VI.-Гидродинамика (1109684), страница 126
Текст из файла (страница 126)
10) (см. рис. 125 б; обозначение линий и Областей на этом рисунке соответствует обозначениям на рис. 125 а). Уравнение звуковой линии получается из функций (121.7), (121.8). Дифференцируя по !) и О и положив затем й = О, получим из (121.7) уравнение той части линии, на которой О ) 0: л = — АО у = — — 6 25В0~1~. 16 откуда 9 — 11АВА — 576( )Ь76 (121.11) Это нижняя часть звуковой линии на рис. 125 б. Аналогичным образом из (121.8) находим уравнение верхней части этой линии: 11,1 73В ~-5/6 5/6 (121.12) 1 ) С учетом первых поправочных членов (вторые члены в Формулах (121А)) уравнение отраженного разрыва: — у = 1,31А'! т 7 — 10,5В.4 '7 т ' (121.10а) 634 ГЛ ХП ПЛОС'КОК ТЕ !ЕНИЕ О1КИМАКМО!'О ГАЗА дографа (ОЬ2 и ОЬз на рис.
126 а), и тем самым будет экспоненциально мала интенсивность ударной волны. Пренебрегая экспоненциальио малыми значениями ( па линиях ОЬ2 и ОЬз,мы получим для координат л, у на них те же выражения, которые мы имели на двух сторонах характеристики ОЬ в предыдущем случае. Поэтому условие непрерывности координат на ударной волне во всяком случае приводит к прежнему соотношению (121.5). Соответственно, остается прежним и выражение (121.13) для скачка производной от скорости на падающем разрыве. Снова приняв, что этому разрыву отвечает верхняя характеристика Оп на плоскости годографа, будем по- прежнему иметь А ) О, так что теперь В ( О.
Из (121.13) видно, следовательно, что физическим критерием происхождения двух случаев отражения слабого разрыва является знак скачка производной скорости па падающем разрыве. Остаются прежними (при пренебрежении экспоненциально малыми поправками) уравнения (121.9),(121.10) линий падающего (слабого) и отраженного (ударной волны) разрывов. Но ввиду другого знака постоянной В меняется расположение этих линий на физической плоскости как это показано на рис. 126 б. — ! 4 а ь,ь Слаба!я !ХХЧ1Е1в ° ~ 3 Зву1ааав лаана а ! Ььз Уда1лн1л волна б Рис. 126 Для определения интенсивности ударной волны (т. е.
скачков величин бд и б0 на ней) надо обратиться к полной системе граничных условий, которым должно удовлетворять на ударной волне решение уравнения Эйлера — Трикоми. Они были сформулированы уже в 2 120: условия (120.9)-.(120.11). Из пих последнее! уравнение ударной поляры, принимает вид (дО)2 = 0(б0)2, где дд = 062 — Обз, бй = 062 — паз - - экспоненциально малые скачки величин на ударной волне (индексы Ь2 и ЬЗ относятся к линиям ОЬ2 и ОЬз на плоскости годографа, т. е.
соответственно к передней и задней сторонам ударной волны на физической плоскости). Отсюда ЬО = ЯЬ0; (121.16) отвлжвиив оллього влзгывл от звуковой линии 635 1 121 выбор знака при извлечении корня определяется тем, что одновременно с уменьшением скорости газа при его прохождении через ударную волну должно происходить приближение линий тока к поверхности разрыва. В соответствии с (121.15) ищем уравнения линий 052 и 056 в плоскости годографа в виде О+ -ц~~~ = а62~О~е О, О+ -ц~~~ = — ак1~0~е О, 3 з где о62 и оьз ИОлОжительные числа. Согласно (121.16) д(О+ — 11л12) = дО+ Я511 = 25О.
