно, то это есть дифференциальное уравнение, определяющее характеристики Ст иС ').
Наряду с характеристиками в плоскости ху можно рассматривать также и характеристики в плоскости годографа1 в особенности полезные при изучении изэнтропического потенциального течения, о котором мы и будем ниже говорить. С математической точки зрения это характеристики уравнения Чаплыгина 1116.8) 1принадлежащего при и ) с к гиперболическому типу).
Следуя известному из математической физики общему методу 1сы. 8 103), с помощью коэффициентов этого уравнения составляем уравнение характеристик: сЬ~+г)О~ е, = О, 1 — е')се или 1е) г 1. 1117.2) ') Уравнение 1117.1) определяет характеристики н для сзационарного осесимметрического течения, если только заменить сг и у на х„и г, где г— цилиндрическая координата 1расстояние от оси симметрии--оси х); ясно, что весь вывод не изменится, если вместо плоскости ху рассматривать проходящую через ось симметрии плоскость хг.
Определяемые этим уравнением характеристики не зависят от конкретного решения уравнения Чаплыгина, что связано с независимостью коэффициентов последнего от Ф. Характеристики в плоскости годографа, являющиеся отображением характеристик С+ и С в физической плоскости, мы будеъ1 условно называть соответственно характеристиками Гз и Г 1знаки в 1117.2) соответствуют этому условию). Интегрирование уравнения 1117.2) дает соотношения вида Х~(н, О) = сопв1,,7 1н, О) = сопв1. Функции 7г и 7 представляют собой величины, остающиеся постоянными соответственно вдоль характеристик С и С 1инварианты Римана). Для поли- хАРАктвРист'ики ИИОГ',КОГО с'ГАциОИАРКО1'О тв 1ииии 611 1 117 тронного газа уравнение (117.2) может быть проинтегрировано в явном виде.
Нет, однако, необходимости производить эти вычисления заново, так как результат может быть написан заранее с помощью формул (115.3), (115 4). Действительно, согласно общим свойствам простых волн (см. 3 104) зависимость и от 0 в простой волне как раз и определяется условием постоянства во всем пространстве одного из ипвариаптов Римана. Произвольной постоянной в формулах (115.3) и (115.4) является !р,; исключая из этих формул параметр 1р, получим ,7Е = 0 ~ агсв1п — ! 1 — — '" у!— чэ-1 7 2 !11ГЗ! Г+ ~, ~ 17се ~/т— 2 с1 Характеристики в плоскости годографа представляют собой семейство эпициклоид, заполняющих пространство между двумя окружностями радиусов (рис.
117): в=с, и о= — с,. т + ~/,— Для изэнтропического потенциального движения характеристики Г и Г обладают следующим важным свойством: семейства характеристик Гт и Г ортогональны соответственно характеристикам С. и Ст (предполагается, что оси координат х! у изо- 1 Рис. 117 бражены параллельными осям пх, пк) Для доказательства этого утверждения исходим из уравнения (114.3) для потенциала плоского течения, имен>щего вид (117.4) дх' дх др ду' 1существенно! что в нем отсутствует свободный член). Угловые коэффициенты !и характеристик С~ определяются как корни квадратного уравнения Ат — 2Вт+ С = О. Рассмотрим выражение !1п'~ 11х + 11п„' Йу, в котором дифференциалы скорости берутся вдоль характеристики Гх, а ) Это утверждение не относится к характеристикам осесимметрического движения в плоскости хт.' 612 !'л хи ИЛООкОи те'»вник О>кимлкмО!'О 1лзл дифференциалы координат вдоль С .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
