VI.-Гидродинамика (1109684), страница 122
Текст из файла (страница 122)
Имеем тождественно: Йох Йх + Йоу Йу о» вй О» = †" Йх ' Йх + ~ (Йх' Йу + Йх Йу») + — ~ Йу» Йу . дх дх д!у !)у» Разделив это выра>кение на Йх~ Йх, получим в качестве коэффициентов при д2!р/дх ду и д2!р/ду соответственно тэ. + п» = 2В/А и т,т = С/А, после чего ясно, что в силу уравнения (117.4) выражение обращается в нуль. Таким образом, Йо' Йх +ЙО„Йу = Йч+Йг = О. Аналогично получим Йт Йг~ = О. Эти равенства и выражают собой сделанное выше утверждение. й 118. Ъ'равнение Эйлера — Трикоми. Переход через звуковую скорость Существенный принципиальный интерес имеет исследование особенностей течения, возникающих при переходе из до- в сверх- звуковую область, или обратно.
Стационарные течения, сопро- вождающиеся таким переходом, называются смешаннь!Л»и или тро»»сзвуковыл»и, а самую границу перехода называют переход- ной или звукооой поверхность»о. Для исследования течения вблизи границы перехода в осо- бенности удобно уравнение Чаплыгина! сильно упрощающееся в этой области. На границе перехода и = с = с„, а вблизи нее (в околозвуковой области) разности и — с„, и с — с, малы и связаны друг с другом »»оотношениех» (114.8)! -'-1=,( — "-1). Произведем соответствующие упрощения в уравнении Чаплыги- на. Третий член уравнения (116.8) мал по сравнению со вторым, содержащим 1 — о2/с в знаменателе.
Во втором же члене пола- »аем приближенно »! с„ с, 1 — в»/О» 2(1 — в/с) 2!1. (1 — г/с,) Наконец, вводя вместо скорости о новую переменную ») = (2»»,) ~»з (118.1) с. 613 1 118 угявнвник эйлвРА — 'геикоми получим искомое уравнение в виде д'Ф д'Ф ,, =О. ача ~ ав- (118. 2) Уравнение такого вида в математической физике называется ураенеяием Эйлера — '1ррикоми ') .
В полуплоскости г) > О оно относится к гиперболическому, а в полуплоскости г) ( О к эллиптическому типу. Мы рассмотрим здесь ряд чисто математических свойств этого уравнения, которые существенны для исследования тех или иных конкретных физических случаев. Характеристики уравнения (118.2) определяются уравнением Ойг)9-й09 =О, имеющим общий интеграл: 0 ~ 9,)зуз з (118.3) где С вЂ”. произвольная постоянная. Это урав- Рис.
118 пение изображает в плоскости г)0 два семейства характеристик, представляющих собой ветви полукубических парабол, расположенных в правой полуплоскости с точками возврата на оси 0 (рис. 118). При исгтедовании движения в небольшой области пространства, в которой направление скорости газа меняется незначительно '), всегда можно выбрать направление оси ш так, чтобы отсчитываемый от нее угол 0 во всей рассматриваемой области был малым.
Тогда сильно упрощаются также и уравнения (116.6), определяющие координаты ш., у по функции Ф(1), О) а): и = (2о.) —, 0 = —. 1!З дФ дФ дл' ' дВ ) К рассматриваемой гвзодинамической проблеме уравнение 1 рикоми было привлечено Ф.И. Франклем (1945). а ) Слова «небольшая область» не слсдуот, разумеется, понимать буквально. Речь может идти и об исследовании окрестности бесконечно удаленной точки, т.
е. о течении на достаточно болыпих расстояниях от обтекаемого тела. ' ) Мы опустили в правых частях равенства множители 1/с,; это означает лишь замену функции Ф на с.Ф, не меняющую уравнения (118.2) и потому всегда допустиму|о. Для того чтобы избежать появления в формулах лишнего множителя (2о,)1Д1, мы будем ниже, в 9 118 — 121, пользоваться вместо координаты т величиной т(2ст„)1~з, обозначая ее той же 614 плОГ;кОК ть'!вник О1кимлкмО1'О Глзл ГЛ ХП буквой т. Тогда д4: Д =— ов Ф = Озь ~(~).
~ = 1 — 4„ где й постоянная (степень однородности функции Ф по отноп1ению к указанному преобразованию). Переменную ( мы выбрали такой, что она обращается в нуль на характеристиках, проходящих через точку Г1 = О = О. Сделав подстановку, получим для функции ДС) уравнение 6(1 — ~)~л+ [ — — 2Й вЂ” «(2 — 2Й)]~ й(1 з)~ = О. Это частный случай гипергеометрического уравнения. С помощью известного выражения для двух независимых интегралов гипергеометрического уравнения находим искомое решение (при пецелом числе 2к + 1/6) в виде Фь = 0~~ [АР ( — 1Г, — к + —, — 2Й + —; 1 21 6 2й + —; 1 — — 1) ~ .
(118.6) С помощью известных соотношений между гипергеометрически- 1 1 ми функциями от аргументов л, —, 1 — л,, можно пред1 — Л 1 — Л л (118. 4) д!/ ' Полезно заметить, что ввиду такой простой связи с Ф функция у(11, 0) (но не л(ц, 0)) тоже удовлетворяет уравнению Эйлера — Трикоми. Имея это в виду, можно написать якобиан преобразования из физической плоскости в плоскость годографа в виде Как уже сказано, уравнение Эйлера. Трикоми приходится обычно применять для исследования свойств решения в окрестности начала координат в плоскости цО. В физически интересных случаях эта точка представляет собой особую точку решения.
