Главная » Просмотр файлов » VI.-Гидродинамика

VI.-Гидродинамика (1109684), страница 111

Файл №1109684 VI.-Гидродинамика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах) 111 страницаVI.-Гидродинамика (1109684) страница 1112019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 111)

укажем, однако, для формальной полноты, что при т > 7 функция Р1Я) меняется от значения 2/!З -Ь 1) при б = 1 до предельного значения 1, достигаемого при определенном !зависящем от у) значении б = бе < 1; в этой точке функция С обращается в нуль, т, е. возникает расширяющаяся сферическая область пустоты. 'б1 1 107 ОХОДЯЩЛЯС'Я ОФКРИЧКОКЛЯ МДЛРИЛЯ ВОЛИЛ тельство является естественным следствием того, что по поверхности наибольшего, равного Л, радиуса должно быть распределено вещество с шестикратной по сравнению с нормальной плотностью ') . 9 107. Сходящаяся сферическая ударная волна Рядом поучительных особенностей обладает задача о сходящейся к центру ударной волне большой интенсивности») .

Вопрос о конкретном механизме возникновения такой волны пас не будет интересовать:, достаточно представлять себе,что волна создана каким-то «сферическим поршнем», сообщающим газу начальный толчок; по мере схождения к центру волна усиливается. Мы будем рассматривать движение газа на той стадии процесса, когда радиус Л сферической поверхности разрыва уже мал по сравнению с ее начальным радиусом радиусом «поршня» Ло.

На этой стадии характер движения в значительной степени (ниже будет видно какой) не зависит от конкретных начальных условий. Ударную волну будем считать уже настолько сильной, что давлением р1 газа перед ней можно (как и в предыдущем параграфе) пренебречь по сравнению с давлением рв позади нее. Что касается полной энергии газа, заключенной в рассматриваемой (переменной!) области г Л « Во, то она отнюдь не постоянна (как будет видно ниже — убывает со временем). Пространственный масштаб рассматриваемого движения может определяться лишь самим, меняющимся со временем, радиусом ударной волны 311), а масштаб скорости — - производной 74Л,7дт. В этих условиях естественно предположить, что движение будет автомодельным, с независимой «автомодельной переменной» б = г/Л17).

Однако зависимость Л(г) нельзя определить из одних только соображений размерности. Примем момент фокусировки ударной волны (тг е, момент, когда В обращается в нуль) в качестве 1 = О. Тогда времени до фокусировки отвечают значения 1 < О. Будем искать функцию В(г) в виде (107.1) В(1) = А( — 1) с неизвестным заранее 11окааипгелем авггголгодельносп1и гт. Оказывается, что этот показатель определяется ус«кивнем существо- 1 ) Результаты вычислений для других значений З, а также аналогичное ре1вение задачи о сильном взрыве в случае цилиндрической симметрии приведены Л.О. Седов»ли в кнл «Методы подобия и размерности в мехапикем изд.

9. — Мз Наука, 1981, гл. 1У, з 11. ') Эта задача была рассмотрена независимо Гудерлеем 1С. Свйег1еу., 1942) и Л.Д. Ландау и 1«.П. Стогиокоо1гчем (1944, опубликовано в 1955). 562 ГЛ Х ОДНОЫЯРНОИ ДНИЖЯНИК СЖИМЛКМОГО ГЛЭЛ вания самого решения уравнений движения (в области Г « Лв) с надлежащими граничными ушГовиями. Тем самым определяется и размерность постоянного параметра А. Величина же этого параметра остается неопределенной и может быть, в принципе, найдена лишь путем решения задачи о движении газа в целом, т. е. путем сшивки автомодельного решения с решением на расстояниях т Лш зависящим от конкретных начальных условий.

Именно через этот параметр, и только через него, зависит движение при Л « Ло от способа начального создания ударной волны. Покажем, как осуществляется решение поставленной таким образом задачи. Подобно тому., как это было сделано в ~ 106, введем безразмерные неизвестные функции согласно определениям с~ = —,У(с), (107.2) где ЯО) А( — ~)л (107.3) (при ГГ = 2/5 определения (107.2) совпадают с (106А)). Напомним, что и. радиальная скорость газа относительно неподвижной системы координат, связанной с неподвижным газом внутри сферы Г = Ло, газ движется вместе с ударной волной по направлению к центру, чему отвечает н < 0 (так что 1Г(С) > 0).

Фактически искомое решение уравнений движения относится лишь к области т Л позади ударной волны, и к достаточно малым временам 1 (при которых Л « Ло). Но формально получаемое решение охватывает все пространство Г > Л от поверхности разрыва до бесконечности, и все времена 8 < 0; при этом переменная С пробегает все значения от 1 до оо. Соответственно, граничные условия для функпий С, 1', У должны быть поставлены при С = 1 и С = Оо. Значение С = 1 отвечает поверхности ударной волны; граничные условия на ней совпадают с (106.6).

