VI.-Гидродинамика (1109684), страница 134
Текст из файла (страница 134)
132. Скорость звука сз графически определяется наклоном касательной к ударной адиабате газа 1 (штриховая кривая) в точке а. Скорость же ш определяется наклоном хорды ас. Поскольку все рассматриваемые хорды идут круче указанной касательной, то всегда е~ > сь Перемещаясь со сверхзвуковой скоростью, детонационная волна, как и ударная волна, никак не влияет на состояние находящегося перед нею газа. Скорость ш перемещения волны относительно исходного неподвижного газа и есть та скорость, о которой надо говорить как о скорости распространения детонации в горючей смеси.
1 ) Для полноты рассуждений следует также указать, что скачкообразный переход из состояния с в состояние Ь в егде одной ударной волне тоже невозможен, так как газ пересекал бы такую волну в направлении от большего давления к меньшему, что невозможно. ) Напомним, что под скоростями сы с2 везде подразумеваются скорости в нормальном к поверхности разрыва направлении. 672 гл хгу ГИДРОДИНАМИКА ГОРННИИ Поскольку Н1/Ъ'1 = изггЪ'2 = 1', а Ъ1 > Ъ2, то И1 > Н2. Раз- ность же 01 — Н2 есть скорость движения продуктов горения от- носительно несгоревшего газа. Эта разность положительна, т.
е. продукты горения движутся в сторону распространения детона- ционной волны. Отметим еще следующее обстоятельство. В том же 9 87 было дгг показано, что ' > О. Поэтому в точке, где 22 имеет минимум, г1О2) минимально также и зз. Такой точкой является как раз точка О, и мы заключаем, что она соответствует наименьшему значению энтропии з2 на детонационной адиабате. Энтропия з2 имеет экс- тремум в точке О также и ешги шгедить за изменением состоя- ния вдоль прямой ае 1поскольку наклоны кривой и касательной в точке О совпадают). Этот экстремум, однако,является макси- мумом (В.А.
Михельсон). Действительно, перемещению от точ- ки е к О соответствует изменение состояния по мере протекания в сжатой смеси реакции горения, сопровождающейся выделением тепла и ростом энтропии: переход же из О в а соответствовал бы эндотермическому превращению продуктов горения в исходное вещество, обладакгщее меньшей энтропией. Если детонация вызывается ударной волной, возникпгей от какого-либо постороннего исгочника и падающей на горючую смесь, то такой детонации может соответствовать любая точ- ка,лежащая на верхней части детонационной адиабаты. В осо- бенности интересна, однако, детонация, возникающая самопро- извольног в результате самого процесса горения.
В следующем параграфе мы увидим, что в ряде важных случаев такая детона- ция непременно должна соответствовать точке Чепмена — Жуге, так что скорость детонациопной волны относительно остающих- ся непосредственно запей продуктов горения равна как раз ско- рости звука, а скорость относительно исходного газа н1 = 1Ъ'1 имеет наименыпее возможное значение ') .
Выведем теперь соотношения между различными величина- ми в детопациопной волне в политропном газе. Подставляя в об- щее уравнение (129.1) тепловую функцию в виде гггО + срХ ггго + з, з — 1 полу. чаем р2Ъ'2 — ш р1Ъ'1 — Ъ;р2 + Ъзр2 = 2дг (129.6) 72 1 71 1 где через г1 = ю01 — ю02 опять обозначена теплота реакции (ггриведенная к абсолютному нулю темлературы). Определяемая этим ' ) Это утверждение было высказано гипотетически г1епмеггвм (2З.Ь.
Сггартагг, 1899) и Жуве (Е. двнкней 1905), а его теоретическое обоснование дано Я.Н. Зельдовичем (1940) и затем независимо Непманвм (,7. Роп Менпгвпп, 1942) и Дерннгвм ('г1'. Ноггпу, 1943). 673 детонация уравнением кривая р2Я) является равнобочной гиперболой. При р2!!р! †! со отношение плотностей стремится к конечному п едел Р У тг-Ь1 Рг !гг тг — 1 это.— наибольшее сжатие вещества, которое может быть достигнуто в детонационной волне. Формулы сильно упрощаются в важном случае сильных детонациоппых волн, получающихся, когда выделяющаяся теплота реакции велика по сравнению с внутренней тепловой энергией исходного газа, т. е.
9» с гТ!. В этом случае можно пренебречь в !129.6) члонами, содержащими р1, и получается Р2( ' 12 — ~!) = 2Ф !129.7) Рассмотрим более подробно детонацию, соответствующую точке Чепмена друге, представляющую согласно сказанному выше особый интерес. В этой точке имеем ,г 2 сг тгрг 1ггг Ъг Р12 этого соотношения и соотношения 1129.2) можно выразить р2 и 1'2 в виде Р1 су !'! 1 Уг(Р1+у ~1) 1129.8) те+! ' 1'-Ьг+1) Подставляя теперь эти выражения в уравнение 1129.6) и вводя вместо потока ! скорость и! = 1Ъ1, получаем после простого приведения следующее биквадратное уравнение для е1! и, — 2Р, ~ ( 72 — 1) д + ( у2 — 7! ) с„, Т, ~ + .72 ( у! — 1) сяы Т, = 0 !температура введена здесь согласно Т = рГ!!!ср — с„) = РГ/(с ( у — 1)).
Отсюда имеем ') Г Чг — 1 1 !!2 '!!72 + 1)ч + !'у! + 72)св!Т!) ~ + !2+1 !/2 + (~г Я2 — 1)7+ г!'72 — '71)с !Т!]~ . г!129.9) югн я4 2„яг Ь 2 = О, то э+я ! -М Два знака перед корнем соответствуют в данном случае тому, что из точки а можно провести две касательные к детонационной адиабате —. одну вверх, как это изображено на рисунке, а другую вниз. Интересующая нас верхняя касательная является более крутой и соответственно этому мы выбираем знак плюс перед корнем.
22 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, тОм У! 674 гл хг~ гидгодинхмикх совании Эта формула определяет скорость распространения детонации по температуре Т» исходной газовой смеси. Перепишем формулы (129.8) в виде рс с~~ + (и — Цс,~ Т~ Г~ тя [с~ -~- (щ — Цс„итт) р1 ( ус + Ц('у! Цс 1Т1 15 ('у2 с Цс Вместе с (129.9) они определят отношения давлений и плотностей продуктов горения и исходного вещества по температуре Т1. Скорость и2 вычисляется как и2 = о11'2,У1'1 с помощью формул (129.9) и (129.10).
В результате вычисления получается ~ 1/2 о2 = ( ' [(у2+1)у)+(у1+ у2)с„1Т1]( + 2 1 2 + ( Иуз — 1)Ч+ (у2 — у1)снТ13~ . (129.11) Разность же и1 — п2, т. е. скорость сгоревшего газа относительно несгоревшего, равна у 2((т — Ц2+ (т — у )с. Т~) ) ~У~ О1 — Ое— ус + 1 (129. 12) Температура продуктов горения вычисляется по формуле и 2Т2= с2 и (72 — Ц (129.13) (напомним, что 62 = с2). Все эти довольно сложные формулы очень упрощаются для сильных детонационных волн. В этом случае получаем для скоростей следующие простые формулы: и1 = 2(.у2 — 1)д.
иу — и2 = 7г ж 1 (129.14) Термодинамическое же состояние продуктов горения определя- ется формулами рс 2(т~ — Ц д щи,' ус 1 тс -Ь1 р~ щ — 1 с„~Т~ ('ус -~- Цс,' ' Т2 2 ус д у,+1с,с (129. 15) Сравнив формулы (129.15) с аналогичными формулами (128.5) для медленного горения, можно отметить, что в предельном случае с) » си1Т1 отношение температур продуктов горения, 675 РАОПРООТРанение дьтОнхциОннОЙ ВОлны 1 узо которые они приняли бы соответственно после медленного горения и после детонации, равно т,"Р Зг+ 1' Это отношение всегда больше единицы (так как всегда у2 ) Ц.