В связи с этим особое значение приобретает семейство частных интегралов уравнения Эйлера — Трикоми, обладающих определенными свойствами однородности. Именно, речь идет о решениях, однородных по отношению к переменным О и 11'; такие решения должны существовать, поскольку преобразование ОЯ вЂ” э а0~, 11з — ! а!аз оставляет инвариантным уравнение (118.2). Будем искать эти решения в виде 615 1 118 УРАВНВНИВ ЭЙЛЯРА — 'ГРИКОМИ Фь = 02ь [Ар'( — й, — й+ —, —; '1,) + +В ' В( — К+-',— Ю+'-','-:'— ",,)], (118.7) Фь = г1з~АГ( — 1с, — Й+ —, —; —,) + 3 2 4ле +В Е( — й+ —, — й+ —, —; — )] (118.8) 1а12 1 2 6 2 4че/ (постоянные А, В в формулах (118.6) — (118.8), конечно, не совпадают). Из этих выражений сразу следует важное свойство функций Фь, не видное непосредственно из выражения (118.6): линии О = О и 0 = О не являются их особыми линиями (из (118.?) видно, что вблизи О = О Фь разлагается по целым степеням О, а из (118.8) то же самое по О).
Из выражения же (118.6) видно, что характеристики, напротив, являются особыми линиями общего (т. е. содержащего обе постоянные А и В) однородного интеграла Фь уравнения Эйлера — Трикоми: при нецслом 21+1/6 точками разветвления обладает множитель (902 — 411~)~"т~1о, а при целом 2Й+ 1/6 один из членов в (118.6) вообще теряет смысл ') (либо при 2Й + 1/6 = О совпадает с другим) и должен быть заменен вторым независимым решением гипергеометрического уравнения, имеющим, как известно, в этом случае логарифмическую особенность.
Между интегралами Фь с различными значениями А имеются следующие соотношения: Фь Ф А 1~а(902 411з)2АР11а д41 1 ь — 1,12 дв (118.9) (118.10) Первое следует непосредственно из выражения (118.6), а второе из того, что функция дфь,1с10 удовлетворяет уравнению Эйлера.-Трикоми и имеет ту же степень однородности, что и Фь 1~2. В этих формулах под Фь подразумевается, конечно, общее выражение с двумя произвольными постоянными. ') Соответствующие формулы можно найти, например, в т. 1Н 2 е Математического дополнения.
) Напомним, что ряд г'(а, д, Ш в) при т = О, — 1, — 2,... теряет смысл. ставить это решение еще в пяти других видах; при исследовании различных конкретных случаев приходится пользоваться всеми этими видами ') . Мы приведем здесь лишь следующие два вида: 616 плООкОК те'!ение с!кимлкмО!'О 1'лэл 1'Л Хп При исследовании решения в окрестности точки 7) = 0 = О приход!лгся следить за его изменением при обходе вокруг этой точки.
Пусть, например, функция Фь (118.6) изображает решение в точке А вблизи характеристики 0 = (2/3)7)6~2 (рис. 119) и требуется найти форму решения вблизи характеристики 0 = — (2/3)7)з7'2 (в точке В). Переход вдоль АВ связан с пересечением оси абсцисс: между тем значение 0 = О есть особая точка гипергеометрических функций в выражении (118.6), так как их аргумент обращается в бесконечность. Поэтому для совершения перехода необходимо сначала применить к гипергеометрическим функциям преобразование, переводящее их в функции обратного аргу- ( 967 мента,, для которых 0 = О ' 967 — 47!' / уже не будет особой точкой, после чего меняем знак 0 и повторным таким же преобразованием переводим их в функции прежнего аргумента. Таким способом получим для функций, входящих в выражение (118.6), следующие формулы преобразования: „„.„, „."(-"--')'(-" -') 2яп [к (29+ — )] Г( — 2Ь)Г~ — 2Ь вЂ” — ) „,.„ве„,'("..-')"('" -') 2рш [х(2/7-Ь вЂ” )] Г(2Е -7-1)Г(2Х-Ь вЂ” ) причем под г'! и г2 подразумеваются выражения ~0,277~,~ )с 7+1 к 5 49 ) 2' 6 997/ (118.12) з 277+!77Г> 997 6 3 ' 6 967 / в которых 0 и 1 — 47)з/(902) в коэффициентах при гипергеометрических функциях берутся по их абсолютным значениям.
Аналогичным образом можно получить формулы преобразования при переходе из точки А' в точку В' (рис. 119) путем обхода начала координат в обратном направлении. Вычисления 617 УРАВИВИИВ ЭЙ1!ЯРА — 'ГРИКОУ1И „. В-[.("--')]„, В1В [В(20 -Р— )] Г( — 2)1 — — ) Г( — 2)1 -~- — ) Г1-20)Г(-2А — -) + Г2 2 ~ь'21з сов [я(2Й+ ч] 1118 13) В1В [л(4Й вЂ” Ч] В-[л('" )] Г(20+ -)Г(2й+ -~) + Е . 2~А+~13 [ (2Ж+ 1)] И Г12ь -~- 1) Г (2й -~-— 3/ Наряду с рассмотренным семейством однородных решений можно построить, конечно, и другие семейства частных интегралов уравнения Эйлера — Трикоми. Укажем здесь семейство решений, возникающих в связи с разложением Фурье по углу О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
