VI.-Гидродинамика (1109684), страница 124
Текст из файла (страница 124)
623 ОВТЕКАИИК СО ЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ 1 120 й 120. Обтекание со звуковой скоростью Упрощенное уравнение Чаплыгина в форме уравнения Эйлера — Трикоми должно., в принципе, применяться к исследованию основных качественных особенностей стационарного плоского обтекания тел, связанных с наличием в пем околозвуковых областей. Сюда относятся, в первую очередь., вопросы., связанные с возникновением ударных волн. В околозвуковой зоне интенсивность ударной волны мала; подчеркнем, что именно это обстоятельство делает законным применение уравнения Эйлера— Трикоми в этих условиях. Напомним (см. '2' 86, 114), что в слабой ударной волне изменение энтропии и ротора скорости — величины более высоких порядков малости, поэтому в первом приближении движение можно считать изэнтропическим и потенциальным и позади разрыва.
В этом параграфе мы рассмотрим теоретически важный вопрос - о характере стационарного плоского обтекания, когда скорость набегающего потока равна в точности скорости звука. Мы увидим, что при таком обтекании непременно имеется простирающаяся от тела до бесконечности ударная волна. Отсюда следует важное заключение о том, что ударная волна должна впервые возникнуть при числе М,, во всяком случае меньшем единицы. Итак, рассмотрим плоское обтекание тела с бесконечно длинным размахом («крыла») произвольного, пе обязателыпз симметричного сечения. При этом мы будем интересоваться картиной течения на достаточно больших (по сравнению с размерами) расстояниях от тела.
Для удобства изложения мы сначала опишем качественно получающиеся результаты, а затем перейдем к количественному расчету. На / / в и ! и рис. 122 АВ и А  — звуковые линии, так что слева от них (вверх по течению) лежит целиком дозвуковая область: стрелкой изображено направление натекающего потока (которое мы ниже вы- Вбираем в качестве оси х с началом где-либо в рай- А' с" к' оне тела). На некотором расстоянии от линии перехода возникают «исходящие» от тела ударные волны (Ьг' и Е'г" на рис.
122). Оказывается что в' Ь' все исходящие от тела характеристики (в области между линией перехода и ударной волной) можно Рис. 122 разделить на две группы. Характеристики первой группы достигают звуковой линии, оканчиваясь на ней (или, иначе говоря, отражаясь от пес в виде характеристики, приходящей к телу; на рис. 122 изображена одна из таких характеристик).
Характеристики же второй группы оканчиваются на ударной волне. Обе эти группы разделены предельиььив хайвктеристи- плОскОе те 1еиии О1кимАИИОГО ГА3А гл хп хами — единственными, уходящими на бесконечность и никогда не достигающими ни звуковой линии, ни ударной волны (СР и С'Р' на рис. 122). Поскольку возмущения (связанные, например, с изменением контура обтекаемого тела)., распространяющиеся от тела по характеристикам первой группы, достигают границы дозвуковой области, то ясно, что часть сверхзвукового потока., лежащая между линией перехода и предельной характеристикой, влияет на дозвуковую область; весь же ноток в области справа от предельных характеристик никакого влияния на поток слева не оказывает: течение слева никак не изменится при возмущении потока справа (в том числе при изменении профиля тела справа от точек С, С ).
Течение позади ударной волны, как мы знаем, никак не влияет на течение перед ней. Таким образом, весь поток можно разделить на три части (слева от РСС'Р' между РСС'Р' и ЕЕЕ'1', справа от ГЕЕ'Г'), причем течение во второй никак не влияет на течение в первой, а течение в третьей на течение во второй. Перейдем теперь к количественному расчету описанной картины (являющемуся в то же время ее проверкой). Начало координат в плоскости годографа (О = 11 = 0) соответствует бесконечно удаленной области в физической плоскости, а выходящие из начата координат годографические характеристики соответствуют предельным характеристикам СР и СР1.
На рис. 123 изображена окрестность начала координат, причем бу.квы соответствуют обозна 1епиям на вв рис. 122. Ударная волна изображается в плоскости годографа не одной линией, а г двумя (соотвстствующие1и движению га- за по обеим сторонам разрыва), причем о области между ними (занггрихованной на рис. 123) не соответствуют никакой области в физической плоскости. в' Прежде всего необходимо выяснить, какой из общих интегралов Фе соответ- РИС.
123 ствует данному случаю обтекания. Если Ф(0, ц) имеет порядок однородности к, то функции л = ОФ(дй и у = дФ,~д0 будут одпородныъ1и —. соответственно порядков 1е — 1113 и к — 1112. При стремлении 0 и л к нулю мы должны, вообще говоря, попасть на бесконечность в физической плоскости, т. е. х и у должны стремиться к бесконечности. Очевидно, что для этого должно быть й ( 1113. С другой стороны, предельные характеристики в физической плоскости не должны лежать целиком на бесконечности, т.
е. не должно быть й = ~ж по всей линии 90~ = 411'". Для этого (при 21+ 1116 ( 5116) второй член в квадратных скобках в выражении (118.6) должен 625 ОВТВКАВИК СО ЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ 1 120 вообще отсутствовать. Таким образом, функция Ф(О, и) должна изображаться первым членом выражения (118.6): Ф = АОВ"Г( — К, — й+ —, — 21+ —: 1 — — ~1.
