VI.-Гидродинамика (1109684), страница 111
Текст из файла (страница 111)
укажем, однако, для формальной полноты, что при т > 7 функция Р1Я) меняется от значения 2/!З -Ь 1) при б = 1 до предельного значения 1, достигаемого при определенном !зависящем от у) значении б = бе < 1; в этой точке функция С обращается в нуль, т, е. возникает расширяющаяся сферическая область пустоты. 'б1 1 107 ОХОДЯЩЛЯС'Я ОФКРИЧКОКЛЯ МДЛРИЛЯ ВОЛИЛ тельство является естественным следствием того, что по поверхности наибольшего, равного Л, радиуса должно быть распределено вещество с шестикратной по сравнению с нормальной плотностью ') . 9 107. Сходящаяся сферическая ударная волна Рядом поучительных особенностей обладает задача о сходящейся к центру ударной волне большой интенсивности») .
Вопрос о конкретном механизме возникновения такой волны пас не будет интересовать:, достаточно представлять себе,что волна создана каким-то «сферическим поршнем», сообщающим газу начальный толчок; по мере схождения к центру волна усиливается. Мы будем рассматривать движение газа на той стадии процесса, когда радиус Л сферической поверхности разрыва уже мал по сравнению с ее начальным радиусом радиусом «поршня» Ло.
На этой стадии характер движения в значительной степени (ниже будет видно какой) не зависит от конкретных начальных условий. Ударную волну будем считать уже настолько сильной, что давлением р1 газа перед ней можно (как и в предыдущем параграфе) пренебречь по сравнению с давлением рв позади нее. Что касается полной энергии газа, заключенной в рассматриваемой (переменной!) области г Л « Во, то она отнюдь не постоянна (как будет видно ниже — убывает со временем). Пространственный масштаб рассматриваемого движения может определяться лишь самим, меняющимся со временем, радиусом ударной волны 311), а масштаб скорости — - производной 74Л,7дт. В этих условиях естественно предположить, что движение будет автомодельным, с независимой «автомодельной переменной» б = г/Л17).
Однако зависимость Л(г) нельзя определить из одних только соображений размерности. Примем момент фокусировки ударной волны (тг е, момент, когда В обращается в нуль) в качестве 1 = О. Тогда времени до фокусировки отвечают значения 1 < О. Будем искать функцию В(г) в виде (107.1) В(1) = А( — 1) с неизвестным заранее 11окааипгелем авггголгодельносп1и гт. Оказывается, что этот показатель определяется ус«кивнем существо- 1 ) Результаты вычислений для других значений З, а также аналогичное ре1вение задачи о сильном взрыве в случае цилиндрической симметрии приведены Л.О. Седов»ли в кнл «Методы подобия и размерности в мехапикем изд.
9. — Мз Наука, 1981, гл. 1У, з 11. ') Эта задача была рассмотрена независимо Гудерлеем 1С. Свйег1еу., 1942) и Л.Д. Ландау и 1«.П. Стогиокоо1гчем (1944, опубликовано в 1955). 562 ГЛ Х ОДНОЫЯРНОИ ДНИЖЯНИК СЖИМЛКМОГО ГЛЭЛ вания самого решения уравнений движения (в области Г « Лв) с надлежащими граничными ушГовиями. Тем самым определяется и размерность постоянного параметра А. Величина же этого параметра остается неопределенной и может быть, в принципе, найдена лишь путем решения задачи о движении газа в целом, т. е. путем сшивки автомодельного решения с решением на расстояниях т Лш зависящим от конкретных начальных условий.
Именно через этот параметр, и только через него, зависит движение при Л « Ло от способа начального создания ударной волны. Покажем, как осуществляется решение поставленной таким образом задачи. Подобно тому., как это было сделано в ~ 106, введем безразмерные неизвестные функции согласно определениям с~ = —,У(с), (107.2) где ЯО) А( — ~)л (107.3) (при ГГ = 2/5 определения (107.2) совпадают с (106А)). Напомним, что и. радиальная скорость газа относительно неподвижной системы координат, связанной с неподвижным газом внутри сферы Г = Ло, газ движется вместе с ударной волной по направлению к центру, чему отвечает н < 0 (так что 1Г(С) > 0).
Фактически искомое решение уравнений движения относится лишь к области т Л позади ударной волны, и к достаточно малым временам 1 (при которых Л « Ло). Но формально получаемое решение охватывает все пространство Г > Л от поверхности разрыва до бесконечности, и все времена 8 < 0; при этом переменная С пробегает все значения от 1 до оо. Соответственно, граничные условия для функпий С, 1', У должны быть поставлены при С = 1 и С = Оо. Значение С = 1 отвечает поверхности ударной волны; граничные условия на ней совпадают с (106.6).
