VI.-Гидродинамика (1109684), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Это и дает возможность считать, с точностью до малых величин высших порядков, течение потенциальным и позади ударной волны. Выведем общее уравнение для потенциала скорости при произвольном стационарном потенциальном! течении сжимаемого газа. Для этого исключаем плотность из уравнения непрерывности с1!А рм = рбгхч + х!'А7р = О с помощью уравнения Эйлера ~, Ж~ч = — — = — — Tр '!'Р О Р Р и получаем с !11гт! — !!хК)!Г = О. Вводя сюда потенцию! согласно хг = 'Г'!р и раскрывая векторные выражения, найдем искомое уравнение: (с — !р )!р + !с — !р ) р „+ (с — !р,)!р„— — 2(,'рх ру!рх!, +'р",'р: р, +'ру!р.ру.) = О (114 2) (нижние индексы обозначают здесь частные производные).
В частности, для плоского движения ! 'с — !р2)!р + (с~ — !р~~)!р„„— 2!рх!рэ!р = О. (114.3) В этих уравнениях скорость звука сама должна быть выражена как функция скорости, что может быть, в принципе, сделано с помощью уравнения Бернулли и! + !!з/2 = сопв1 и уравнения изэптропичпости а = сопв1 (д.!Ля политропного газа зависимость с от с дается формулой (83.18)). осс17 1 114 !!Отянциат!ы!Оя движяние с!кимаямОГО ГАЗА (114 4) где М1 = п1/с1, для скорости звука здесь подставлено, естественно, ее заданное значение на бесконечности.
Давление в любой точке потока определяется в этом же приближении через скорость по формуле, которую ь|ожно получить ш!едуюшим образом. Рассматривая р как функцию ю (при заданном з) и учитывая, что (дюг!др), = 1/р! запишем; / др '! р — р! — ~ — ~ (и! — ю1) = р11,ю — ю1). дю Согласно же уравнению Бернулли имеем и! — ю! = — -~(тг! + и) — п1] — — -(и, + и,) — п!и ! 1 2 1 2 2 так что Р Р1 = Р!~!~в 1~у + ~ ) Р! г 2 2! (114.5) В этом выражении надо, вообще говоря, сохранить член с квадратами поперечной скорости, так как в области вблизи оси т (в частности, на самой поверхности обтекаемого газом тонкого тела) производные д!Р'/ду, д!Р'/дя могут стать большими по сравнению с д!р'!!дт.
Уравнение (114.4), однако, неприменимо, если число М1 очень близко к единице (околозвуковое движение), так что коэффициент в первом члене становится малым. Ясно, что в таком случае ) С таким случаем мы встретились уже в З 113 (обтекание тонкого конуса) и встретимся егце при изучении обтекания сжимаемым газом произвольных тОнких тЕл. Уравнение (114.2) очень упрощается, если во всем пространстве скорость газа лишь незначительно отличается по величине и направлению от скорости натекающего из бесконечности потока ') . Те!к! самым подразумевается и что ударные волны (егши они вообще есть) обладают слабой интенсивностью, а потому не нарушают потенциальности течения.
Выделим из и постоянную скорость натекающего потока м1, написав и = тг! + Аг', где АГ малая величина. Вместо потенциала !Р полной скорости, введем потенциал !Р' скорости ч'! тгэ = !!7!Р'. Уравнение для этого потенциала получится из (114.2) заменой !Р = !Р' + лп1 (ось гя выбираем в направлении вектора н1). Рассматривая после этого !Р' как малую величину и опуская все члены выше первого порядка, получим следующее линейное уравнение: 598 илОскОе те'!Ииив с1кимлкмО1'О Глзл Гл хи в уравнении должны быть сохранены также и члены более высокого порядка !ю производным потенциала по координате т.
Для вывода соответствующего уравнения снова вернемся к исходному уравнению (114.2), которое после пренебрежения заведомо малыми членами сводится к следующему: (114.8) дс с — с„= (с — с„)— дв ~=с„' с — с = (с, — с)(1 — — ). ОГ ю=-с Восполыовавшись тем, что при с = с = с, согласно (83.4) имеем !1р/!1О = — р/с, пишем (при О = с„): !!С !!С дР Р !!С да дрдс сдр так что с — с = (с, — О)- = О,(с, — с). 1 д(рс) (114.
7) др Мы воспользовались здесь для производной !!(рс)/!1р выражением (99.9), а для а, значением величины а (102.2) при О = с, (для политропного газа а есть просто постоянная, так что !е, = = а = (у + 1)/2). С той же точностью это равенство можно переписать в виде (114.8) Это соотношение устанавливает в общем виде связь между числами М и М„ в околозвуковом случае. С помощью этой формулы имеем 1 — — '-1 — — -2(1 — — ) -211,(! — — ).