искомые скачки БО и Ьй да- 2 62 з ются поэтому следующими выражениями: (121.17) А„12!З)пв / 11116 Анв 16)В! ~, т) ' )В(в~16' где а = (а62+ аьз) /2: переменные 11, О выражены через координаты на физической плоскости согласно л — АО, у — Ап. Определение коэффициента а требует учета также и всех остальных граничных условий, причем в них должны учитываться члены как линейные, так и квадратичные по экспоненциально малой величине схр ( — О). Не приводя этих довольно громоздких вычислений, укажем лишь их результат; о62 = аьа = а = 5,2.
ГЛАВА ХГП ОБТЕКАНИЕ КОНЕт1НЫХ ТЕЛ й 122. Образование ударных волн при сверхзвуковом обтекании тел Простые соображения показывают, что при обтекании произвольного тела сверхзвуковым потоком перед телом возникает ударная волна. Действительно, в сверхзвуковом потоке возмущения, обусаовленные наличием обтекаемого тела, распространяются только вниз по течению. Поэтому натекающий на тело однородный сверхзвуковой поток должен был бы доходить до самого переднего конца тела невозмущенным.
Но тогда на поверхности этого конца нормальная компонента скорости газа была бы отличной от нуля в противоречии с необходимым граничным условием. Выходом из этого положения может являться только возникновение ударной волны, в результате чего движение газа между нею и передним концом тела становится дозвуковым. Таким образом, при сверхзвуковом обтекании тела перед ним возникает ударная волна;. ее называют головной.
При обтекании тела с тупым передним концом эта волна не соприкасается с самим телом. Спереди от ударной волны поток однороден, а позади нес движение а меняется, и поток огибает обтекаемое тело (рис. 127 и). Поверхность ударной волны уходит на бесконечность, причем Рис. 127 вдали от тела, где интенсивность волны мала, она пересекает направление набегающего потока под углом, близким к углу Маха. Характерной чертой обтекания тела с тупым концом является существование дозвуковой области течения за ударной волной -- позади наиболее выдающейся вперед свети ее поверхности: эта область простирается до обтекаемого тела и, таким образом, ограничена поверхностью разрыва, поверхностью тела и «боковой» звуковой поверхностью (штриховые линии на рис.
127 а). Ударная волна может соприкасаться с телом только если его передний конец заострен. Тогда поверхность разрыва тоже обладает точкой заострения, совпадающей с острием тела 637 ОВРЛЗОВЛНИВ УДЛРНЫХ ВОЛН рз = — "' '(2 уМ~1 — ( у — 1)~, ( -Р 1 2ж(7 — цм', (з-Рцы', пз =с1 Рз = Р1 (;з-1)м, ' 2+( -цм,' Давление ро в точке О (в которой скорость газа и = 0) можно получить теперь с помощью формул, определяющих изменение величин вдоль линии тока. Имеем (см. задачу к 3 83); Рв — рз 1+ и простое вычисление приводит к следующему результату: (122.1) Этим и определяется давление на переднем конце тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком (М1 ) 1).
Для сравнения приведем формулу для давления в точке остановки, которое получилось бы в результате непрерывного адиабатического торможения газа без ударной волны (как это было бы при дозвуковом обтекании): ра =р1(1+ М1) з (122.2) При М1 = 1 обе формулы дают одинаковое значение ро, а при (рис. 127 б); при несимметричном обтекании часть этой поверхности может являться поверхностью слабого разрыва. Для тела заданной формы такой режим обтекания оказывается, однако, возможным лишь при скоростях, превьппающих определенный предел; при меньших скоростях ударная волна отрывается от носика тела, несмотря на наличие острия (см.
3 113). Рассмотрим осссимметричное сверхзвуковое обтекание тела вращения и определим давление на переднем закругленном конце тела (в точке остановки точка О на рис. 127 а). Из соображений симметрии очевидно, что линия тока, заканчивающаяся в точке О, пересекает ударную волну в нормальном к ней направлении, так что в точке А нормальная к поверхности разрыва компонента скорости совпадает с полной скоростью.
Значения величии в набегающем потоке отмечаем, как обычно, индексом 1, а значения величин в точке А на задней стороне ударной волны индексом 2. Последние определяются гю формулам (89.6), (89.7) в виде 638 гл хш овтвклпик конкчпых ткл М1 > 1 давление (122.2) всегда превьш|ает истинное давление, даваемое формулой (122.1) ') .
В предельном случае очень болыпих скоростей (з41 »1) формула (122.1) дает (122. 3) т. е. давление ро пропорционально квадрату скорости обтекания. На основании этого результата можно сделать заключение о том, что и полная испытываемая телом сила сопротивления при скоростях, больших по сравнению со скоростью звука, пропорциональна квадрату скорости. Обращаем внигиание на то, что этот закон такой же, по которому меняется сила сопротивления при скоростях, малых по сравнению со скоростью звука, по настолько больших, чтобы число Рейнольдса было достаточно велико (сы.
8 45). Помимо самого факта необходимости возникновения ударных волн, можно еще утверждать, что при сверхзвуковом обтекании конечного тела на больших расстояниях от него во всяком случае должны иметься две следующие друг за другом ударные волны (Л. Ландау, 1945). Действительно, на болыпих расстояниях от тела вызываемые им возмущения слабы и поэтому их можно рассматривать как цилиндрическую звуковую волну., расходящуюся от оси к, проходящей через те.чо параллельно направлению обтекания; рассматривая, как это мы везде делаем, движение в той системе координат, в которой тело покоится, мы будем иметь волну, в которой роль времеви играет т/п1, а роль скорости распространения п1/Ь/Я1 — 1 (сьс ниже 8 123).
Поэтому мы можем непосредственно применить результаты, полученные в 8 102 для цилиндрической волны на болыпих расстояниях от источника. Таким образом, мы приходим к следующей картине ударных волн на далеком расстоянии от тела: в первой ударной волне давление испытывает скачок вверх, так что за ней возникает сгуп1ение; затем давление постепенно убывает, сгущение ) Это утверждение имеет общий характер и не связано с предполагаемой в (122.1), 1122.2) политропностью газа (и даже с его термодинамической идеальностью). Действительно, при наличии ударной волны энтропия газа в точке О ае > эы между тем как в ее отсутствие энтропия была бы равна э1. Тепловая же функция в обоих случаях равна шо = ш1+ г1/2, так как при ,г пересечении линией тока прямого скачка уплотнения величина ш -'г о~/2 но меняется.
Но нз термодинамического тождества Иш = Т па + пр/у следует, что производная (др/дэ)„= — рТ < О, т. е. увеличение энтропии при постоянном ш уменьшает,тавление, чем и доказывается сделанное утверждение. 639 1 122 ОВРЛЗОВЛНИВ УДЛРНЫХ ВОЛН сменяется разрежением, после чего давлсние вновь возрастает скачком во второй ударной волне. Интенсивность ггередней ударной волны падает с увеличением расстояния г от оси х как г а расстояние между обеими волнами возрастает как г'~4 ') .
Проследим за появлением и развитием ударных волн при постепенном увеличении чиста Маха М». Сверхзвуковая область в газовом потоке появляется впервые при некотором значении Мз ( 1 в виде области, прилегающей к поверхности обтекаемого тела. В этой области появляется по крайней мере одна ударная волна обычно замыкающая сверхзвуковую область. По мере увеличения М1 эта область расширяется, а вместе с ней удлиняется и ударная волна, существование которой при М1 = 1 было доказано (для плоского случая) в 6 120:, тем самым была доказана необходимость первого появления ударной волны у.кг.
при М1 ( 1. Как только М~ начинает превышать единицу, появляется ещв одна ударная волна головная волна, пересекающая весь бесконечно широкий натекающий поток газа. При Мы в точности равном единице, все течение впереди тела является дозвуковым. Поэтому при Мг > 1,но сколь угодно близком к единице, сверхзвуковая часть натекающего потока, а с пвю и головная ударная волна находятся сколь угодно далеко впереди тела. По мере дальнейшего увеличения М1 головная волна постепенно приближается к телу. Ударная волна в местной сверхзвуковой зоне должна какимто образом пересекаться со звуковой линией (мы будем говорить о плоском случае).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