(120.1) 2 6' 9ВВ/ Функция у(О, и) (тоже удовлетворяющая уравнению Эйлера— Трикоми) будет иметь такой же вид с й — 1/2 вместо й. Но если выражение (120.1) имеет место, например, вблизи верхней характеристики (О = +(2/3)Т1з~э), то при произвольном й < 1/3 оно отнюдь не будет иметь место также и вблизи второй характеристики (О = — (2/3)т1з~э). Поэтому мы должны потребовать также, чтобы вид (120.1) функции Ф(О, й) оставался таким же при обходе вокруг начала координат в плоскости годографа от одной характеристики к другой, причем обход должен происходить через полуплоскость и < 0 (путь ХВ' на рис.
119). Такой обход соответствует в физической плоскости переходу от удаленных точек одной из предельных характеристик к удаленным точкам другой предельной характеристики, причем путь перехода проходит через дозвуковую область и потому нигде не пересекает ударную волну., нарушанлцую непрерывность течения. Преобразование гипергеометрической функции в (120.1) при таком переходе дается первой из формул (118.13), и мы должны потребовать обращения в нуль коэффициента перед Рз в этой формуле. Это условие выполняется при следующих значсниях й < 1/3: й= — — — ', п=0,1,2,... Из всех этих значений должно быть окончательно выбрано лишь одно: й = — —.
(120.2) 3' Можно показать, что все значения Й с и ) 1 приводят к неоднозначному отображении> плоскости годографа па физическую плоскость (при однократном обходе первой вторая обходится несколько раз), т. е, к неоднозначности физического течения, что, разумеется, нелепо. Значение же й = 1/6 дает решение, в котором не по всем направлениям в физической плоскости стремление О и и к нулю означает уход на бесконечность; ясно, что такое решение тоже физически непригодно. При й = — 1/3 коэффициент при г1 в правой части формулы (118.13) равен +1, т. е.
при обходе от одной характеристики к другой функция Ф вообще пе меняется. Это значит, что Ф есть четная функция О, а координата у = дФ/ВО соотвстственно нечетная функция. Физически это означает, что в рассматриваемом нами первом приближении картина течения на больших рас- 626 плОс:КОе течвннв ОбкнмлкмО1'О глзл гл хн т = сопв1.9 Д (120.3) со своим значением соггв1 для каждой из них.
Вдоль этих линий 0 и 7) падают по законам: Оау ~7"7 7)ау (120.4) (Ф.И. Франкль, 1947; К. Сис)е71еу, 1948) ') . Мы будем для определенности писать формулы со знаками, соответствующими верхней полуплоскости (у ) О). Покажем, как могут быть вычислены коэффициенты в этих формулах. Значение й = — 1773 есть одно из тех, при которых Фь сводится к алгебраическим функциям (сы. предыдущий параграф). Тот частный интеграл, который в данном случае опреа1 д! деляет Ф, может быть написан в виде Ф = — —, где а1.
— произ- 2 дВ' вольная положительная постоянная, а )' есть тот корень кубического уравнения Тз — 37))' + 30 = 9, (120.5) который ори 902 — 47)~ ) О совпадает с ел!лиственным вещественным корнем. Отсюда а1 д! а1 Ф= — — =— 2 дВ 2!Гз (120.6) ) Упомянем, что аналогичные результаты оказывается возможным получить и для осесимметричного обтекания (с М = 1).
В цилиндрических кординатах х, 7 форма звуковой поверхности, предельной характеристики н ударной волны, н законы изменения скорости на ннх даются (вдали от тела) формулами 177 — 977 — 977 я=сопя! г 7, илаг 7, о„аг См. Гудврлвй К.Г. Теория околозвуковых течений. -- Мз ИП, 1960 7оидвг1еу К.С. ТЬеог)е бс)1а11паЬег Вггопзппбеп. — Ярг)пбег Уег!аб, 19971); Фалькович С.В., Чвр77ов К.А.,7,7 Прик.л. У!атем. Мех.
1964. Т. 28, С. 342. стояниях от тела оказывается симметричной относительно плоскости д = 0 независимо от формы тела, в частности от наличия или отсутствия подъемной силы. Таким образом, мы выяснили характер особенности, которую имеет Ф(0, 7)) в точке 7) = 0 = О. Уже непосредственно отсюда можно сделать, заключение о форме звуковой линии, предельных характеристик и ударной волны на болыпих расстояниях от тела. Каждая из этих линий должна соответствовать определенному значению отношения 0-/7), и поскольку Ф имеет вид Ф = 0 ~)~~(7)~(0~), то с 1юмощью формул (118.4) мы найдем, что т сх 0 ~1~, у сх 0 ~1~. Поэтому форма перечисленных линий определяется уравнениями вида ОВТВКАВИК СО ЗВУКОВОЙ СКОРООТЬЮ 627 а также для координат (120.8) чем определяется в параметрическом виде зависимость 4) и 0 от координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
