VI.-Гидродинамика (1109684), страница 128
Текст из файла (страница 128)
1йпеаг апг1 поп11пеаг иегов. — 'гг'йеу, 1974). ОВВРХВВукОВОВ Оьтеклннв злООЗ'РвннОГО тенл 643 1 123 При интегрировании по всей поверхности первый член исчезает, таК КаК ИНтЕГРаЛ От Рох ЕСТЬ РаВНЫй НУЛЮ ПОЛНЫЙ ПОТОК МаССЫ газа через контрольную поверхность. Поэтому остается Г = — 2ьг / П,дх = — 2ягр1 I ~ — ~Ох. (123.4) ./ дт дх На больших расстояниях (в волновой зоне) производные от потенциала вычисляются так, как это было сделано в 3 74 (см. формулу (74.17)), и получается х — дх д.=,д.= Г~ 1 а~ х х 2 ~ 2 ъ="ТАЗГ о Это выражение подставляем в (123.4), причем квадрат инте~ рала переписываем в виде двойного интеграла; обозначая для краткости х — )зг = Х, получим -~-00 Л Х р н,' 1' 1' 1' ЯР(6~)ЯР(6~)д(~~Цхдх ~(х — ~,)(х — В) — о о Произведем интегрирование по о)Х; после изменения порядка интегрирования оно должно производиться в пределах от большего из ~~ и С2 до +СО.
В качестве верхнего предела берем сначала некоторое большое, но конечное Л, которое затем можно устремить к бесконечности. Таким образом, получим 02 , 2 -гх = / Я ((1)Я (С2)[1п (С2 — С1) — 1п4А] 4~1 Щ. 2Н о о Интеграл от члена с постоянным множителем 1п 4А тождественно исчезает, так как на заостренных концах тела обращается в нуль не только площадь Я(х), но и ое производная Я (х). Таким образом, окончательно получим 02 — ' / / ~ Ж)~ (6) 1п(6 — 6) ~16 46, а о или Х'„, = — р' ' / / УВ(с1)ЯН(с2) 1п ~~2 — с1~ о)~2 Зсз. (123.5) о а 21* 644 оь гвклиик коивчпых твл гл хш Это и есть искомая формула для волнового сопротивления тонкого заостренного тела ') . Порядок величины стоящего здесь интеграла есть (Я,Ч ) 1, где Я некоторая средняя площадь сечения тела.
Поэтому гс 2~2 ~12 Коэффициент сопротивления удлиненного тола условимся определять как Г Св = (1/2)р1ееР ' (123.6) относя его к квадрату длины тела. В данном случае С - 52~1~:, (123. 7) М1 «Ж (123. 8) ) Что касается подъемной силы (для иеосесимметрического тела или при наличии угла атаки), то в рассматриваегаом здесь приближении таковая вообще отсутствует. 2) Оио имеет место и в изложенной в 2 125 теории волнового сопротив.келия тонкого крыла. он пропорционален квадрату площади поперечного сечения тела. Обратим внимание на формальную аналогию между формулой (123.5) и формулой (47.4) для индуктивного сопротивления тонкого крыла: вместо функции Г(л) в (47.4) здесь стоит функция вгУ(т).
Ввиду этой аналогии для вычисления интеграла (123.5) можно пользоваться тем же методом, который был изложен в конце 3 47. Следует также заметить, что определяемое формулой (123.5) волновое сопротивление не изменится, если изменить направление обтекания на обратное, стоящий в этой формуле интеграл пе зависит от того, в каком направлении проходится длина тела. Это свойство силы сопротивления характерно именно для линсаризованной теории '). Наконец,несколько слов об области применимости полученной формулы. К этому вопросу можно подойти следующим образом. Амплитуда колебаний газовых частиц в излучаемых телом звуковых волнах — порядка величины толщины тела, которую мы обозначим буквой д. Скорость же колебаний соответственно порядка величины отношения амплитуды д к периоду волны 1/иг (й)1 Я.
