VI.-Гидродинамика (1109684), страница 140
Текст из файла (страница 140)
Ъ'. 179. Р. 897. 1 ив РЕЛЯ'1'ИВИСТСКИВ УРЛВИЕИИЯ ударных волн вне зависимости от каких бы то ни было термодинамических условий как следствие требования эволюционпости. Напомним, что при выводе этих условий 13 88) был существен только знак скоростей и ~ и распространения звуковых возмущений в движущейся жидкости по отношению к неподвижной поверхности разрыва. Согласно релятивистскому правилу сложения скоростей эти скорости даются выражениями (и ~ и)/(1 ~ ии11с ), знак которых определяется только их числителями, так что все проведенные в 8 88 рассуждения остаются в силе.
3 136. Релятивистские уравнения движения вязкой и теплопроводной среды (136.3) Установление релятивистских гидродинамичл.ских уравнений при наличии диссипативных процессов (вязкости и теплопроводности) сводллтся к вопросу об определении вида соответствующллх дополнительных членов в тензоре энергии-импульса и в векторе плотности потока вещества. Обозначая эти члены соответственно как тсв и мв напишем; 7ль = р8лв + шилиР + тин (136.1) п, = пил+ и,. (136.2) Уравнения движения по-прежнему содержатся в дя' ' дт' Прежде всего, однако, возникает вопрос о более точном определении самого понятия скорости и'. В релятивистской механике всякий поток энергии неизбежно связан также и с потоком массы.
Поэтому при наличии, например, теплового потока определение скорости по потоку массы (как в нерелятивистской гидродинамике) теряет нспосредственный смысл. Мы определим здесь скорость условием, чтобы в собственной системе отсчета каждого данного элемента жидкости его импульс был равен нулю, а его энергия выражалась через другие термодинамические величины теми же формулами, как и при отсутствии диссипативных процессов. Это значит, что в указанной системе отсчета должны обРаЩатьсЯ в нУль компоненты тав и те~ тепзоРа т,ь, посколькУ в этой системе и иВ = О, то имеем в ней (а потому и в любой другой системе) тензорное соотношение тлви = О. лл Аналогичное соотношение 14и' = О (136.4) 702 ГЛ Х" Релятияис!ЕкАя ГидРОдииАмикА должно выполняться и для вектора мп поскольку в собственной системе отсчета компонента по 4-вектора |ютока частиц и' долж- на, по определению, совпадать с плотностью числа частиц и,.
Искомый вид тензора т,ь и вектора ь, можно установить, ис- ходя из требований, налагаемых законом возрастания энтропии. Этот закон должен содержаться в уравнениях движения (подоб- но тому как в 8 134 из этих уравнений получалось для идеальной жидкости условие постоянства, энтропии).
Путем простых пре- образований с использованием уравнения непрерывности легко получить следующее уравнение: , ат е а аи а' и' ' =Т вЂ” (Гги) — р — +и~ ' =О, ах о' ах ах' где р релятивистский химический потенциал вещества; пр, = = и — Та, и использовано термодинамическое соотношение для его дифференциала: Ф = 1 тр — Г1Т (136.5) и И Наконец, используя (136.3), перепишем это уравнение в виде ах.~ -т ~-- а.т тах Стоящее слева выражение должно представлять собой 4-ди- вергенцию потока энтропии, а выражение справа возрастание энтрогши вследствие диссипативных процессов. Таким образом, 4-вектор плотности потока энтропии есть и' = пи' — — и', (136.
7) т а т;~ и и' должны выражаться линейно через градиенты скорости и термодинамических величин так, чтобы обеспечить существенную положительность правой части уравнения (136.6). Это условие вместе с условиями (136.3), (136.4) однозначно определяет вид симметричного 4-тензора т;ь и 4-вектора и;: /аи, аие ~да, ~аиа1 тГь = — сц ' + — щи — ' — и,и (— ( ах" дх' ах' ах' ) 2 1аи' — с(~ — — 'ц) (ягь пгпь)~ (136.8) здесь ц, ~ два коэффициента вязкости, а АГ коэффициент теплопроводности, выбранные в соответствии с их нерелятивистским определением.
В нерелятивистском пределе компоненты т я сводятся к компонентам трехмерного тензора вязких напряжений ГГ'В (15.3). 703 Релятивиотокиа уелвиения ,ч о, о си балт' д л — сТ = — сши и = — и О О Используя термодипамическое соотношение (136.5), переписан- ное в видо д — "' = — йТ+ — ', Т пт2 пт' получим поток энергии; — и(ЧТ вЂ” — ~7р) . (136.10) Мы видим, что в релятивистском случао тсплопроводностный поток тепла пропорционален не просто градиенту температуры, а определенной комбинации градиентов температуры и давления (в перелятивистском пределе ш пьчс и член с ~Ур должен быть 2 опущен). Чистой теплопроводности соответствует поток энергии при отсутствии потока вещества. условие последнего есть вин+ и" = = О.
При этом пространственные компоненты 4-скорости ии = = — и~(п величины первого порядка по градиентам; поскольку выражения (136.8), (136.9) написаны лишь с точностью до величин этого порядка, компоненту и 4-скорости надо положить о равной единице: и~~ = 1+и„и" = 1+и,„и'"(пз 1. С этой же точностью надо опустить второй член в квадратных скобках в (136.9). Тогда для плотности потока энергии сТ и = — сТ" находим Г Л А В А ХЛг1 ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕК'Ут1ЕЙ яКИДКОСТИ й 137. Основные свойства сверхтекучей жидкости При температурах, близких к абсолютному нулю, в свойствах жидкости на первый план выдвигаются квантовые эффекты; в таких случаях говорят о квантовых жидкостях. Фактически лишь гелий остается жидким вплоть до абсолютного нуля; все другие жидкости затвердевают значительно раньше, чем в них становятся заметными квантовые эффекты.
Существуют, однако, два изотопа гелия Не и Не, отличающиеся статистикой, которой подчиняются их атомы. Ядро Не не имеет спина, и вместе с ним равен нулю и спин атома в целом; эти атомы подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Атомы же вНе обладают (за счет своего ядра) винном 4,~2 и подчиняются статистике Ферми — Дирака. Это различие имеет фундаментальное значение для свойств образуемых этими веществами квантовых жидкостей) в первом случае говорят о квантовой бозевлсидкости, а во втором — о ферми-жидкости.
В этой главе будет идти речь только о первой из пих. При температуре 2,19 К жидкий гелий (изотоп 4Не) имеет так называемую Л-точку (фазовгай переход второго рода) ') . Ниже этой точки жидкий гелий (в этой фазе его называют Не 11) обладает рядом замечательных свойств, из которых наиболее существенным является открытая П.Л. Капицей в 1938 г, сверхпгекучесть — свойство протекать по узким капиллярам или щелям, не обнаруживая никакой вязкости.
Теория сверхтекучести была развита ЛД. Ландау (1941). Ее микроскопическая часть изложена в другом томе этого Курса (см. 1Х, гл. П1). Здесь же мы остановимся лишь на макроскопической гидродинамике сверхтекучей жидкости, которая может быть построена на базе представлений микроскопической теории ') . ') Л-точки образуют линию на фазовой диаграмме гелия в плоскости рТ. Температура 2,19 К отвечает точке пересечения этой линии с линией равновесия жидкости с паром.
') Ферми-жиГСкость изотопа зНе тоже становится сверхтекучей, но при гораздо более низких температурах 10 К. Гидродинамике этой сверхтекучей жидкости более сложна ввиду более сложного характера онисываюгдего ее состояние «паралсетра порядка» 1ср. 1Х, 1 54). ООЙОВные сВОЙС'ГВА с!Ингхтеку гкй гкидкОс"!'и 705 1 137 Отправным пунктом гидродинамики гелия П является с !едующий основной результат микроскопической теории. При отличных от нуля температурах гелий П ведет себя так, как если бы он представлял собой смесь двух различных жидкостей.
Одна из них сверхтекуча и при движении вдоль твердой поверхности не обнаруживает никакой вязкости. Другая же ведет себя, как обычная нормальная вязкая жидкость. При этом весьма существенно, что между обеими этими движущимися «друг через другая частяь!и массы жидкости нет трения, т. с. не происходит передачи иьшульса от одной из них к другой. Следует, однако, самым решительным образом подчеркнуть, что рассмотрение жидкости как смеси нормальной и сверхтскучей ее частей является не более чем способом наглядного описания явлений, происходящих в квантовой жидкости. Как и всякое описание квантовых явлений в классических терминах, оно не вполне адекватно. В действительности надо говорить, что в квантовой жидкости -гелии П..может существовать одновременно два движения, каждое из которых связано со своей эффективной массой (так что сумма обеих этих масс равна полной истинной массе жидкости).
Одно из этих движений нормально, т. е. обладает теми же свойствами, что и движение обычной вязкой жидкости; другое же — сверхтекуче. Оба эти движения происходят без передачи импульса от одного к другому. В определенном смысле можно говорить о свсрхтекучей и нормальной частях массы жидкости, но это отнюдь не означает возможности реального разделения жидкости на две части ') . Лишь имея в виду всс эти оговорки относительно истинного характера происходящих в гелии П явлений, можно пользоваться терминами сверссгпекучая часть и нормильная часть жидкости как наглядным способом краткого описания этих явлений. Мы, однако, будем предпочитать пользоваться более точными терминами сверттеку"гев двизюение и норлгвугьное движенг!е, не ассоциируя их с компонентами «смесиь двух «частейг! жидкости.
Представление о двух видах движения дает простое объяснение наблюдающимся на опыте основным свойствам течения гелия П. Отсутствие вязкости при протекании гелия П по узкой шели объясняется том! что в щели имеет место свсрхтекучес движение жидкости, пе обнаружива!ощее трения; можно сказать, что нормальная часть, .задерживается в сосуде, протекая через щель несравненно медленнее, со скоростью, соответствующей ее вязко- ') Независимо от Ландау, ка.гественная идея о макроскопическом описании гелия 11 с помощью разделения его плотности на две части и введения двух полей скоростей была высказана Л. Тымой (Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
