VI.-Гидродинамика (1109684), страница 125
Текст из файла (страница 125)
Параметр в пробегает положительные значения, начиная от нуля (в = О соответствует в = — сс., т. с. натокающему с бесконечности потоку). В частности, значение В = 1/2 соответствует и = О, т. е. дает распределение скоростей при больших й в перпендикулярной к оси т плоскости, проходящей в районе обтекаемого тела. Значение В = 1 соответствует звуковой линии (т) = О), а В = 4/3, как легко убедиться, -" предельной характеристике.
Значение жс постоянной а1 зависит от конкретной формы обтекаемого тела и могло бы быть определено лишь путем точного решения задачи во всем пространстве. Формулы (120.8) относятся лишь ко всей области псред ударной волной. Неизбежность появления последней видна уже из следующих соображений.
Простое вычисление по формуле (118.5) дает для якобиана Ь выражение 17' — 1)' Легко видеть, что на характеристиках и во всей области слева от них (что соответствует области вверх по течению от предельных характеристик в физической плоскости) 4з ) О и нигде в нуль не обращается.
В области же справа от характеристик Ь проходит через нуль, откуда и видна неизбежность возникновения здесь ударной волны. Граничные условия, которым должно удовлетворять решение уравнения Эйлера — Трикоми на ударной волне, заключаются в следующем. Пусть 01, 01 и 02, 92.- значения 0 и О по обеим сторонам разрыва. Прежде всего они должны соответствовать одной и той же кривой в физической плоскости, т, е. х(01, т)1) = х(02, Ц2), У(01, т)1) = У(02, Ц2). (120.9) дФ а4(74 + Л) да 2(14 — Ц)з ' (120.7) дФ а41" Д = — =— дв (1"з — 41)з Эти формулы можно представить в удобном параметрическом виде, введя в качестве параметра величину В = 7 /(7 — О); тогда х 1/524 — 1 — =а У4,'5 2В224 цу2/в и ! В1/5(в 1) 315 0йз~в = — 'В'~'18 — 2В), 3 ' 628 ГЛ Хп ПЛОС:КОЕ ТЕ'1ИИИК С1КИМЛКМО1'О ГЛЭЛ Далее, условие непрерывности касательной к разрыву компоненты скорости (т.
е. условие непрерывности производной от потенциала 1р вдоль линии разрыва) эквивалентно условию непрерывности самого потенциала: Р(В„ 0,) = Р(В„ 02) (120. 10) (потенциал 52 определяется по функции Ф формулой (119.3)). Наконец., последнее условие можно получить из предельной формы уравнения ударной поляры (92.6), устанавливающего определенную связь между компонентами скорости по обеим сторонам разрыва. Заменив в (92.6) угол 5 на 02 — 01 и введя 211, 02 вместо и1, в2, получим следующее соотношение: 2(02 — 01) = (02 — 211)2Я2+ 211). (120.11) В данном случае решение уравнения Эйлера — Трикоми позади ударной волны (область между Ог' и Ог" в плоскости годографа; рис.
123) иъ1еет тот же вид (120.5), (120.6), но, конечно, с другим постоянным коэффициентол1 (обозначим его как а2) вместо а1. Четыре уравнения (120.9) — (120.11) определяют отношение а2,1'а1 и связывают между собой величины: 211, 01, 212, 02. В результате довольно сложного их совместного решения получаются следующие результаты.
Ударной волне соответствует значение 5 = (55'3+ 8) 216 = 2,58 параметра в в формулах (120.8), дающих при этом форму волны и распределение скорости на передней стороне разрыва. В области позади (вниз по течению) от ударной волны коэффициент — а2 оказывается отри- 2 цательным, а параъ1етр пробегает от- 42 рицательные значения. Вводя здесь в каче- 12 стве в положительную величину в = ч — 12 получим вместо (120.8) формулы л 1/522+ 1 У422 ' 222М ' = а. 2/5 2/5 1/5( 1) 2/2 ОУ~15 = — ' 5 15(25+ 3), (120.12) з ПРИЧЕЛ1 а2/а1 = (95г3+ 1)22(9Л вЂ” 1) = 1114, Рис. 124 ОРРА>КВИИИ ОЛАЬОГО РАЗРЫВА От ЗВУКОВОЙ ЛИНИИ 629 1 121 а в пробегает значения от б = (бъ'3 — 8)/б — 0,11 [на ударной волне) до нуля [на бесконечности вниз по течению). На рис.
