VI.-Гидродинамика (1109684), страница 143
Текст из файла (страница 143)
Уравнения (139.3) — (139.6) с определениями 3 и П,ь согласно (139.1), (139.12) представляют собой искомую полную систему гидродинамических уравнений. Эта система очень сложна прежде всего тем! что входящие в уравнения величины р„р„, )з, в являются функциями не только термодинамических переменных р и Т, но и квадрата относительной скорости обоих движений и(2 = (»н — »,~)). Последний представляет собой скаляр, инвариантный относительно галилеевых преобразований системы отсчета и относительно вращения жидкости как целого; эта величина специфична для сверхтекучсй жидкости, отнюдь не должна обращаться в нуль в термодинааалческом равновесигл, и должна фигурировать в уравнении состояния жидкости наряду с р и Т.
Уравнения, однако, сильно упрощаются в физически интересном случае не слишком больших скоростей (малой величиной предполагается отношение скоростей к скорости второго звука— э 141). Прежде всего, в этом случае можно пренебречь зависимостью р, и р„от»ч: выражение (139.1) для потока 3 представляет собой при этом по существу первые члены разложения этой величины по степеням ч„и»ю Разложение по степеням скоростей надо произвести и для остальных термодинамических величин, входящих в уравнения.
Дифференцируя выражение (139.10) и используя (139.9), получим следующее выражение для дифференциала химического потенциала: Йр = — и ЙТ+ — др — — "»ч сЬ». (139.13) Р Р Отсюда видно, что первые два члена разложения д по степеням ччимеют вид р(р, Т, хч) — р(р, Т) — — "ш, (139.14) Р где в правой части равенства стоят обычные химический потен- ) Обычное термодинамическое определение давления как средней силы, действу!ошей па единичную площадку, относится к неподвижной среде. В обычной гидродинамике тем не менее не возникает вопроса об определении понятия давления (если не учитываются диссипативные процессы), так как всегда можно перейти к системе координат, в которой данный элемент объема жидкости покоится.
В гидродинамике же сверхтекучей жидкости надлежащим выбором системы координат можно исключить лишь одно из двух одновременно происходящих движений, и потому обычное определение давления вообще пе может быть применено, Отметим также, что выражение (139.10) соответствует и определению давления как производной р = — д(Еер')!!д1г от полной энергии жидкости при заданных ее полной массе РГ, полной энтропии рвр и полном импульсе относительного движения рт»1Ц 1 ь39»глвпкния гидеодинлмики свнгхтвкхчкй жидкости 715 циая )з)р, Т) и плотность р1р, Т) неподвижной жидкости. Дифференцируя это выражение по температуре и давлению, найдем соответствующие разложения для энтропии и плотности: в1р, Т, ву) = з1р, Т) + — — —, ш д р 1139.15) р1р, Т, чу) - р1р, Т) + 2 дрр Они должны быть подставлены в гидродинамические уравнения, которые после этого будут справедливы с точностью до членов второго порядка по скоростям вклю гительно (учет же в 3 за- висимости р, и р„от и привел бы к членам третьего порядка 2 малости) ') .
Введение в гидродинамичегкие уравнения членов, учитываю- щих диссипативные процессы в сверхтекучей жидкости, будет произведено в следующем параграфе. По уже здесь сформули- руем граничные условия к этим уравнениям. Прежде всего, на всякой (неподвижной) твердой поверхности должна обращаться в нуль перпендикулярная к этой поверхно- сти компонента потока массы 3. Для выяснения граничных усло- вий, налагаемых на тгн, надо вспомнить, что нормальное дви- жение есть в действительности движение «газа» элементарных тепловых возбуждений в пем.
При движении вдоль твердой по- верхности кванты возбуждения взаимодействуют с ней, что дол- жно быть описано макроскопически как «прилипание» нормаль- ной части массы жидкости к стенке, подобно тому как это име- ет место для обычных вязких жидкостей. Другими словами, на твердой поверхности должна обращаться в нуль тапгенциальпая компонента скорости згн. Что касается перпендикулярной к стенке компоненты згн, то надо иметь в виду, что кванты возбуждения могут поглощаться или испускаться твердым телом это соответствует просто теп- лопередаче между жидкостью и твердым телом. Поэтому пер- ) Следует отметить, что система гидродинамических уравнений, в которой р, рассматривается как заданная функция р и Т, может стать непригодной вблизи Л-точки.
