VI.-Гидродинамика (1109684), страница 135
Текст из файла (страница 135)
По таким же причинам, как и в предыду- 677 РАСПРОСТРЛНЕНИЕ ДЬТОНАЦИОННОЙ ВОГ1НЫ 1 1эо щем случае, детонационная волна должна соответствовать точке Чепмена — Жуге. В результате получается картина движения, схематически изображенная на рис. 133 б. Непосредственно за детонационной волной начинается область автомодельной волны разрежения, в которой скорость монотонно падает по направлению к началу трубы, причем меняет в некоторой точке знак. Это значит, что в некотором начальном участке трубы газ будет двигаться в направлении к открытому концу трубы, из которого и будет вытекать наружу", выходная скорость этого вытскания равна местному значению скорости звука, а выходное давление превышает внешнее (мы видели в 3 97, что такой режим вытекапия возможен) ') .
Рассмотрим, далее, важный случай сферической детонационной волны, расходящейся от точки начального воспламенения газа как из центра (Я.Б. Зельдович, 1942). Поскольку газ должен быть неподвижным как впереди детонационной волны, так и вблизи центра, то и здесь скорость газа должна падать по направлению от волны к центру. Как и в случае движения в трубе, здесь также нет никаких заданных характерных параметров размерности длины. Поэтому возникающее движение газа должно быть автомодельпым, с той разницей, что роль координаты ю играет теперь расстояние г от центра; таким образом, все величины должны быть функциями только отношения г111 е) . Для центрально-симметричного движения (и, = п(г, 1), и„= = ие = О) уравнения движения имеют следующий вид.
Уравнение непрерывности; дР дй Р) 2!'Р 0. д1 д уравнение Эйлера: дс до 1 др — +и — = — —— д1 дг Рдг и уравнение сохранения энтропии: д. дв — +и — =О. дг дг Вводя переменную ( = г/1(~ ) О) и считая, что все величины являются функциями только (, получим следующую систему ) Мы везде полностью отвлекаемся от тепловых потерь, которыми может сопровождаться распространение детонационной волны.
Как и в случае медленного горения, эти потери могут сделать распространоние детонации невозможным. При детонации в трубе источником потерь являются в первую очередь отвод тепла через стенки трубы и замедление газа благодаря трению. ~) Безразмерную автомодельную переменную в этой задаче можно определить как РД1 Го), где характерный постоянный параметр о — теплота реакции на единицу массы. 678 ГЛ Х1Р ГИДРОДИНАМИКА ГОРЯНИН уравнений (130.3) ! (с — е)и = с —. Р (130.4) Подставив сюда р',1р из (130.1), получаем следующее соотно- шение; (130.5) Уравнения (130.4) и (130.5) не могут быть проинтегрированы в аналитическом виде, но свойства их решения могут быть исследованы. Область, в которой газ совершает движение рассматриваемого типа, ограничена, как мы увидим ниже, двумя сферами, из которых наружная представляет собой поверхность самой детонационной волны, а внутренняя является поверхностью слабого разрыва, причем скорость обращается на ней в нуль.
Изучим прежде всего свойства решения вблизи точки, где е обращается в нуль. Легко видеть, что в точке, где и = О, непременно должно быть одновременно с = с: И=О, с=с. (130.6) Действительно, при стремлении е к нулю 1пе стремится к — оо; поэтому, когда г, уменьшаясь, стремится к значению, соответствую1цему внутренней границе рассматриваемой области, производная и'1пи/11~ должна стремиться к +1ю. Между тем из (130.5) имеем при е = 0 41пп 2 114 6(5'/и — 1) Это выражение может стремиться к +ос лишь при С' — ! с. В самом начале координат радиальная скорость должна обратиться в нуль уже непосредственно в силу симметрии.
Таким (С вЂ” И)1 = Е~+ — и, (130.1) (с — и)е~ = ~— , (130.2) Р' (( — е)я' = 0 (ц1трих означает дифференцирование по ~). Положить здесь е = с нельзя, так как это противоречит первому уравнению. Поэтому из третьего сразу имеем е' = О, т. е. я = сопэФ. Имея в виду постоянство энтропии, можем написать р' = с р', и уравнение (130.2) приобретает вид 679 РАСПРООТРВНЕНИЕ ДЬТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ 1 1зо образом, вокруг начала координат будет находиться область неподвижного газа (область внутри сферы ~ = се, где се значение скорости звука при п = 0).
Выясним свойства функции п(с) вблизи точки (130.6). Из (130.5) имеем С точностью до величин первого порядка малости (каковыми являются н, г — сш с — со) получаем после просгого вычисления: Н 46 — со) = (с — се) — (и + с — се). !1В Согласно (102.1) имеем и+ с — со = с1вп, где ОВ положительная постоянная (значение величины (102.2) при н = 0), и мы получаем для г — са как функции п следующее линейное дифференциальное уравнение первого порядка: Ю 44 — СВ) — (ь — со) = — с!он !!'Р Решение этого уравнения есть 4 — се = с1ен1п —.
(130. 7) Этим определяется в неявном виде функция н(~) вблизи точки, где н = О. Мы видим, что внутренняя граница является поверхностью слабого разрыва; скорость обращается на ней в нуль, не испытывая скачка. Кривая зависимости н® имеет на этой границе горизонтальную касательную (дп/пс = О). Мы имеем здесь дело со слабым разрывом весьма своеобразного типа: первая производная на нем непрерывна, а все производные высших порядков обращаются в бесконечность (в чем легко убедиться на основании (130.7)).