124 изображены графики зависимости уу21ь и Оуз1ь от ху 41ь, вычисленные по формулам [120.8) и [120.12) (постоянная а1 условно положена равной единице). я 121. Отражение слабого разрыва от звуковой линии Рассмотрим, снова с помощью уравнения Эйлера — Трикоми, отражение слабого разрыва от звуковой линии. Ьудсм считать,. что падающий на звуковую линию слабый разрыв (вприходящий» по отношению к точке их пересечения) обычного типа, возникающего, скажем, при обтекании острых углов, т. о. разрыв первых производных скорости по координатам. Он отражается от звуковой линии в виде другого разрыва, характер которого, однако, заранее неизвестен и должен быть определен путем исследования течения в окрестности точки пересечения.
Последнюю выбираем ниже в качестве начала координат х, у, а ось х-- вдоль направления скорости газа в этой точке; тогда ей соответствует начало координат и в плоскости годографа. Слабые разрывы расположены, как мы знаем, вдоль характеристик. Пусть приходящему разрыву соответствует в плоско- и] — 4-0~а===- г — ч --.ь — — — Слабый разрьи — - — За»ховал линия б Рис. 126 сти годографа характеристика Оп (рис. 125 а). Непрерывность координат т,, у на разрыве означает, 1то должны быть непрерывными первые производныс Фл, Фв. Напротив, .вторые производные от Ф выражаются через первые производные от скорости по координатам и потому должны испытывать разрыв. Обозначая скачки величин квадратными скобками, имеем, таким образом: на Оа: [Фл] = [Фо] = 0; [Фоя] [Фбл] [Ф ] ~ 0 [121 1) бзО ГЛ ХП плОскОе те 1еиик сжиь1Аее1О!'О Геэл Сами жс функции Ф в областях 1 и 2 по обе стороны от характеристики Оа не должны иметь на ней никаких особенностей.
Такое решение можно построить с помощью второго члена в 1118.6) с й = 11г112! пропорционального квадрату разности 11 — 49 /(90 )) (второе же независимое решение Ф!1,1!2 имеет на характеристике особенность см. ниже); первые производные этой функции на характеристике обращаются в нуль, а вторые конечны. Крое1е того, в Ф могут войти такие частные решения уравнения Эйлера — Трикоми, которые не приводят ни к каким особенностям течения в физической плоскости. Наиболее низким по степеням 0 и !1 таким решением является 09 Я 119). Таким образом, вблизи характеристики Оа ищем Ф в виде 1121.2) Ф.э = — А!1Π— С0!!~ь~гр(12 12 3 112 12 ' / где индексы а1 и а2 указывают окрестности по обе стороны характеристики 1в областях 1 и О); А, В, С .постоянные, и снова введено обозначение с =1— 1на характеристике с = 0).
Мы увидим ниже,что в зависимости от знака произведения АВ могут иметь место два случая: слабый разрыв отражается в виде слабого же разрыва другого 1логарифе!ического) характера или в виде ударной волны малой интенсивности. Отражение в виде слабого разрыва. Рассмотрим сначала первый из этих случаев 1ЛД. Лаггдпу, Е.М.
Лиф!виц, 1954). Отраженному от звуковой линии слабому разрыву соответствует в плоскости годографа вторая характеристика 106 на рис. 125 а). Вид функции Ф вблизи этой характеристики устанавливается путем аналитического продолжения функций 1121.2) согласно формулам 1118.11)-.1118.13).