Дело а том, что при приближении к этой точке (как и ко всякой точке фазового перехода второго рода) неограниченно возрастают время релаксации для установления равновесного значения параметра порядка и корреляционный радиус его флуктуаций; в сверхгекучем же Не роль параметра порядка играет конденсатная волновая функция, квадрат людуля которой определяет р, 1сьь 1У, 3 2б, 28; о релаксации в сворхтекучой жидкости . см. Х, 3 103).
Гидродинамические уравнения с заданной функпией рдр, Т) применимы лишь до тех пор, пока характерные расстоянич и времена движения велики по сравнению соответс геенно с корреляционным радиусом и временем релаксации. В противном случае полная система уравнений движения должна включать в себя также и уравнения, определяюгдие р, См. Гинэбура В.Л., Собянин А.А. О УФН. 1976. Т. 120. С. 153; 3. 1,озе. Тегор. РЬуе1са.
1982. У. 49. Р. 507. 716 ГИДРОДИИАМИКЛ СВИРХГККУЧВЙ ЖИДКОСТИ ГЛ ХР! пендикулярная к стенке компонента скорости т „не должна непременно обращаться в нуль; граничное условие требует лишь непрерывности перпендикулярной к стенке компоненты потока тепла. Температура же испытывает на границе скачок, пропорциональный тепловому потоку: ГдТ = КГ7, с коэффициентокГ пропорционалы|ости, зависящим от свойств как жидкости, так и твердого тела. Появление этого скачка связано с особенностями теплопередачи в гелии П. Все теплосопротивление между твердым телом и жидкостью сконцентрировано в пристеночном слое жидкости, поскольку конвективное распространение тепла в обьеме жидкости практически не связано с каким бы то пи было тсплосопротивлением; в результате весь перепад температуры, вызывающий появление теплового потока, происходит практически у самой поверхности.
Интересным свойством описанных граничных условий является то, что теплообмен между твердым телом и движущейся жидкостью приводит к появлению таягенциальных сил! действующих на поверхность тела. Если ось л направлена по нормали, а ось у по касательной к поверхности, то действующая на единицу площади касательная сила равна компоненте П „тепзора !штока импульса. Имея в виду, что на поверхности должно быть 7Г = р„в„Г + р,.ГГ„.. = О, находим для этой силы отличное от нуля выражение П. р — — Р,'!Гр Р„р + РГ!Ю ''Р р = РРи«Г(Р р Р р). Вводы тепловой поток Г1 = РРТч!и можно пеРеписать этУ силУ в виде (139.16) ррТ где !7 .. " непрерывный на поверхности тепловой поток из твердого тела в жидкость. При отсутствии теплопередачи между твердой стенкой и жидкостью граничное значение перпендикулярной к степке компоненты тГ„тожГ! обращается в нуль.
Грани Гные условия )к = О и ъ „= О (ось х направлена по нормали к поверхности) эквивалентны условиям р, = О и чГ! = О. Другими словами, в этом случае мы получим обычные граничные условия идеальной жидкости для ХГ, и вязкой жидкости для ХГ„. Наконец, скажем несколько слов о гидродинамике смесей жидкого Не с посторонним веществом (фактически с изотопом Нов). Помимо уравнений., выражающих сохранение массы, импульса, энтропии и потенциальности сверхтекучего движения, полная система гидродинамических уравнений смеси должна содержать еще уравнение, выражающее собой сохранение каждого из двух веществ по отделыюсти. Оно имеет вид + !11р1 = О, дГ 1 ЫО диссиплтивнык пгсцвссы в свкяхтккхчкй жидкости 717 где с массовая концентрация Не в смеси, а 1 плотность его з гидродинамического потока. Однако требования, налагаемые законами сохранения и галилеевой инвариантностью оказываются достаточными для установления вида всех уравнений лишь если известно выражение потока 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
