VI.-Гидродинамика (1109684), страница 123
Текст из файла (страница 123)
Если искать Ф в виде Ф = 8, ~1)) е~™, 1118.14) где 1у произвольная постоянная, то для функции д, получим уравнение Это -- уравнение функций Эйри; его общий интеграл есть .(О) =я~~.( — ',. "), 1118.15) где Я1 1з произвольная линейная комбинация функций Бесселя порядка 1 113. Наконец, полезно иметь в виду, что общий интеграл уравнения Эйлера — Трикоми может быть написан в виде Ф = / ~(~) сЬ, ~ = Ва — Зг)В+ 30, С (118.16) при этом более громоздки, так как приходится проходить через три особые точки гипергеометрических функций точку с 0 = О и два раза точки с й = О 1папомним, что особыми точками гипергеометрической функции аргумента в являются точки В = 1 и В = оо). Окончательные формулы имеют вид 618 плООИОи те'1еиик О1кимлкмО!'О 1'лэл 1'Л Х11 — й = 9 ((г~ — й)("(!',) !Ь = 3 / ~л(1,) !и'; = 3~'(1,)~ = О, С т.
е. уравнение удовлетворяется. 8 119. Решения уравнения Эйлера — Трикоми вблизи неособых точек звуковой поверхности Выясним теперь, какие решения Фь соответствуют тем случаям, когда в окрестности границы перехода течение газа не обладает никакими физическими особенностями (нет слабых разрывов или ударных волн). Для этого, однако, удобнее исходить не непосредственно из уравнения Эйлера — Трикоми, а из уравнения для потенциала скорости в физической плоскости. Такое уравнение было выведено в 8 114; для плоского движения уравнение (114.10) после введения новой координаты согласно т -+ х(2!т,)!1в принимает вид д!! д!!г д ~7 (119.1) дх ди' др' Напомним, что потенциал 1д определен здесь таким образом, что его производные по координатам дают скорость согласно равен- ствам — — 'г =О! — ' =О.
д д (119. 2) де ' да Заъ!етие! также, что уравнение Эйлера-Трикоми можно получить и непосредственно из уравнения (119.1), переходя к независимым переменным О, й с помощью преобразования Лежандра, причем будет Ф = — !р + х!1 + ОО, или У= — Ф+!1 — +Π—. (119.3) дл дд Выбрав начало координат х, р в точке звуковой линии, окрестность которой мы исследуем, разложим 1д по степеням и и у. В общем случае первый член разложения, удовлетворяющего уравнению (119.1)! есть 1 1г = — лй. а (119.4) где 1(!',) произвольная функция, а интегрирование производится в плоскости комплексного переменного в по любому контуру С, па концах которого производная 1'(1,) припиь!ает одинаковые значения.
Действительно, непосредственная подстановка выражения (118.16) в уравнение дает 619 1 119 еншяния ннлвнвния эйлвех-тникоми 00~(--',0, '-; М =90. 2 3 90/ Если мы хотим найти уравнение звуковой линии в физической плоскости, то написанный первый член разложения недостаточен. Следуюп1ий член разложения Ф имеет степень однородности 1, т.
е, соответствует одной из функций Ф1, это есть первый член выражения 1118.7), сводящийся при й = 1 к поли- ному; 2' 3 99~/ 3 Та,ким образом, первые два члена разложения Ф: Ф = ауО+ Ь(02+ 1 ). 1119.6) Отсюда х = аО+ Ь92, у = ау+ 2ЬО. 11 19.7) Звуковая линия 10 = О) есть прямая у = 2Ьх1а. Для нахождения же уравнения характеристик в физической плоскости достаточен первый член разложения. Подставляя О = х,1а, у = у/а в уравнение голографических характеристик О = х203/2/3, получим Ри 2 3/2 31/а т. е.
снова две ветви полукубической параболы с точкой возврата на звуковой линии 1жирная кривая на рис. 120). Это свойство характеристик заранее очевидно из следующих простых соображений. В точках линии перехода угол Маха равен я112. Это значит, что касательные Рис. 120 к характеристикам обоих семейств совпадают, что и означает наличие здесь точки возврата 1рис.
120). Линии же тока пересекают звуковую линию перпендикулярно к характеристикам, не имея здесь особенностей. При этом 0 = хна, у = у/а, так что Ф = аду. 1119.5) По степени однородности этой функции ясно, что ему соответствует одна из функций Фэнов, это есть второй член выражения 1118.7), в котором гипергеометрическая функция с й = 5/6 сводится просто к 1: ГЛ ХП ПЛОскОЕ течении О>киыккмо!'О ГАэА Решение (119.6) неприменимо в том исключительном случае, когда линия тока перпендикулярна к звуковой линии в рассма- триваемой точке ') .
Вблизи такой точки течение, очевидно, сим- метрично относительно оси х. Этот случай требует особого рас- смотрения (Ф.И. Франкль и С.В. Фалькович, 1945). Симметрия течения означает, что при изменении знака у ско- рость гр меняет знак, а пк остается неизменной. Другими сло- вами, потенциал 22> должен быть четной функцией у (а потен- циал 4> — четной функцией О). Первые члены разложения 20 бу- дут поэтому в этом случае иметь следующий вид: 2 Е В 3 4 р= — '"' +'х" + (119.8) 2 2 24 (относительный порядок малости х и у не предопределен, так что все три написанных члена могут быть одинакового порядка).
