VI.-Гидродинамика (1109684), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Таким образом, и в общем случае одно из семейств характеристик (характеристики, Висходящиея от поверхности тела) представляет собой прямые лучи, вдоль которых все величины остаются постоянными; эти прямые, однако, не имеют теперь общей точки пересечения.
Изложенные свойства рассматриваемого движения в математическом отношении полностью аналогичны свойствам одномерных простых волн, у которых одно из семейств характеристик представляет собой семейство прямых линий в плоскости х1 (см. ~ 101, 103, 104). Поэтому рассматриваемый класс течений играет в теории стационарного плоского (сверхзвукового) движения такую же роль, какую играют простые волны в теории нестациопарного одномерного движения. Ввиду этой аналогии эти течения тогке называют простыми волнами. В частности, волну разрежения, соответствуюшую случаю (з = О, называют йептрировагпюй простой волпой. Как и в нестационарном случае, одно из важнейших свойств стационарных простых волн заключается в том, что течение во всякой области плоскости ху, граничащей с областью однородного потока, есть простая волна (ср.
~ 104). Покажем теперь, каким образом может быть построена простая волна для обтекания заданного профиля. На рис. 115 изображен обтекаемый профиль; слева от точки О он прямолинеен, далее от точки О начинается закругление. В сверхзвуковом потоке влияние закругления распространяется, разумеется, лишь на область потока вниз по течению от исходящей из точки О характеристики ОА.
Поэтому все течение слева от этой характеристики будет предста,влять собой однородный поток (относящиеся к нему значения величин отличаем индексом 1). Все характеристики в этой области параллельны друг другу и наклонены к оси х под углом Маха егг = = агсвгп(с1/Нг) 602 илОскОК те'!Киик с1кимлкмО1'О Глзл гл хп В формулах (109.12) — (109.15) угол наклона характеристик !р отсчитывается от луча, на котором е = с = с„.
Это значит (ср. 112)! что характеристике ОА надо , Ц! приписать значение угла !р, равное А /З+ 1 О! !р! = — агссов —, 1/з-г С. и в дальнейшем отсчитывать углы !р для всех характеристик от направления ОА' (рис. 115). Угол наклона характеристик к оси т будет тогда равен !р, — !р! где !р, = а! + !р!. Согласно формулам (109.12) — (109.15) скорость и давление выразятся через угол !р с помощью следующих соотношений: (115.2) (115.3) ЕК вЂ” — П В!ПО, е = е сов О, 0 = !р. — !р — агс16 З— с18 ~ !р (115 А) вт р = р„соз (115.
5) Уравнение же характеристик напишется в виде 9 = т18 (!р — !р) + Г(!р). (115. 6) (115. 7) Уравнение прямой, проходящей через точку Х, 1' и наклоненной под углом !р„— !р к оси л, есть р — 1 =(: — Х)16(р„— р). Это уравнение совпадает с (115.6), если в последнем положить (115. 8) й(р) =1 — Х16(р„— р). Произвольная функция Р(!р) определится по заданной форме профиля следующим образом. Пусть форма профиля задана уравнением У = 1 (Х)! где Х и 1' -- координаты его точек. На самой поверхности скорость газа направлена по касательной к ней, т. е.
603 1 11э стАциоалепыв пеос"Гыв волаы Исходя из заданного уравнения У = У(Х) и уравнения (115.7), представляем форму профиля в виде параметрических уравнений Х = Х(0), У = У(0), где параметром является угол 0 наклона касательной к профилю. Подставляя сюда О., выраженное через р согласно (115А), получаем Х и У в виде функций от ~р; наконец, подставляя их в (115.8), получим искомую функцию Г(р). При обтекании выпуклой поверхности угол 0 наклона вектора скорости к оси л уменьшается вниз по течению (рис. 115). Вместе с ним монотонно убывает также и угол ~р„— р наклона характеристик (рсчь идет везде о характеристиках, исходящих от тела). Благодаря этому характеристики нигде (в области течения) не пересекаются друг с другом.
Таким образом, в области вниз по течению от характеристики ОА, которая будет представлять собой слабый разрыв, мы будем иметь непрерывный (без ударных волн) монотонно разрежающийся поток. Иначе обстоит дело при обтекании вогнутого профиля. Здесь наклон 0 касательной к профилю, а с ним и наклон характеристик возрастают в направлении течения. В результате характеристики пересекаются друг с другом (в области течения). Но на различных не параллельных друг другу характеристиках все величины (скорость, давление и т. п.) имеют различные значения. Поэтому в точках пересечения характеристик все эти функции оказываются многозначными., что физически нелепо.