Но линейное приближение для распространения звуковых волн (т. е. линеаризованное уравнение для потенциала) во всяком случае требует малости скорости движения газа в волне по сравнению со скоростью звука, т. е. должно быть и1ф » ргО,Ч(, или, что фактически то же: ОккРхзкукокОк Оьткклник злОО'1'РкнногО тьлл 645 *з 124 Таким образом, изложенная теория становится неприменимой при значениях Мм сравнимых с отношением длины тела к его толгциие. Она неприменима, разумеется., и в обратном предельном случае слишком близких к единице значений М1, когда тоже недопустима линеаризация уравнений. Задача Определить форму удлиненного тела вращения, испытывающего минимальнуго силу сопротивления при заданных его объеме Р и длине 1.
Р е ш е н и е. Ввиду указанной в тексте аналогии вводим переменную К согласно х = -11 — созе) 10 < В < я, начало отсчета х в переднем конце 2 тела) и пишем функцию 11х) = Я 1х) в виде У=-1~А.К1 В 1условие Я = О при х = О, 1 допускает в этой сумме, как легко убедиться, лишь зна гения и > 2). Для коэффициента сопротивления имеем при этом С.
= — ~ .4„. 4 =2 Площадь О1х) и полный объем тела 1" вычисляются по функпии )'1х) как о Простое вычисление дает я11 и = — Аг, 16 т. е. объем определяется одним лишь коэффициентом Аг. Поэтому минимальное Е,, достигается при равных нулю .4 с и Ъ 3. В результате получаем При этом для площади сечония тела имеем о = 11/З)11АК эгп д, откуда ра- диус тела как функция координаты х выражается в виде й~ ) ( ) ) П ))Зм( ) Тело симметрично относительно плоскости х = 1412 '). ') хотя 414х) и обращается в нуль на концах тела, но производная 44'(х) обращается в бесконечность, т. е.
тело оказывается незаостренным; поэтому, строго говоря, лежащее в основе метода приближение вблизи самих концов неприменимо. 646 оьтвклннв коньчпых твл гл хш 8 124. Дозвуковое обтекание тонкого крыла (1 — М',) д ' + д г' + д ' = О. дтв ду' дз' (124.1) На поверхности крыла (которую будем называть поверхностью С) скорость должна быть направлена по касательной к ней; вводя единичный вектор и нормали к поверхности крыла, напишем это условие в виде ег + — ~в + — ну+ — н, = О. ( — ).
— ° — = дг дз! ду "' дз Поскольку крыло обладает у.площепной формой и угол атаки мал, то нормаль п направлена почти параллельно оси у, так что ~ггу~ близко к единице, а нш и, лгальг. В наггисанном ушювии мы можем поэтому опустить малые члены второго гюрядка н,— дг» 'дв и и,—, а вместо в, написать ш1 (+1 на верхней поверхности дго крыла и — 1 на нижней). Таким образом, граничное условие к уравнению (124.1) приобретает вид егпв ш —" = О. дз« ду (124.2) В силу предположенной тонкости крыла значение дгдггду па его поверхности можно вычислять просто как предел при у — ~ О.
Задачу о решении уравнения (124.1) с условием (124.2) можно легко привести к задаче об обтекании несжимаемой жидкостью. Для этого введем вместо координат т, у, з переменные х' = т, у' = у)гГ1 — М~, з' = зф — Мм (124.3) ') За исключением лишь небольшой области вблизи передней кромки крыла — вблизи линии остановки газа. Рассмотрим обтекание хорошо обтекаемого тонкого «крыла» дозвуковым потоком сжимаемого газа. Как и в несжимаемом газе, хорошо обтекаемое дозвуковым потоком крыло должно быть тонким и иметь заостренную заднюю и закругленную переднюю кромки; угол атаки должен быть малым.
Выберем направление обтекания в качестве оси ш, а ось з в направлении размаха крыла. Скорость газа во всем пространстве ') будет лишь незначительно отличаться от скорости яг натекающего потока, так что можно применять линеаризованное уравнение (114.4) для потенциала: 647 дозвхковое овтьклнив тонкого кгылА В этих переменных уравнение (124.1) принимает вид ",+ "+ ~ =О, д*"- ду" д~" (124.4) т. е. переходит в уравнение Лапласа. Что касается формы обтекаемой поверхности, то введем вместо нее другую, С', оставив неизменным профиль сечений крыла поверхностями, параллель- 2~ 1/2 ными плоскости ту, уменыпив только в отношении (1 — М~) все размеры вдоль размаха крыла (оси в). Граничное условие (124.2) приобретает тогда вид в.п„~ — ~~1 — М2 = О, дт 2 ду' и для приведения его к обычному виду введем вместо у новый потенциал;р: / р'= р à — М',.