Отношение г!!Ю при п = 0 есть, очевидно., не что иное, как скорость перемещения границы области относительно газа; согласно (130.6) она равна местному значению скорости звука, как и должно быть для слабого разрыва. Далее имеем при малых н согласно (130.7): СОВЕ! ~ — и — с = (~ — гв) — ('1!+ с — св) = ав11(1п — '' — 1).
Эта величина при малых и положительна: с — н — с)0. Покажем, что нигде внутри области рассматриваемого движения разность (г, — п) — с не может изменить знак. Рассмотрим точку, в которой было бы (130.8) ~ — с=с, 11фО. 680 ГЛ Х!" ГИДРОДИИАМИКА ГОРИИИЯ Из (130.5) видно, что в такой точке производная !!' должна обратиться в бесконечность, т. е. — ~=0. (130.9) !!е Что касается второй производной н С/!1н~, то простое вычисление дает для нее (при условиях (130.8) и (130.9)) значение оо ь до' се Р! отличное от нуля. Но это значит, что в рассматриваемой точке ~ как функция о имеет максимум.
Иначе можно сказать, что функция !>® существует лишь при С, лежащих только по нижшою сторону от значения, соответствующего условиям (130.8); это значение является второй границей, за которую не может простираться рассматриваемая область. Из того, что ~ — и — с может обратиться в нуль только на границе области, а при малых о во всяком ш>учае с — н — с > О, мы заключаем, что с — г >с (130.10) везде внутри этой области. Теперь уже легко видеть, что реальная передняя граница области рассматриваемого движения должна совпадать с точкой, где выполняются условия (130.8). Для этого замечаем, что разность Г,!1 — н, где Г координата границы! есть не что иное, как скорость перемещения этой границы относительно остающегося за ней газа.
Но поверхность, на которой Г/1 — и > с, не может быть поверхностью детонационной волны (на которой должно быть гг!1 — и ( с). Поэтому мы приходим к результату, что передней границей рассматриваемой области может быть только точка, в которой имеет место (130.8). На этой границе н падает скачком до нуля, а скорость ее распространения относительно остающегося непосредственно за нею газа равна местной скорости звука. Это значит, что детонационная волна должна соответствовать точке Чепмена.
Жуве детонационной адиабаты ') . Мы приходим к следующей картине движения газа при сферическом распространении детонации. Детонационная волна, как и при детонации в трубе, соответствует точке т1епмена — друге. Непосредственно за нею начинается область сферической авто- модельной волны разрежения, в которой скорость газа падает до нуля. Падение происходит монотонно, так как согласно (130.5) производная ни,!1!1С может обратиться в нуль лишь в той точке, где одновременно и = О. Вместе со скоростью монотонно 1 ) Отметим для полноты рассуждений, что о = сопя! не является решением уравнений центрально-симметрического движения. Поэтому эа детонационной волной не может !ледовать область постоянной скорости.
1 >зо РяспРОстРлнвние дьтОнациОннОЙ НОлны убывают также и давление и плотность газа (согласно (130.4) и (130.10) производная р' имеет везде тот же знак, что и !!'). Кривая зависимости и от >)1 имеет на, передней границе вертикальную (согласно (130.9)), а на внутренней - горизонтальну>о касательную (рис. 134). Внутренняя граница является слабым разрывом, вблизи которого зависимость и от г7>1 определяется уравнением (130.7).
Внутри сферы, ограниченной поверхностью слабого разрыва, газ неподвижен. Общее количество (по массе) неподвижного вещества, однако, весьма незначительно (ср. соображения, приведенные в конце 8 106). Таким образом., во всех рассмотренных типичных случаях саклопроизвольного однохлерного и сферического распространения детонации граничные условия в области позади дет/! топационпой волны приводят к однозначному отбору скорости посчедней, соответствующему точке Чепмена — 2Куге (>>осле того,как вся область детонациопной адиабаты ниже этой точки была исключена по соображениялю! изложенным в 8 129). Осуществление в трубе постоянного сечения детонации, соответствующей расположенной выше этой точки части адиабаты, требовало бы искусственного поджатия продуктов горения движущимся со сверхзвуковой скоростью >юршнем (см. задачу 3 к этому параграфу); о таких детопационпых волнах говорят как о перезк>атых.
Подчеркнем, однако, что эти выводы не имеют универсального характера, и можно представить себе случаи самопроизвольного возникновения пересжатой дстонационной волны. Так, пересжатая волна возникает при переходе детонации из широкой трубки в узкую; это явление связано с тем, что когда детонационная волна доходит до места сужения, происходит ее частичноо отражение, в результате чего давление продуктов горения, втекающих из широкой в узкую часть трубы, резко возрастает.
ср. задачу 4 (Ь'.В. А>!вазов, 51.Б. Зельдович, 1947) ') . По поводу изложенной в этом и предыдущем параграфах теории необходимо сделать следующее общее замечание. Структура детонационной волны предполагается в ней стационарной и однородной по ее площади; она одномерна в том смысле, что распределение всех величин в зоне горения предполагается зависящим только от одной координаты - вдоль ее ширины. Накопленные к настоящему времени экспериментальные данные свидетельствуют, однако, о том, что такая картина представляет Рис. 134 ') Пересжатость возникает также при распространении сходящейся цилиндрической или сферической детонационной волны -" см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