Аналогичное явление мы имели уже в нестационарной одномерной простой волне сжатия Я 101). Как и там, опо означает здесь, что в действительности возникает ударная волна. Положение этого разрыва не может быть определено полностью из рассматриваемого решения, выведенного в предположении его отсутствия. Единственное, что может быть определено, это место начала ударной волны (точ- к в ка О на рис. 116; ударная волна изображена сплошной линией ОВ). Она определяется как точка пересечения характеристик, лежащая на наиболее близкой к поверхности тела линии тока. На линиях тока, проходящих под точкой О (ближе к телу), решение вез- у де однозначно, в точке же О начинается его многозначность, уравнения, определяющие 1'ис.
116 координаты лш уо этой точки, могут быть получены аналогично тому., как были найдены соответствующие уравнения для определения момента и места образования разрыва в одномерной нестационарной простой волне. Если рассматривать угол наклона характеристик как функцию координат:г и у точек., через которые они проходят, то при значениях л и у, превышающих некоторые определенные хо, уо, эта функция делается многозначной. В 8 101 мы имели аналогичное положение 604 плООкОХ те !яник сжимАкмО!'О Гэк!л ГЛ Хп для функции п(х, 1):, поэтому., не повторяя заново всех рассу ждений, напишем сразу уравнения ( — ~) = О, ( 1) = О, (115.9) определяющие здесь место начала ударной волны.
В математическом отношении это угловая точка огибающей семейства прямолинейных характеристик (с1ь З 103). Что касается области существования простой волны при обтекании вогнутого профиля, то вдоль линий тока, проходящих над точкой О, оно применимо вплоть до места пересечения этих линий с ударной волной. Линии жс тока. проходящие под точкой О, с ударной волной вообще не пересекаются. Однако отсюда нельзя сделать заключение о том, что вдоль них рассматриваемое решение применилю везде.
Дело в том, что возникающая ударная волна оказывает возмущающее влияние и на газ, текущий вдоль этих линий тока, и таким образом нарушает движение, которое должно было бы иметь место в ее отсутствии. В силу свойства сверхзвукового потока эти возмущения будут, однако, проникать ли!пь в область газа, находящуюся вниз по течению от характеристики ОА, исходящей из точки начала ударной волны (одна из характеристик второго семейства).
Таким образом, рассматриваемое здесь решение будет применимым во всей области ш!ева от линии АОВ. Что касается самой линии ОА, то она будет представлять собой слабый разрыв. Мы видим, что непрерывная (без ударных волн) во всей области простая волна сжатия вдоль вогнутой поверхности, аналогичная простой волне разрежения вдоль выпуклой поверхности, невозможна. В ударной волне, возникающей при обтекании вогнутого профиля, мы имоем пример волны, «начинающейсяк от некоторой точки, расположенной в самом потоке вдали от твердых стенок. Такая точка «пачалак ударной волны обладает некоторыми общими свойствами, которые мы здесь отметим.
В самой точке начала интенсивность ударной волны обращается в нуль, а вблизи нее мала. Но в ударной волне слабой интенсивности скачок энтропии и ротора скорости — . величины третьего порядка малости, и потому изменение течения при прохождении через волну отличается от непрерывного потенциального изэнтропического изменения лишь в величинах третьего порядка.
Отсюда следует, что в отходящих от точки начала ударной волны слабых разрывах должны испытывать скачок лишь производные третьего порядка от различных величин. Таких разрывов будет, вообще говоря, два; слабый разрыв, совпадающий с характеристикой, и тапгенциальпый слабый разрыв, совпадающий с линией тока 1см. конец з 96). 605 1 пб л Авпвнив члплыгинл й 116. Уравнение Чаплыгина (общая задача о двумерном стационарном движении сжимаемого газа) Рассмотрев стационарные простые волны, перейдем теперь к общей задаче о произвольпога стационарном плоском потепциальном движении. Говоря о потенциальном течении, мы подразумеваем, что движение изэнтропично и что в нем отсутствуют ударные волны. Оказывается возможным свести поставленную задачу к решению всего одного линейного уравнения в частных производных (С.А.
'1аалыгин, 1902). Это осуществляется путем преобразовапия к новым независимым переменным — компонентам скорости г„эу (это преобразование часто называют преобразованием годографа; плоскость перемепных у„п„иазывают при этом плоскостью годографа, а плоскость ху физической плоскостью) . Для потенциального движения вместо уравнений Эйлера можно написать сразу их первый интеграл, т е, уравнение Бернулли: ш+ — = шш (116.1) 2 Уравнение непрерывности имеет вид — (рэ ) + — (рту) = О. (116.2) дх ду Для дифференциала потенциала р скорости имеем ~6р = гх Йт + эу Йу. Произведем преобразование от независимых переменных х, у к независимым переменным ух, уу путем преобразования Лежандра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