Для установления условий па бесконечности (по () замечаем, что при 1 = 0 (в момент фокусировки волны) все величины н, р, с на всех конечных расстояниях от центра должны оставаться конечными. Но при 1 = О, Г ~= 0 переменная ( = оо. Для того чтобы функции п(г, 1) и сэ(г, ~) при этом оставались конечными, функции Ъ ® и Я(~) должны обращаться в нуль, 1Г(оо) = О, Я(оо) = О. (107А) СХОДЯЩАЯС'Я СФВРИЧКСКЛЯ УДАРНАЯ ВОЛИЛ 563 1 107 После подстановки (107.2), (107.3), система уравнений (106.7) принимает вид 1 1г Зх ~,(1 1,) Л г 11ВС 4 1п1 7 4 1п ~ с11' — (1— и 1п с 1)уд1ВС 41в с ) с1 1п О' д 1п с а 2г(17 — 1') (107 5) 4!п~ 1 — 1.
г — (1 — 1)' Н1пс 1ГУ' (107.6) (317 — )7 — Р(1 — Р)(1/о — 1') ' (З1 — ) Я вЂ” 1 (1 — «)(17о — 1 ) (1 — И) = 3'У' (107. 7) т (1 1;)е (где тс = 2(1 — се)/(осу)). В качестве же третьего напишем уравне- ние, получающееся делением производной дЯ/д 1п С на с1'у'7'д 1п С, оно гласит: НЯ а / (о — (1 — 17)~)(27'Π— (Зу — Цр) дГ 1 — р 1(317 — м)Х вЂ” р(1 — р)(1/Π— 1") Если найдено нужное решение уравнения (107.8), т. е.
функциояальная зависимость х (1'), то после этого решение уравнений (107.6), (107. 7) (нахождение зависимости С(Г) и затем С(С)) сводится к квадратурам. Таким образом, вся задача сводится прежде всего к реп1епию уравнения (107.8). Интегральная кривая на плоскости 1т8 должна выходить из точки (назовем ее точкой У) с координатами Ъ'(1), х (1) «образа» ударной волны на плоскости Ъ'х .
Указанием этой точки уже определяется решение уравнения (107.8) (при заданном а): интегральная кривая уравнения первого порядка однозначно определяется заданием одной (не особой) ее ) Именно в этом состоит преимущество введения в качестве основных переменных в, р, с вместо в, р, р. (последние два уравнения ср. с (106.9)). Отметим, что независимая переменная С входит в эти уравнения только в виде дифференциала с11п(; постоянная 1пА при этом выпадает из уравнений вовсе и, следовательно, остается неопределенной в соответствии со сказанным выше. Коэффициенты при производных в уравнениях (107.5) и их правые части содержат только Ъ' и х (но не С) ') .
Решив эти уравнения относительно производных, мы выразим последние через эти две функции. Таким образом, получим уравнения 564 гл х ОднОмягнОН движвннк с'жиылкыОРО глзл точки. Выясним условие, позволяющее установить значение гг, приводящее к «правильной» интегральной кривой. Это условие возникает из очевидного физического требования: зависимости всех величин от ( должны быть однозначными каждому значению б должны отвечать единственные значения Ъ", С, У.
Это значит, что во всей области изменения переменной б (1 < ~ < оо, т. е. 0 < 1ггб < Ос) функции С(1')! ~(С), ~(У) не должны иметь экстремумов. Другими словами, производные г д1п~/сЛ", ... должны нигде не обращаться в 1 нуль. На рис. 95 кривая 1 парабола Я = (1 — 1')2. (107.9) Легко видеть, что точка У лежит над ней ') .
Между тем, интегральная кривая, отвечающая решению поставленной задачи., должна прийти в начало координат в соответствии р с предельным условием (107.4); поэтому опа о непременно пересекает параболу (107.9). Но Рис. 95 все указанные производные выражанзтся, согласно (107.6) — (107.8), дробными выражениями, в числителе которых стоит разность 7 — (1 — $') . Для того чтобы эти выражения 2 не обращались в нуль в точке пересечения интегральной кривой с параболой (107.9), должно одновременно быть (Зà — »г) Я = $'(1 — 1') (1!!а — $'). (107.10) Другими словами, интегральная кривая должна проходить через точку пересечения параболы (107.9) с кривой (107.10) (кривая 2 на рис. 95); эта точка, особая точка уравнения (107.8) (производная !1У/Л' = О!!0). Этим условием и определяется значение показателя автомодельности гу; приведезл два значения, получающиеся в результате численных расчетов: гх = 0,6884 при т = 51!3; !т = 0,7172 при з = 7/5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