Для установления условий па бесконечности (по () замечаем, что при 1 = 0 (в момент фокусировки волны) все величины н, р, с на всех конечных расстояниях от центра должны оставаться конечными. Но при 1 = О, Г ~= 0 переменная ( = оо. Для того чтобы функции п(г, 1) и сэ(г, ~) при этом оставались конечными, функции Ъ ® и Я(~) должны обращаться в нуль, 1Г(оо) = О, Я(оо) = О. (107А) СХОДЯЩАЯС'Я СФВРИЧКСКЛЯ УДАРНАЯ ВОЛИЛ 563 1 107 После подстановки (107.2), (107.3), система уравнений (106.7) принимает вид 1 1г Зх ~,(1 1,) Л г 11ВС 4 1п1 7 4 1п ~ с11' — (1— и 1п с 1)уд1ВС 41в с ) с1 1п О' д 1п с а 2г(17 — 1') (107 5) 4!п~ 1 — 1.

г — (1 — 1)' Н1пс 1ГУ' (107.6) (317 — )7 — Р(1 — Р)(1/о — 1') ' (З1 — ) Я вЂ” 1 (1 — «)(17о — 1 ) (1 — И) = 3'У' (107. 7) т (1 1;)е (где тс = 2(1 — се)/(осу)). В качестве же третьего напишем уравне- ние, получающееся делением производной дЯ/д 1п С на с1'у'7'д 1п С, оно гласит: НЯ а / (о — (1 — 17)~)(27'Π— (Зу — Цр) дГ 1 — р 1(317 — м)Х вЂ” р(1 — р)(1/Π— 1") Если найдено нужное решение уравнения (107.8), т. е.

функциояальная зависимость х (1'), то после этого решение уравнений (107.6), (107. 7) (нахождение зависимости С(Г) и затем С(С)) сводится к квадратурам. Таким образом, вся задача сводится прежде всего к реп1епию уравнения (107.8). Интегральная кривая на плоскости 1т8 должна выходить из точки (назовем ее точкой У) с координатами Ъ'(1), х (1) «образа» ударной волны на плоскости Ъ'х .

Указанием этой точки уже определяется решение уравнения (107.8) (при заданном а): интегральная кривая уравнения первого порядка однозначно определяется заданием одной (не особой) ее ) Именно в этом состоит преимущество введения в качестве основных переменных в, р, с вместо в, р, р. (последние два уравнения ср. с (106.9)). Отметим, что независимая переменная С входит в эти уравнения только в виде дифференциала с11п(; постоянная 1пА при этом выпадает из уравнений вовсе и, следовательно, остается неопределенной в соответствии со сказанным выше. Коэффициенты при производных в уравнениях (107.5) и их правые части содержат только Ъ' и х (но не С) ') .

Решив эти уравнения относительно производных, мы выразим последние через эти две функции. Таким образом, получим уравнения 564 гл х ОднОмягнОН движвннк с'жиылкыОРО глзл точки. Выясним условие, позволяющее установить значение гг, приводящее к «правильной» интегральной кривой. Это условие возникает из очевидного физического требования: зависимости всех величин от ( должны быть однозначными каждому значению б должны отвечать единственные значения Ъ", С, У.

Это значит, что во всей области изменения переменной б (1 < ~ < оо, т. е. 0 < 1ггб < Ос) функции С(1')! ~(С), ~(У) не должны иметь экстремумов. Другими словами, производные г д1п~/сЛ", ... должны нигде не обращаться в 1 нуль. На рис. 95 кривая 1 парабола Я = (1 — 1')2. (107.9) Легко видеть, что точка У лежит над ней ') .

Между тем, интегральная кривая, отвечающая решению поставленной задачи., должна прийти в начало координат в соответствии р с предельным условием (107.4); поэтому опа о непременно пересекает параболу (107.9). Но Рис. 95 все указанные производные выражанзтся, согласно (107.6) — (107.8), дробными выражениями, в числителе которых стоит разность 7 — (1 — $') . Для того чтобы эти выражения 2 не обращались в нуль в точке пересечения интегральной кривой с параболой (107.9), должно одновременно быть (Зà — »г) Я = $'(1 — 1') (1!!а — $'). (107.10) Другими словами, интегральная кривая должна проходить через точку пересечения параболы (107.9) с кривой (107.10) (кривая 2 на рис. 95); эта точка, особая точка уравнения (107.8) (производная !1У/Л' = О!!0). Этим условием и определяется значение показателя автомодельности гу; приведезл два значения, получающиеся в результате численных расчетов: гх = 0,6884 при т = 51!3; !т = 0,7172 при з = 7/5.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
5,72 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6439
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее