VI.-Гидродинамика (1109684), страница 130
Текст из файла (страница 130)
Фалькоеич, 1947). Обратим внимание на то, что в выражение (126.7) входит также и единственный параметр с2„, характеризующий свойства самого газа. Поэтому полученное правило определяет также и подобие по изменению рода газа. В ушювиях рассматриваемого приближения давление определяется формулой 655 околозвуковой элкок подоьия и, следовательно, являются функциями вида ') Св = '„,УК), Влэ (126.8) Совершенно аналогичным образом можно получить закон подобия для трехмерного обтекания тонкого тела, форма которого задается уравнениями вида У = б(1(*-), (126.9) с двумя параметрами б и 1 (д « 1).
Существенное отличие от плоского с;чучая связано с тем, что потенциал имеет при у -э О, в — + О логарифмическую особенность (см., например, формулы обтекания топкого конуса в 8 113). Поэтому граничное условие на оси х должно определять не сами производные деэ/ду, ду/дв, а остающиеся конечными произведения: , бэ Л. ад бЯ у — =1 —, в — =Я вЂ”. др г5с дв от Легко убедиться в том, что преобразованием подобия в этом слу- чае является (снова вводим угол 0 = бЯ х = Гх, д =,,у, з =,,У., оэ =10~~р, (126.10) причем параметр подобия М1 — 1 8'ж (126.11) ( Т. Кагтап, 1947).
Для коэффициента давления на поверхность тела получим выражение вида С = 02Р(К, 71), а для коэффициента силы сопротивления соответственно ') 04 У (У„) (126.12) 1 ) Область применимости этих формул определяется неравенством ~М1 — 1~ << 1.
Линеаризованной же теории соответствуют большие значения К, т. е. ~М1 — 1~ >> Вв7з. В области 1 >> М1 — 1 >> о 1в формулы (126.8) должны, глодовательно, переходить в формулы (125.6)-(125.8) линеаризованной теории. Это значит, что при больших К функшги (, и (э должны быть пропорциональны К ~) В области 1 » М1 — 1 » о~ должна получаться формула (123.7) линеаризованной теории, согласно которой С,, д~, это значит, что при увеличении К функция ДК) должна стремиться к постоянной.
666 гл хш овтвклнив конвчпых твл Все полученные формулы относятся, конечно, как к малым положительным, так и к малым отрицательным значениям М1 — 1. Если в точности М1 = 1, то параметр подобия К = 0 и функции в формулах (126.8) и (126.12) сводятся к постоянным, так что эти формулы полностью определяют зависимость С и Су от угла О и свойств газа а,. й 127.
Гиперзвуковой закон подобия Для обтекания тонких заостренных тел с большими сверхзвуковыми скоростями (болыпие М1) линеаризованная теория неприменима, как это уже было упомянуто в конце ~ 114. Поэтому представляет особый интерес простое правило подобия, которое можно установить для таких течений (их называют гиперзвуковыми). Возникающие при таком обтекании ударные волны наклонены к направлению движения под малым углом -- порядка величины отношения толщины тела к его длине (О = д,Л). Эти волны, вообще говоря, искривлены и в то же время обладают большой интенсивностью -..
хотя скачок скорости па них относительно мал, но скачок давления (а с ним и энтропии) велик. Поэтому течение газа в общем случае отнюдь не является потенциальным. Будем считать, что число М1 порядка величины 1/О или больше. Ударная волна понижает значение местного числа М, но оно во всяком случае остается порядка величины 1/О (ср. задачу 2 3 112), так что число М велико во всем пространстве. Воспользуемся указанной в 8 123 «звуковой аналогией»: трехмерная задача о стационарном обтекании тонкого тела с переменным сечением Я(х) эквивалентна нестациопарной двумерной задаче об излучении звуковых волн контуром, площадь которого меняется со временем по закону о'(е1 1): роль скорости звука играет при этом величина о1(М~~ — 1) ив или при больших М1 просто сы Подчеркнем, что единственное условие, обеспечивающее эквиваленьность обеих задач, заключается в малости отношения д/1, что дает возможность рассматривать небольшие вдоль длины тела кольцевые участки его поверхности как Пилиндрические.
При больших Мы однако, скорость, распространения излучаемых волн сравнима по величине со скоростью частиц газа в них (ср. конец з 123), и потому задача должна решаться па основе точных, нелинеаризованных уравнений. Возмущение скорости (по сравнению со скоростью у1 натекающего потока) мало уже при всяком сверхзвуковом обтекании тонкого заостренного тела. При гиперзвуковом обтекании дополнительно еще возмущение продольной скорости мало по сравнению с возникающими поперечными скоростями: пу - и, - 01 О, .пл — 61 - п1 О2.
(127.1) 657 ГИПЯРЗОУКОВОЙ ЗАКОН ПОДОБИЯ 1 127 Изменения жс давления и плотности отнюдь не малы: Р— Р1 М2О2 Рэ — Р1 (127.2) Рэ Рэ причем изменение давления может быть даже (при М1О )> 1) сколь угодно большим (ср. задачу 2 9 112). Звуковая аналогия относится, очевидно, только к двумерной задаче о движении в плоскости уз, перпендикулярной направлению натекающего потока.
В этой двумерной задаче линейная скорость источника звука —.порядка величины н1О; кроме нее в задачу входят в качестве независимых параметров еще только скорость звука с1 и размеры источника Д (и параметр плотности р1) ') . Из них можно составить всего одну безразмерную комбинацию (127.3) К=М О, которая и является критерием подобия ') . В качестве масштабов длины для координат уз и масштаба времени надо при этом взять величины соответствующей размерности составленные из тех же параметров, например, д и дгг(н1О) = 1/ПП естественным же параметром для координаты ш является длина тела 1.
Тогда можно утверждать, что ну — — и~ОП„', н, = и1ОП'„г р = ргн1~О2р', р = Ргр', (127.4) где н„', н'„р', р' функции безразмерных переменных х/1, у/д, 2,15 и параметра К; при этом в виду (127.1), (127.2) можно утверждать, что эти функции -. порядка единицы ') . ) Мы имеем в виду, конечно, не только уравнения движения газа, но и граничные условия к пим на поверхности тела и условия, которые должны выполняться на ударных волнах. Газ предполагается политропным, так что его газодинамические свойства зависят только от безразмерного параметра Ч; получаемое ниже правило подобия не определяет, однако, характера зависимости течения от этого параметра.
Следэтт отмстить, что при обтекании с Мэ » 1 газ сильно нагревается, в результате чего могут существенно измениться его термодинамические свойства. Поэтому количественный смыгл формул для политропного газа 1т. е. в предположении постоянства его теплоемкости) для гиперзвуковых скоростей фактически ограничен. ) Если не предполагать 511 болыпим, то получилось бы правило подобия с параметром К = ВуГМтэ — 1.
Оно, однако,не представляет интереса, поскольку при небольших М1 линеаризованная теория в действительности полностью определяет зависимость всех величин оэ этого параметра. 'э) Закон подобия для гиперзвукового обтекания сформулирован Цянь Сюэ-сэнем (Н.Б. Тэ«ен, 1946). Его связь со «звуковой аналогией», распространенной на нелинейную задачу, указана Хейэом ( И'.Л. Науеэ, 1947); в специальной литоратуре эту аналогию называют «поршневойэ. 656 гл хш оьтвклпив конвчпых твл Сила сопротивления Р вычисляется как интеграл г' = ~рпу~Ь, взятый по всей поверхности тела (в силу граничного условия п„= О, член и (чп) в плотности потока импульса обращается в нуль на поверхности тела; и --нормаль к этой поверхности).
Перейдя к безразмерным переменным согласно (127.4), получим коэффициент сопротивления С„(определенный согласно (123.6)) в виде С = 20~~р'ду'сЬ'. Оставшийся интеграл функция безразмерного параметра Х. Таким образом, С = О~г"(К). (127. 5) Такой же самый закон подобия получается, очевидно, и в плоском случае --- для обтекания тонкого крыла бесконечной протяженности.
Для коэффициентов сопротивления и подъемной силы получаются при этом формулы вида С = 0~~ (К), Сл — — 0 ~у(К). (127.6) При применении законов (127.5), (127.6) следует помнить, что подобие течений предполагает, что форма, размеры и ориентация обтекаемых тел относительно натскающсго потока получаются друг из друга только изменением масштаба б вдоль осей у, х и масштаба ! вдоль оси ах Это значит, в частности, что если отличен от нуля угол атаки о, то для подобных конфигураций отношение о/О должно быть одинаковым. При К1 -+ оо функции этого параметра в (127.5), (127.6) стремятся к постоянным пределам.
Это утверждение является следствием существования предельного (при М1 — ~ оо) режима обтекания, свойства которого в существенной области течения не зависят от М1 (С.В. Валлаядер, 1947; К. ОзюайЬсЬ, 1951). Под лсуществепной» подразумевается область течения между передней, наиболее интенсивной, частью головной ударной волны и поверхностью обтекаемого тела, пе слишком далеко от его персдней части (подчеркнем, что именно эта область, с наибольшим давлением, определяет действуюгцие на тело силы). Если описывать течение «приведонными» скоростью и/пы давлением р/(р1п~~) и плотностью р/р~ как функциями безразмерных координат, то картина обтекания тела заданной формы в указанной области оказывается в пределе независящей от Мм Дело в том, что, будучи выраженными через эти переменные, оказываются 659 ГИПВРЗВУКОВОЙ ЗАКОН ПОДОБИЯ независящими от М1 не только гидродинамические уравнения и граничные условия на поверхности обтекаелшго тела, но и все условия па поверхности ударной волны.
Ограничение области движения «существеннойэ частью связано с темг что пренебрегаемые в последних условиях величины относительного порядка 1/(М, вш ~р), где 9э.- угол между эг1 и поверхностью разрыва; на больших расстояниях, где интенсивность ударной волны мала, этот угол стремится к углу Маха агсвш (1/М1) 1г'М1, так что параметр разложения перестает быть малым: 1/(М1~ Б)пг ~р) 1 ') . Задача Определить подъемную силу, действующую на плоское крыло бесконечного размаха, наклоненное к направлению движения под малым углом атаки О при Мга > 1 ггг..Р. ьгнней, 1949). Р е ш е н и е. Картина обтекания выглядит, как показано на рис. 130г от переднего и от заднего краев пластинки отходят по ударной волне и по волне разрежения, в которых поток поворачивает сначала на угол О, а затем на такой же угол в обратном направлении.
Согласно акустической аналогии задача о стационарном обтекании такой пластинки эквивалентна задаче о нестациопарном одномерном движении газа впереди и позади поршня, движущегося равномерно со скоростью Оег. Впереди поршня образуется ударная волна, а позади — волна разрежения (см. зада- Рис. 130 чи 1, 2 3 99). Воспользовавшись полученными там результатами, находим искомую подъемную силу как разность давлоний, действующих на обе стороны пластинки. Коэффициент подъемной силы: гэ е,= '( ' ° +' ° ' г (~+'Я- г' ~г- 'гг)' ' (где Л = ОМг ). При К > 2Д у — 1) под пластинкой образуется область вакуума и второй члон должен быть опушен. В области 1 « Мг « 1га эта формула переходит в формулу С„= 4оггМг, даваемую линеаризованной теорией, в соответствии с тем, что здесь перекрываются области применилюсти той и другой. ) Детали доказательства можно найти в кнз Черный Г.Г.
Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. — Мс Физлгатгиз, 1959, гл. 1, 3 4. ГЛАВА ХГЧ ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ й 128. Медленное горение Скорость химической реакции (измеряемая, скажем, числом прореагировавших в единицу времени молекул) зависит от температуры газовой смеси, в которой она происходит, увеличиваясь вместе с пей. Во многих случаях эта зависимость очень сильная ') . Скорость реакции может при этом оказаться при обычных температурах настолько малой, что реакция практически вовсе не идет, несмотря на то, что состоянию термодипамического (химического) равновесия соответствовала бы газовая смесь, компоненты которой прореагировали друт с другом. При достаточном же повышении температуры реакция протекает со значительной скоростью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
