VI.-Гидродинамика (1109684), страница 129
Текст из файла (страница 129)
9 125. Сверхзвуковое обтекание крыла Для того чтобы быть хорошо обтекаемым в сверхзвуковом потоке., крыло должно иметь заостренными как заднюю, так и переднюю кромки, подобно тому как должны быть заострены тонкие тела, рассматривавшиеся в 3 123. Здесь мы ограничимся изучением обтекания тонкого крыла с очень большим размахом, с постоянным вдоль размаха профилем сечения. Рассматривая длину размаха как бесконечную, мы будем иметь дело с плоским (в плоскости ху) течениел( газа. Вместо уравнения (123.1) будем иметь теперь для потенциала уравнение д (0 Л(12д 0> о (125 1) ду> дх> с граничным условием = +»1П д(0 (125.2) ду у- зл 1знаки ~ в правой части равенства имеют место соответственно для верхней и нижней поверхностей крыла).
Уравнение (125.1) 650 овтвклнне конкчпых ткл гл хш есть уравнение типа одномсрного волнового уравнения, и его общее решение имеет вид 9 =Л( — Ы+Ых+Ы Тот факт, что влияющие на движение жидкости возмущения исходят от тела, означает, что в пространстве над крылом (у ) 0) должно быть 1'2 = О, так что уг = у"1(х — гну), .а в пространстве под крылом (у ( 0): уг = у2(х + 11у). Будем для определенности рассматривать пространство над крылом, где уг = 1(х — 1гу). Функцию (' определим из граничного условия (125.2), написав 1г(л) Рнс.
129 в нем и„- — ~2(х)г где у = 1,2(х) есть уравнение верхней части линии профиля крыла (рис. 120 а). Имеем — = — Я'(Х) = О1~2(Х), У'(Х) = — — 'г,2(Х). ду !у — г-~-О Таким образом, распределение скоростей определяется (при у ) 0) потенциалом 9 (х, У) = — — "Ых — РУ). Аналогично при у ( 0 мы получили бы (125.3) 9 = — 'М +РУ) где у = ~1 (х) -- уравнение нижней части профиля. Отметим, что потенциал, а с ним и остальные величины постоянны вдоль прямых х х ру = сопв1 (характеристик) в соответствии с результатами 9 115, частным случаем которых является и полученное здесь решение.
Качественно картина течения выглядит следующим образом. От задней и передней заостренных кромок отходят слабые раз- 651 1 125 сввРхзвуковов Овтвклник кРыла рывы (аАа' и ЬВЬ' на рис. 129 6) ') . В пространстве впереди разрыва аАа' и позади ЬВ11' поток однороден, а в области между ними поток поворачивает, огибая поверхность крыла; это есть простая волна, причем в рассматриваемом линеаризованном приближении все характеристики в ней имеют одинаковый наклон, равный углу Маха натекающего потока. Распределение давления получается по формуле Р-Р1 =-Р1 1 — ' ВУ дх (в общей формуле (114.5) членом с 11~2 можно в данном 1лучае пренебречь, так как и и пу одинакового порядка величины).
Подставив сюда (125.3) и вводя гак называемый коэффициент давления Ср, получим в верхней полуплоскости В частности, коэффициент давления, действующего на верхнюю поверхность крыла, есть Срз: Г'2(ж) ° Г1 (125 ч) Аналогично найдем для нижней поверхности Ср1: ь1 (Х) ° Г1 (125.5) Отметим, что давление в каждой точке профиля сечения крыла оказывается зависящим только от наклона его контура в этой же точке. Поскольку угол наклона линии контура профиля к оси х везде мал, то вертикальная проекция сил давления равна с достаточной точностью самому давлению. Результирующая действующая на крыло под"ьемная сила равна разности сил давления, действу.ющих на ее нижнюю и верхшою поверхности.
Поэтому коэффициент подъемной силы Сд — — — 11 (Ср~ — СР21) дж 1 Г 411 1 / Д о ') Это справедливо лишь в принятом здесь приближении. В действительности зто — не слабые разрывы, а ударные волны слабой интенсивности или узкие центрированпые волны разрежения, смотря по тому, в какую сторону поворачивает в них направление скорости. 'Гак, для изображенного на рис. 129 б профиля Ао и ВЬ' будут волнами разрежения, а Ао' и ВЬ вЂ” ударными волнами.
Линия же тока, исходящая от задней кромки (точка В на рис. 129 б), представляет собой в дейсзвите11ьности тангенцнальный разрыв скорости (фактически размывающийся в тонкий турбулентный след). 652 оь гвклиик конечных твл гл хш (125. 7) ') Но все же больше толщины пограничного слоя. (определение длин 1„, 1л см. рис.