Однако при й = 111'12 функция Р! теряет се!ыш! и поэтому непосредственно воспользоваться этими формулаели нельзя. Вместо этого надо положить в них сначала й = 111!12+ с, после чего УстРемить с к нУлю. В соответствии с общей теорией гипергеометрического уравнения при этом появляются логарифмические члены. В резулепате вычисления 1с помощью 1118.13)) для функции Ф вблизи характеристики 06 в области 0 получается следующее выражение 1с точностью до членов второго порядка по с включительно): Фаэ = — А09 + — ( — О) "геД~ 1п ф + со + с!~ + сг~~), (121.3) ОТРАженив СЛАьОГО РААРывА От звхкОИОЙ линии 631 1 121 ~у 12' Бс1 ( р)770 1121.4) у = — А( — — ) — — ( — со + 2сл) ( — й)'~~, а дифференцирование функции Фаз даст такие же выражения с С/2 вместо В.
Условие непрерывности координат л, у на ха- рактеристике ОЬ приводит, следовательно, к соотношению 1121 5) С= 2В. Далее, для осуществления рассматриваемой картины отражения должны отсутствовать предельные линии в плоскости годографа 1и тем самым пефизические области в этой плоскости), т. е.
якобиан Л нигде не должен проходить через нуль. Вблизи характеристики Оа якобиан вычисляется с помощью функций 1121.2) и оказывается положительным 1главный член в нем: са — А2). Вблизи же характеристики Ой вычисление с помощью 1121.3) дает А2 16(З) АВ, 1741 1121.6) При приближении к характеристике логарифм стремится к — оо, и главным является второй член.
Поэтому из условия Ь > О имеем АВ > О, т. е. А и В должны иметь одинаковый знак. Наконец, для определения формы звуковой линии нам понадобятся выражения для Ф вблизи оси г1 = О. Выражение, пригодное в окрестности верхней части этой оси, получается просто преобразованием гипергеометрической функции в Ф 1121.2) в гипергеометрические функции аргумента 1 — с = 4713/(902), обращающегося в нуль при 71 = О ') . Сохранив лишь члены наиболее ) Значение этих постоянных: се = — 2' 3 !385 = — 108, с~ = 288/7 = 41,1, сэ = 4,86. ') Это преобразование приведено, например, в т.
111, 3 е Математического дополнения, формула 1е.7). где со, см с2 числовые постоянные ') . Аналогичное преобразование 1с помощью 1118.11)) функции Ф 2 от окрестности характеристики Оа к окрестности характеристики 06 дает функцию Ф12, отличающуюся от 1121.3) лишь заменой В на С/2. Координаты т, у точек характеристики в физической плоскости вычисляются как производные 1118.4), взлпые при с = О. Так, исходя из 1121.3), найдем 632 гл хп плОс1кОК те'!вняв сжив!Акмо!'О !тп!л низких степеней по !)! получим Ф, = — Ат)0 — ~~~~~~~ ВО" 76 = — А )Π— 6,25ВО!176. Г(23/12)Г(17/12) (121.7) Аналитическое же продолжение в область нижней части оси дает Ф, = — Ат)0 — 6,25 Л ВО~ ~16 (121.8) (вычисления аналогичны выводу формулы преобразования (118.13)).
Теперь можно определить форму всех интересующих нас линий. На характеристиках имеем, отбрасывая члены более высокого порядка: т = — АО, у = — А!). Мы условились считать, что приходящему слабому разрыву отвечает верхняя характеристика (О ) О). Поскольку скорость газа направлена в положительном направлении оси л, то этот разрыв, для того чтобы быть приходящим, должен лежать в полуплоскости т ( О. Отсюда следует, что постоянная А, а с нею и В должны быть положительными. Уравнение линии слабого разрыва в физической плоскости будет 13! 273 [' ) А!73(,)2!3 1 31А11'3(, )273 (121 О) 2 Отраженный же разрыв, соответствующий нижней характеристике, дастся уравнением ') — у = 1131А17зтз)з (121.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