Задача Определить термодинамические величины газа непосредственно за ударной волной, являющейся передним фронтом сильной детонационной волны, соответствующей точке Чепмена Жуге. Р е ш е н и е. Непосредственно за ударной волной имеется еще несгоревшая газовая смесь, и ее состояние изображается точкой е пересечения продолжения касательной аО (рис. 132) с ударной адиабатой (штриховая кривая) газа 1. Обозначая координаты этой точки через рг, 1'1', имеем, с одной стороны. согласно уравнению (89.Ц ударной аднабаты газа 1: рг' (Ъ + ЦР + (З вЂ” ЦР1 (Ъ вЂ” ЦР1 + (Ъ -Р ЦР'1 и, с другои стороны Рг Р1 1'! — 1 1' Ъ",г г Взяв для ег значение из (129.14), получим 4(чгг — Ц !у, у! — 1, 9 4( уг — Ц Р' =Р— с,Т у 41 с, (у -РЦ~ Отношение давления Р', к давлениго Рг позади детонационной волны равно — '=2 Рг Ъ -!-1 9 130.
Распространение детонационной волны Рассмотрим теперь несколько конкретных случаев распространения детонационных волн в газе, который первоначально покоился. Начнем с детонации в газе, находящемся в трубе, один из концов которой (х = О) закрыт. Граничные уууловия в этом случае требуют равенства нулю скорости газа как впереди детонационной волны (детонационная волна не влияет на состояние газа, находящегося перед нею), так и на закрытом конце трубы. Поскольку при прохождении детонационной волны газ приобретает отличную от нуля скорость, то в пространстве между волной и закрытым концом трубы должно происходить падение его скорости. Для того чтобы определить возпикаюшую при этом картину движения газа, замечаем, что в рассматриваемой задаче нет никаких параметров длины, которые бы характеризовали условия движения вдоль длины трубы (оси х). Мы видели 22* 676 ГЛ Х!Ъ' ГИДРОЛИНАМИКА ГОРИНИИ в 3 99, что в таком случае изменение скорости газа может произойти либо в ударной волне (разделяющей две области постоянной скорости), либо в автомодельной волне разрежения.
Предположим сначала, что детонационпая волна не соответствует точке Чепмена — друге. Тогда скорость се распространения относительно остающегося за нею газа пя ( с2. Легко видеть, что в таком Глу ше за детонациопной волной не могут следовать ни ударная волна, ни слабый разрыв (передний фронт волны разре>кения). Действительно первая должна перемешаться относительно находящегося перед нею газа со скоростью, превышающей сэ, а второй со скоростью, равной ся, в обоих случаях они перегоняли бы детонационную волну. Такил> образом, при сделанном предположении оказывается невозможным уменьшить скорость движущегося за детонационной волной газа, т.
е. новозмо>кно удовлетворить граничному ушювию при х = О. Удовлетворить этому условию можно лишь с детопационпой волной, соответствующей точке Чопмена — друге. В этом случае пз = с2, и за детонационной волной может следовать волна разрежения. Возникнув в точке л = О одповременР но с началом детонации, волна разрежения будет иметь передний фронт совпадающим с детонационной волной. Га и>ид Таким образом, мы приходим к существенно- а му результату, что детонационная волна, распространяющаяся по трубе в подожженном у ео закрытого конца газе, должна соответствовать точке Чепмепа-.Жуге.
Она движется относительно находящегося непосредственно за нею газа со скоростью, равной местной скорости звука. От самой деб тонационной волны начинается область волны разрежения, в которой, скорость газа (относительно трубы) монотонно падает до нуля. Точка,. в которой скорость впервые обращается в нуль, является слабым разрывом. Позади слабого разрыва газ неподвижен (рис. 133 а). Рассмотрим теперь детонационную волну, распространяющуюся по трубе от открытого ее конца. Давление газа, находящегося перед детонационной волной, должно быть равно первоначальному давлению исходного газа, совпадающему, очевидно, с внешним давлением.
Ясно, что и в этом случае где-то позади детонациопиой волны должно происходить падение скорости. Если бы на всем протялсении от начала трубы до волны скорость газа была постоянной, то это значило бы, что на открытом конце трубы происходит засасывание газа извне; между тем давление газа в трубе было бы выше внешнего (так как за дстонационной волной давление выше, чем перед нею), и потому такое засасывание невозможно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