129 а). Определим угол атаки гт как угол наклона к оси т хорды АВ, проведенной через вершины острых кромок (рис. 129 а): гт !е/1,, тогда получим окончательно простую формулу: 4а (125.6) (Х Асйегег, 1925). Мы видим, что подьемная сила определяется одним только углом атаки и не зависит от формы сечения крыла в отличие от того, что имеет место при дозвуковом обтекании (см. 8 48, формулу (48.7)). Определим, далее, действующуго на крыло силу сопротивления (это есть волновое сопротивление, имеющее такую жс природу, как и волновое сопротивление тонких тел; см.
З 123). Для этого надо спроецировать силы давления на направление оси га и проинтегрировать эту проекцию по всему контуру профиля. Для коэффициента силы сопротивления получим тогда С, = — I (~',~ + ~2") г1х. дд,,/ о Введем уг:лы наклона Ог(ш) и 02(х) верхней и нижней частей контура к его хорде АВ; тогда ~г~ — — Ог — гт, (~з — — 01 — а.
Интегралы от 01 и 02 обращаются, очевидно, в нуль, так что окончательно получим следующую формулу: 4о т 2(ее З-Г) С,= (125. 8) /Я",: Т (черта обозначает усреднение по ш). При заданном угле атаки коэффициент сопротивления, очевидно, минимален для крыла, представляющего собой плоскую пластинку (так что 01 = 02 = = 0). В этом случае С = гтС„. Если применить формулу (125.8) к шероховатой поверхности, .то мы найдем, что шероховатость может привести к значительному увеличению сопротивления, даже если высота отдельных неровностей мала ') . Действительно, сопротивление оказывается не зависящим от высоты отдельных неровностей, если не меняется средний наклон их поверхности, т.
е. среднее отношение высоты неровностей к расстоянию между ними. Наконец, сделаем еще следующее замечание. Здесь, как и везде, говоря о крыле, мы подразумеваем, что оно расположено своими кромками перпендикулярно к движению. Обобщение на случай любого угла з между направлением движения и кромкой 653 ОКОЛОЗВУКОВОЙ ЗЛКОК ПОДОБИЯ 1угол скольэкенил) вполне очевидно. г1сно, что силы, действующие на бесконечное крыло постоянного сечения, зависят только от нормальной к его кромкам составляющей скорости натекающего потока, :в невязкой жидкости составляющая скорости, параллельная кромкам, не вызывает никаких сил. Поэтому силы, действующие па крыло со скольжением в потоке с числом Мы-- такие же, какие действовали бы на то же крыло без скольжения в потоке с числом Мы равным М1 в1п у.
В частности, если М1 > 1, но М1В1п у < 1, то специфическое для сверхзвукового обтекания волновое сопротивление будет отсутствовать. 3 126. Околозвуковой закон подобия Развитая в 3 123 — 125 теория сверх- и дозвуковых обтеканий тонких тел неприменима в случае околозвукового движения, когда становится несправедливым линеаризованное уравнение для потенциала.
В этом случае картина течения во всем пространстве определяется нелинейным уравнением (114.10): д~'д ~' д ~' + д г (126.1) дк дхг ду' дг' (или, при плоском движении, эквивалентным ему уравнением Эйлера — Трикоми). Решение этих уравнений для конкретных случаев, однако, весьма затруднительно. Поэтому существенный интерес представляют правила подобия, которые можно установить для таких течений, не прибегая к их конкретному решению. Рассмотрим сначала плоское течение, и пусть У = В11х,Ч) (126.2) есть уравнение, определяющее форму обтекаемого тонкого контура, причем 1 есть его длина (в направлении обтекания), а 5 характеризует его толщину (б « 1).
Изменением двух параметров / и б получим семейство подобных контуров. Уравнение движения имеет вид 2о,— ' (126.3) дх дк' ду' со следующими граничными условиями. На бесконечности скорость равна скорости у~ невозмущенного потока, т. е. — "' = О, — "' = М,. — 1 = " (126.4) ду дк а. (см. определение потенциала ~р согласно (114.9)).
На профиле же скорость должна быть направлена по касательной к нему: (126.5) 654 Онтеклние кОнечных 'Гел !'Л Х1Н ввиду тонкости профиля можно требовать выполнения этого условия при у = О. Введем новые безразмерные переменные согласно х = 1х, у = у, у2 =,,у2(У, у) (126.6) С И212 (мы ввели угол 0 = Н211, характеризующий «угол растворан тела или угол атаки). Тогда мы получим уравнение 2— др д'ф д'т дх дх2 ду2 с граничными условиями ~ =~~(х) при у=О, ду д д — ~=Х, — ~=О насо, дх ' ду где М1 — 1 (О.У)2м (126.
7) Р Р1 — Р2 Н2 (Нх — Н2 ). Вычисление с помощью выражений (126.6) показывает, что ко- эффициент давления на профиль будет функцией вида Коэффициенты силы сопротивления и подъемной силы опреде- ляются интегралами по контуру профиля: 1/ дх 12 Эти условия содержат лишь один параметр -- Х. Таким образом, мы получили искомый закон подобия: плоские околозвуковые течения с одинаковыми значениями числа Х подобны, как это устанавливается формулами (126.6) (С.В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