Отсюда находим следующие формулы преобразования из физи- ческой плоскости в плоскость годографа: Г) = ах+ У, 0 = а~ху+ (119.9) 2 б Уже не решая этих уравнений относительно х и у в явном виде, легко видеть, что степень однородности функции у(0, !)) равна 1226. Поэтому. соответствующая функция Ф имеет й = 1226+1222 = = 2/3, т. е. заключена в общеъ1 интеграле Ф21з. Исключив из уравнений (119.9) х, получим для определения функции у(0, т)) кубическое уравнение (ау) — Зуау + 30 = О. (119.
10) При 02 — 42)з>29 ) О, т. е. во всей области слева от годографиче- ских характеристик, проходящих через точку 2) = 0 = О (в том чиш!е во всей дозвуковой области, 2) ( О; рис. 121), это уравнение имеет всего один вещественный корень, который и должен быть взят в качестве функции у(0, 2)). В области же справа от характе- ристик вещественны все три корня; из них должен быть взят тот, который является продолжением вещественного в левой области корня. Характеристики в физической плоскости (проходящие через начало координат) получаются подстановкой выражений (119.9) в уравнение 4уз = 902. Это дает две параболы: характеристики 23 и 55: х = — ау 224, (119.11) характеристики 34 и 45 ! х = ау~>22 ) В решении (119.б) этому соответствовало бы равенство нулю постоянной а, но при а = О это решение теряет смысл, так как на линии и = О обращается в нуль якОбиан 2А.
621 1 119 ввшвния твлвнвния эйлввк-твикомн 3 ау 2 3 х=-— ау 2 Дееву областв зву ковал взь 4 — х 'з х=-— ау 4 Рис. 121 На рис. 121 одинаковыми цифрами отмечены соответствующие друг другу области плоскости годографа и физической плоскости. Это соответствие не взаимно однозначное '); при полном обходе вокруг начала координат в физической плоскости область между двумя характеристиками в плоскости годографа проходится трижды, как это указано штриховой линией на рис.
121, дважды отражающейся от характеристик. Поскольку функция у(0, 11) сама удовлетворяет уравнению Эйлера — Трикоми, то она должна содержаться в общем интеграле Ф1~б. Вблизи характеристики вЗ в физической плоскости это есть (119.12) (первый член выражения (118.6), не имеющий особенности на характеристике). Производя ее аналитическое продолжение в окрестность характеристики 56 (по пути, проходящему через дозвуковую область 1, т. е. с помощью формул (118.13)), мы получим там такую же функцию.
Вблизи же характеристик 34 1 з ) В соответствии с тем, что нв характеристике х = ау /2 в физической плоскости имеем Ь = со (сзь примеч. иа с. 607). (цифры указывают, какие две области в физической плоскости разделяет данная характеристика). Звуковая же линия (11 = 0 в плоскости годографа) в физической плоскости есть парабола х = — пй2/2 (жирная кривая па рис. 121).
Отметим следующую особенность точки пересечения звуковой линии с осью симметрии: из этой точки исходят четыре ветви характеристик, между тем как из всякой другой точки звуковой линии всего две. 622 ГЛ Хп плОГ:КОе ть'санин ОэкимлвмО1'О Глзл и 45 усВ, 0) представится линейными комбинациями этой функ- ции и функции 1119.13) (второй член выражения 1118.6)); эти комбинации получаются путем аналитического продолжения с помощью формул 1118.11) (причем надо иметь в виду, что при каждом отражении от годографической характеристики квадратный корень в функции (119.13) меняет знак). С математической точки зрения полученные результаты показывак1т, что функции Ф1)е являются линейными комбинациями корней кубического уравнения Уз — 31) У + ЗВ = 0,. 1119.14) т.
е. сводятся к алгебраическим функциям ') . Вклесте с Ф17в сводятся к алгебраическим функпиям также и все Фь с й= — и- —, и=0,1,2, ..., (119.15) получающиеся сосласно формулам (118.9) и (118.10) из Ф11е пу.тем последовательных дифференцирований (Ф.И. Франклтч 1947). К алгебраическим функциям сводятся также те функции Фь с сс = и- —, )с = — т- —, 1119.16) 2' 3 2 в которых гипергеометрическая функция сводится к полиному ') (так, при а = и/2 это есть первый член, а при й = — и/2 второй член выражения (118.6)). К этим трем семействам алгебраических функций Фь относятся, в частности, все те функцсли, которые люгут соответствовать св качестве потенциала Ф) течениям, не имеющитл никаких особенностей в физической плоскости. Именно, для таких течений все члены разложения Ф вблизи несимметричной точки линии перехода (первые два члена которого даются формулой (119.6)) могут иметь лишь й = 5/6+ и/2 или й = 1+ и/2.
Разложение же Ф вблизи симметричной точки сначинаюшееся членом с й = 2/3) может, кроме того, содержать еще функции с й = 2113 + тс!2. ) Пользоваться явным выражением этих функций, получаемым из 1119.14) с помощью формулы Кардана, фактически неудобно. 1) здесь надо иметь в виду, что 1Гсо, Д, т; я) сводится к полииому, если для О (или Д имеет место О = — и илн т — а = — и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