(124 6) (124.6) которое должно удовлетворяться при у = О. Но уравнение (124.4) с граничным условием (124.6) есть уравнение, которому. должен удовлетворять потенциал скорости несжимаемой жидкости, обтекающей тело с поверхностью С'. Таким образом, задача об определении распределения скоростей при обтекашли крыла с поверхностью С сжимаемой жидкостью сводится к нахождению распределения скоростей при обтекании несжимаемой жидкостью крыла с формой поверхности С'.
Рассмотрим, далее, действующую па крыло подъемную силу Г„. Раньше всего замечаем, что произведенный в 6 38 вывод формулы Жуковского (38.4) полностью применим и к сжимаемой жидкости, поскольку вместо переменной плотности р жидкости все равно надо в том же приближении писать постоянную величину рм Таким образом, Р, = — р1п1 / ГсЬ, (124. 7) где интегрирование производится по всей длине 1, размаха крыла. Из соотношения (124.5 )и одинаковости поперечных профилей крыльев С и С' следует, что циркуляция Г скорости при обтекании крыла С сжимаемой жидкостью связана с циркуляцией Для р' будем иметь то же уравнение Лапласа и граничное условие 648 овтвклннн конвчпых твл гл хш Г' скорости при обтекании крыла С' несжимаемой жидкостью соотношением г' = гф — м',.
(124.8) Подставляя это в (124.7) и переходя от интегрирования по дг к интегрированию по сЬ',получим —,, /Г4 ' М2 Величина, стоящая в числителе, представляет собой подъемную силу, действующую на крыло С' в несжимаемой жидкости. Обозначая ее через ~Г, имеем в (124.9) 1 — М',' Вводя коэффициенты подъемной силы (1/2)р1н,'1,1, " (1/2)р~н,'1,11 (где 1, 1, и 1л, 1', = 1,~/Т вЂ” М1 длины крыльев С и С' вдоль осей т и в), перепишем это равенство в виде С с (124.10) Для крыльев достаточно большого размаха (с постоянным вдоль размаха профилем сечения) коэффициент подьемной силы в несжимаемой жидкости пропорционален углу атаки и не зависит от длины и ширины крыла; С„' = сотЫ о, (124.11) где сопв1 зависит только от формы профиля сечения (см.
8 46). В этом случае можно поэтому написать вместо (124.10) С„ (124.12) где С„и Сл .коэффициенты подъемной силы одного и того (о> жс крыла соответственно в потоках сжимаемого и несжимаемого газа. Таким образом, мы получим такое правило; подьемная сила, действующая на длинное крыло в потоке сжимаемого газа, .в (1 — М1~) 1~2 раз больше подъемной силы, действующей на такое же крыло (при том же, в частности, угле атаки) в потоке несжихгаемого газа (Л. РгппЩ 1922; Н. 01аиег1, 1928). 649 1 125 СВКРхзвукОВОВ Овтяклиия кРылл Аналогичные соотношения можно получить и для силы сопротивления.
Наряду с формулой Жуковского для подьемной силы полностью переносится в теорию сжимаемой жидкости также и формула (47.4) для индуктивного сопротивления крыла. Произведя в ней тс же преобразования (124.3) и (124.8), получим (124.13) 1 — М", где ~' сопротивление крыла С' в несжимаемой жидкости. При увеличении длины размаха индуктивное сопротивление стремится к постоянному пределу (9 47).
Поэтому для достаточно длинных крыльев можно заменить г' на Гх 1сопротивление в несжи- (О( масмой жидкости того жс крыла С, к которому относится г' ). Тогда для коэффициента сопротивления имеем С(е С (124.14) 1 — М'' Сравнив с (124.12), мы видим, что при переходе от несжимаемой жидкости к сжимаемой остается неизменным отношение ~с,(С . Все изложенные здесь результаты, разумеется, неприменимы при слишком близких к единице значениях М1, когда вообще становится неприменимой линеаризованная теория.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