Наконец, вводим новый потенциал, производя у — э с,(т+ !р), зах!енч так что теперь будет дО дт, с. д!г ьа ду с, (114.9) В рассматриваемом случае скорость с — с и скорость звука с близки к критической скорости с,. Поэтому можно написать: 1 115 С"ГГЩИОНЛРНЫЯ НРОГ"ГЫИ ВОЛНЫ Внося нсе это в (114.6), получим окончательно следующее уравнение для потенциала околозвукового течения (с направлением с~~р~с~~, ~езде б~~з~~~ к оси т): дед'~' д ~'+ д'~' (1 14.10) * д* д'- ду' д. ' Свойства газа входят сюда только через постоянную о„. МНГ увидим в дальнейшем, что зависимость всех вообще свойств околозвукового течения от конкретного рода газа целиком определяется этой постоянной.
Линеаризованное уравнение (114.4) становится неприменимым и в другом предельном случае очень больших значений Мы не говоря уже о том, что благодаря возникновению сильных ударных волн реальное течение при таких МГ фактически вообще нельзя считать потенциальным (сьГ. ~ 127). й 115. Стационарные простые волны Определим общий вид решений уравнений стационарного плоского сверхзвукового движения газа, описывающих течения, при которых на бесконечности имеется однородный плоскопараллельный поток, в дальнейшем своем течении поворачивающий, обтекая искривленный профиль. С частным случаем такого решения нам уже приходилось иметь дело при изучении движения вблизи угла, — при этом мы по существу рассматривали плоскопараллельный поток, текущий вдоль одной из сторон угла и поворачивающий вокруг края этого угла.
В этом частном решении все величины- две компоненты скорости, давление., плотность были функциями всего лишь одной переменной угла у. Поэтому каждая из этих величин могла бы быть выражена в виде функции одной из них. Поскольку это решение должно содержаться в виде частного случая в искомом общем решении, то естественно искать это последнее, исходя из требования, чтобы и в нем каждая из величин р, р, н, е„(плоскость движения выбираем в качестве плоскости ху) могла быть выражена в виде функции одной из них. Такое требование представляет собой, конечно, весьма существенное ограничение, налагаемое на решение уравнений движения, и получающееся таким образом решение отнюдь не является общим интегралом этих уравнений.
В общем случае каждая из величин р, р, НГ, ик, являющихся функцией двух координат т, у, могла бы быть выражена лишь через две из них. Поскольку на бесконечности имеется однородный поток, в котором все величины, в частности и энтропия э, постоянны, а при стационарном движении идеальной жидкости энтропия сохраняется вдоль линий тока, то ясно, что и во всем пространстве 600 плОскОе течение сжимАемОГО ГА3А ГЛ. ХП будет е = сопе1, если только в газе нет ударных волн, что и предполагается ниже.
Уравнения Эйлера и уравнение непрерывности итлеют вид дх„дю 1 др дх„дхе 1 др Ех + Еу — 1 Ех + Еу дх ду р дх дх ду Р ду — (РП ) + — 1РУу) = О. д д дх ' ду Написав частные производные в виде якобианов, перепишем эти уравнения в виде д(х„ у) д(хх, х) 1 длр, у) " д(х, у) У д(х, у) Р д(х, у) д(хм у) д(хю х) 1 д(р, х) д(х, у) У д(х, у) Р д(х, у)' д(Ри,„ у) д1Рх„,х) д(х, у) д(х, у) (где дд/дх обозначает 1дуллдх)р). Все величины в этих уравнениях, за исключением лишь ду/дх, являются функциями только от р уже по сделанному предположению, а х вовсе не входит в уравнения явным образом. Поэтому прежде всего можно заключить на основании этих уравнений, что и дуллдх есть некоторая функция только от р: откуда У = хИР) + Л1Р): где 12(р) -- произвольная функция давления. (115.1) Выберем теперь в качестве независимых переменных х и р.
Для того чтобы произвести соответствующее преобразование, достаточно умножить написанные уравнения на д(х, у)ллд(х, р), в результате чего получим уравнения в точности того же вида, с той лишь разницей, что в знаменателях всех якобианов будет стоять д1х, р) вместо д(х, у). Раскроем эти якобианы; при этом надо иметь в виду, что в независимых переменных х и р все величины р, у, у„являются, по предположению, функциями только от р, и потоелу их частные производные по х равны нулю. Тогда получаем 601 11ш СТАЦИОНЛРНЫН ВРОС"ГЫВ ВОЛНЫ Дальнейших вычислений можно не производить вовсе, еспи непосредственно воспользоваться известным уже нам частным решением для волны разрежения при обтекании угла Я 109, 112).
Напомним, что в этом решении все величины (в том числе и давление) постоянны вдоль каждой прямой (характеристики), проходящей через вершину угла. Это частное решение, очевидно, соответствует случаю., когда в общем выражении (115.1) произвольная функция ~з(р) тождественно равна нулю. Функция же (~(р) определяется полученными в ~ 109 формулами. Уравнение (115.1) при постоянных значениях р определяет семейство прямых линий в плоскости ау. Эти прямые пересекают в каждой своей точке линии тока гюд углом Маха. Это очевидно из того, что таким свойством обладают прямые у = л1'г(р) в частном решении с (з = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
