VI.-Гидродинамика (1109684), страница 139
Текст из файла (страница 139)
7'/ Сеп. Век Сгзж 1981. У. 13. Р. 569. Гидродинамичсские уравнения в первом послепыотоновском приближении даны в статье СЬаплйаве15аг 5. // Квсгор1К,). 1965. У. 142. Р. 1488; они приведены также в кнз Мпзнер '1., Хорн К., Уилер Длс. Гравитация. — Мз Мир, 1977, 3 39, 11 (Мгзпег С. Иг., ТЬогпе К.8., Нгйее1ег з'.А. Сгаг Ыаиоп. — Ргеепзап, 1973). Рассмотрим распространение звука в среде с релятивистским уравнением состояния (т. е. в котором давление сравнимо с плотностью внутренней энергии, включающей в себя энергию покоя).
Гидродинаьгические уравнения звуковых волн могут быть линеаризованы; при этом удобнее исходить непосредственно из записи уравнений движения в исходном виде (134.1), а не из эквивалентных им уравггенигй (134.8), (134.9). Подставив выражения (133.3) компонент тензора энергии-импульса и сохранив везде лишь величины первого порядка малости по амплитуде волны, получим систему уравнений д — = — ю сггу у, —" — = — 17р', (134.13) д1 се дГ где штрихом отмечены переъгенпые части величин в волне. Исключив отсюда у, найдем дсе = с 2зр.
Наконец, написав е' = (де/др)ядр~, получим для р волновое уравнение со скоростью звука, которая в этой главе будет обозначаться буквой и: 1 134 гвлятивистскик гидгсдицлми юскив ьтлвнвния 697 Выведем из зтнх уравнений условие механического равновесия в гравитационном поле. При равновесии гравитационное поле статично; можно выбрать такую систему отсчета, в которой о -1!2 вещество неподвижно (и = О, ио = иоо ~ ), все величины не зависят от врекиени, а смешанные компоненты метрического тензора равны нулю (йоо = О).
Пространственные компоненты уравнения (134.15) дают тогда 1о а 1и даос др и1р*ои ио = —— 23оо дх дх или 1др 1д — — 1п Коа. (134.16) шдх 2дх Это и есть искомое уравнение равновесия. В нерелятивистском пРеДельном слУчае и1 = Рс, доо = 1+ 2~Р/с (~Р— ньютонов- 2 2 ский гравитационный потенциал), и уравнение (134.16) переходит в цР = Рц22 т. е. в обычное гидростатическое уравнение. Задачи 1. Найти решение гидродинамических уравнений, описывающее одномерную цестационарную простую волну. Р е ш е н и е.
В простой волне все величины могут быть выражены в виде функции любой одной из них (см. 2 10Ц. Написав уравнения движения в виде (2) дТоо дТо1 дТо1 дТп сд1 дх с до дх и считая Тоо, Тш, Ть| функциями друг от друта, получим соотношение атос дти = 111то1 )~. В него надо подставить в 2 В Тоо = еио 4- ри„То1 = шиоиь Т11 = еи, 4- рис учитывая при этом, что ио — иу — — 1 (при вычислении удобно ввести параметр и Е 2 согласно ио = сЬ т1, и1 = — вй Л). В результате вычисления получается: о 1 / и ЛгоЬ вЂ” = х- ~ — де с с ш (и-- скорость звука). Далее, из (1) находим дх г)т д«1т и, вычисляя эту производную, получим т=с 4-По). (3) 1 х ии/се Формулы (2), (3) и опредоляют искомое решение.
2. Написать гидродннамические уравнения для улунрарелятивистской среды с неопределенным числом частиц 1которое само определяется условиями термодипамического равновесия). 698 гл х" Релятивис!скля Гидгодиплынкл Р е ш е н н е. Условие термодинамического равновесия, определяющее число частиц в такой среде состоит в равенстве нулю всех химических потенциалов. Тогда е — Тп + р = О, т. е. ю = Та, а согласно термодинамическому выражению дифференциала тепловой функции (при заданном- единичном — объеме и нулевых химических потенциалах) !(ш = Т !(о + г)р: комбинируя обе формулы, получим: г(р = сг 4Т ') .
Уравнение (134,5) (в котором еще не использовалось уравнение непрерывности) приводит к уравнению адиабатичности в форме (134.8). Уравнение же (134.9) принимает вид . дтп, дт и дх" дх' 8 135. Ударные волны в релятивистской гидродинамике Теория ударных волн в релятивистской гидродинамике строится аналогично нерелятивистской теории (А.Н. Таиб, 1948). Как и в 8 85, рассматриваем поверхность разрыва в системе координат, в которой она покоится, а газ движется перпендику- лярно ей (вдоль оси х = х) со стороны 1 на схорону 9. Условия непрерывности плотностей потока частиц, потока импульса и по- тока знергии гласях: [вх) = [пих) = О, [Т ~) = [и!(их) + р) = О, с[ТО*) = с[ь ион*) = О, или, после подстановки значений компонент 4-скорости: О171/~1 = "!272! 12 = у! (135.1) —.и!!О!71 + Р! = —.и!2п272 + Р2 1 2 2 1 2 2 (135.2) се .е и!1п17, = и!гпг Ь2, (135.
3) где у! = (1 — !1,/с ) '12, 12 = (1 — О22/с ) '!', а г! = 1/111 и 'г2 = 1!!н2 объемы, отнесенныс, к одной частице ') . Из (135.1) и (135.2) находим у (Р2 — Р1)с /(!п1 гг! — н!212 ). (135 А) Далее, переписываем условие (135.3) с учетом (135.1) в виде 2 2 2 2 2 2 ~1~ 1 71 ~2И2 72' ) При ультрарелятивистском уравнении состояния р = е!!3 из написанных формул легко найти, что е сс Т, и сс Тз, т.
е. те же законы, которые спра- 1 ведливы для черного излучения (см. 1г, 5' 63), — как и следовало ожидать. з) В нерелятивистском пределе определенный согласно (135. Ц поток числа частиц отличается множителем 1) т от плотности потока массы, обозначавшейся через 1 в 8 85. Множителел! т отличаются также определенные здесь и в 8 85 объемы 1'. 1 ьзь удАРныя ВОлны В РвлятиВиотской ГидРОдинхмикв 699 Путем простых алгебраических преобразований (из (135.1) выражаем у~~ и у~~ через Зэ, а затем подставляем )з из (135.4)), получим следующее релятивистское уравнение ударной адиабаты (адиабагпа тауба): тзгз + (Рз Р1)(гл1)г1 +тзРгз ) = 1).
Ф5.5) Приведем также выражения для скоростей газа по обе стороны поверхности разрыва, которые можно получить путем элементарных преобразований из условий (135.2), (135.3) 1): . (135.6) ег (рг — рг)(ег + р1) ег (рг — р1Не1 -Р рг) с (ег — егнег "- рг) с 1ег — егИег + РП Относительная же скорость газов по обе стороны разрыва согласно релятивистскому правилу сложения скоростей равна 11'г и~а=, =с1 Р1 — ег ) (рг — ргЯег — ег)) (135.7) 1 — ъ~е~усг 11е~ -Р рг)~ег -Р р~)З В нерелятивистском пределе, если положить е гасан = те~/Г и пренебречь р по сравнению с е, формулы (135.4),. (135.6), (135.7) переходят в формулы (85.4), (85.6), (85.7) (с учетом указанной в примечании разницы в определениях у' и Г здесь и в 3 85) г) .
Для ультрарелятивистского же уравнения состояния р = е/3 из (135.6) имеем Зег Нег ~ сг ~ Зе1+ег с 3(Зег -Р ег) с 3(Зег -'е ег) (отметим, что нзнг = с~,г3). При увеличении интенсивности ударной волны (ез — + ОО) е1 стРемитсЯ к скоРости света, а нг к с,г3. Подобно тому, как в гл. 1Х мы изображали ударную адиабату графиком в плоскости 1'р, так естественными переменными для изображения релятивистской ударной адиабаты являются га1г, рс; в этих координатах 1 определяет наклон хорды, проведенной из начальной точки адиабаты 1 в произвольную точку р. Релятивистские ударные волны слабой интенсивности могут быть рассмотрены вполне аналогично тому, как это было сделано в 3 86 в нерелятивистском случае (И.М.
Халатггикое, 1954). ') При преобразованиях удобно сделать подстановку е/с = 1)г 1Р, т = с)1 1Р. г) Для предельного перехода от уравнения адиабаты (135.5) к нерелятивистскому уравнению (85.10) такое приближение недостаточно; надо положить ю = птс -е пте -Р р (е — нерелятивистская внутренняя анергия, отнесенная к единице массы) и, разделив уравнение (135.5) на сг, перейти к пределу с г Оз. 700 Релятивист'с;кля Гидгодинлмнкл Гл х" Не повторяя заново всех вычислений, приведем результат для скачка энтропии, который снова оказывается малой величиной третьего порядка по сравнению со скачком давления: п2 о1 = [, ( ., ) ] (р2 р1) ° (135.9) Поскольку должно быть ой > ст1, то гиы видим, что ударная вол- на является волной сжатия, если (0'("', )) > 0. (135.10) Это условие представляет собой релятивистское обобщение усло- вия (86.2) нерелятивистской гидродинамики ') .
При рз > р1 из (135.4) и (135.5) следует, что ПЗЗ 1'3 < Ы1)'1, ЬЗ9Р9 > Ю1Р~,' 9 9 отсюда, в свою очередь, следует, что во всяком случае гз < 1'1, объем и' должен уменьшиться даже сильнее, чем ю)г возрастает. Скорости е1 и пз ударной волны слабой интенсивности в первом приближении совпадают, естественно, со скоростью звука: поскольку изменение энтропии -- величина третьего порядка, то выражения (135.6) при рз — 1 р1, еэ — э ез переходят в производную (134.14) ') .
Рассуждения, вполне аналогичные произведенным в 3 86, показывают, что в следующем приближении п1 > им е2 < и2. Таким образом, направление изменения величин в релятивистской ударной волне слабой интенсивности подчиняется (при условии (135.10)) тем же неравенствам, что и в нерелятивистском случае. Обобщение этого результата на ударные волны произвольной интенсивности оказывается возможным произвести способом, вполне аналогичным примененному в 3 87 ') . Подчеркнем в то же время, что неравенства п1 > и1, пя < из справедливы для релятивистских (как и для нерелятивистских) ') Используя тсрмодинамическос соотношение для тепловой функции, от- несенной к одной частице, 4(ш1г) = ИЫр (при оп = сопзФ), найдем, что условие (13о.10) эквивалентно неравенству (: '),.
—,'„( —:;)., В нерелятивистском пределе правая часть заменяется нулем. ~) Выражение же (13ол) переходит в производную — с (с1р/4(а)ге))ь С помоьцью термодинамических выражений д(ер) = — рЛ', 4(шр') = пор (при ор = совес) легко убедиться, что эта производная, умноженная на 1'~з, равна, как и следовало,и,/(1 — и,). 3 '2 ) См. ТЬогпе К.Я. // Лвсгорп. Л. 1973.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
