V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Найденные таким образом значения величин Гй определяют симметрию функции бр = гз ~~~ 7 гр;, 1145.8) г т. е. симметрию С кристалла, возникающего при переходе второго рода из кристалла с симметрией Со') . Совокупность величин гь играет в излагаемом формализме роль параметра порядка, описывающего отклонение несимметричной фазы от симметричной. Мы видим, что в общем случае единичного представления.
Для неприводимых 1в буквальном смысле этого слова) представлений пространственных групп инвариантов третьего порядка может быть не более одного бтоказательство этого утверждения смл Шггр М. С.,!/~КЭТсв. 19бб. Т. 31. С. 12бб). При обьедипении же двух представлений в одно физически иеприводимое может возникнуть два инварианта третьего порядка. )Может оказаться,что имеется всего один инвариант четвертого порядгг ка (2 ГЬ) = В . В таком случае член четвертого порядка не зависит от гг г величин т, и дггя определения погледних надо обратиться к членам более высокого порядка,:зависящим от Ч,. Учет членов более вьгсоких порядков может оказаться нужным также и в некоторых случаях, когда минимизация зависящих от З, членов четвертого порядка обращает эти члены в нуль.
) В 3 143 мы рассматривали переход с заданным изменением симметрии. В терминах введенных здесызогзятий можно сказать, что мы заранее предполагали величины Зи имеющими заданные значениЯ 1так что фУнкциЯ 6Р имела заданную симметрию). При такой постановке задачи отсутствие члена третьего порядка Зв разложении 1143.3)) не могло быть достаточным усповием, обеспечивающим существование линии точек переходов второго рода, так как оно не исключает возможности наличия членов третьего порядка в общем разложении по нескольким ч, 1если данное неприводимое представление не одномерно).
Например, если имеется три величины гЬ и произведение тгтэтг инвариантно, то разложение Ф содержит член третьего порядка, между тем как при определенной симметрии функции бр, требующей равенства нулю одного или двух из уо этот член обращается в нуль. 529 ИЗМЕНЕНИЕ СИММЕТРИИ ПРИ ФАЗОВОМ ПЕРЕХОДЕ этот параметр многокомпонентен, причем отношения ~, = ц,(>) определяют симметрию несимметричной фазы, а общий множитель Л дает количественную меру отклонения при заданной симметрии. Полученные условия, однако, сами по себе все еще недостато гны для возможности существования фазового перехода второго рода.
Еще одно существенное условие выясняется, если обратиться к обстоятельству (от которого мы до сих пор намеренно отвлекались), связанному с классификационными свойствами представлений пространственных групп') . В4ы видели в 9134, что эти представления классифицируются нс только по дискретному признаку (скажем, номеру малого представления), но и по значениям параметра к, пробегающего непрерывный ряд значений, Поэтому и коэффициенты А(") в разло>кении (145.3) должны зависеть не только от дискретного номера яй но и от непрерывной переменной 1с. Пусть фазовый переход связан с обращением в пуль (как функции от Р и Х) коэффициента А(")(1с) с определенным номером и и определенным значением )с = )св. Для того чтобы переход действительно мог произойти, необходимо, однако., чтобы А(а), как функция от 1с, имела при 1с = 1св (тем самым для всех векторов звезды )со) минимум, т.е.
разложение А(а)()с) по степеням 1с — )со в окрестности )со не должно содержать линейных членов. В противном случае какие-то коэффициенты А(п) ()с) заведомо обратятся в нуль раньше, чем А(")()со), и переход рассматриваемого типа произойти не сможет. Удобная формулировка этого условия еюжет быть получена., исходя из следующих соображений. Значение )со определяет транш>яционную симметрию функции ~р>, а тем самым и функпии 6р (145.8), т.
е, определяет периодичность решетки новой фазы. Эта структура должна быть устойчива по сравнению со структурами, соответствующими близким к )со значениям 1с. Но структура с 1с = 1св + >г (где >гмалаЯ вшпичипа) отличаетси от стРУктУРы с )е = ко пРостРанственной «модуляциейа периодичности последней, т. е. появлением неоднород»ости на расстояниях ( 1/>т), болыпих по сравпению с периодами (размерами ячеек) решетки. Такую неоднородность можно описывать макроскопичсски, рассматривая параметры порядка г), как медленно меняющиеся функции координат (в противоположность функциям 9>м осциллирующим ) Излагаемые ниже в этом параграфе резулы аты и примеры принадлежат Е.
М. Лифшицу (1941). 530 РАЗОВЬЛЕ ПРВРВХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. ХГ~' на межатомных расстояних). Мы приходим, таким образом, к требованию устойчивости состояния кристалла по отношению к нарушению его макроскопической однородности. При пространственно непостоянных величинах Плл плотность термодипамического потенциала кристалла будет зависеть не только от самих по но и от их производных по координатам (в первом приближеяии от производных первого порядка). Соответственно этому вблизи точки перехода надо разложить Ф (единицьл объема) по степеням как пн так и их градиентов ~7Пл. Для того чтобы тсрмодинамический потенциал (всего кристалла) мог быть минимален при постоянных пн необходимо, чтобы в этом разложении члены первого порядка по градиентам тождественно обращались в нуль (члены же, квадратичные по производным, должны быть существенно положительными; это обстоятельство, однако, не накладывает никаких ограничений На По тах КаК таКаЯ КВаДРатИЧНаЯ фОРМа СУЩЕСтВУЕт ДЛЯ Г)„ преобразующихсчя по любому из неприводимых представлений).
Из линейных по производным членов нас могут интересовать только члены, пРопоРциональные пРосто дл1л/дх,..., и члены, содержащие произведения л1з дл1ьллдх,... Члены более высоких порядков, очевидно, несущественны. Миниэлалльньлм должен быть термодинамический потенциал всего кристалла, т.е. интеграл ) Фьл1Г по всему объему. Но при интегрировании все полные производные в Ф дают постоянную, несущественную для определения минимума интеграла. Поэтому можно опустить все члены в Ф, пропорциональные просто производным от бы Из членов же с произведениями лй Дпл(дл,...
можно опустить все симметричные комбинации дп длп д оставив только антисимметричные части дц, длЗл, Пь Пл да да (145. 9) ) такие Вллварваллты называют инеарллантамлл лифшица. — примеч. ред. В разложение Ф могут войти только инвариантные линейныс комбинации величин (145.9).
Поэтому условие возможности фазового перехода состоит в отсутствии таких ипвариантов'). Компонепты градиентов '79л преобразуются как произведения компонент вектора на величины пь Поэтому разности (145.9) преобразуются как произведения компонент вектора на антисимметризованные произведения величин бы Следовательно, требование невозможности составления линейного скаляра 5 м5 излгенение симметРии пРи Фазоволг пеРехОде 531 из величин (145.9) эквивалентно требованию невозможности со- ставления из антисимметризованных произведений с г лге — сРг'Р/с сРьтзг (145.10) комбинаций,. преобразующихся как компоненты вектора (здесь сР;, сР,'; — одни и ге же функции базиса данного неприводимого представления, взятые в двух различных точках т, у, е и х', д', е' во избежание обращения разности тождественно в нуль) ') .
Отмечая функции базиса представления двумя индексами 1сст (как в Э 134)г напишем разности (145.10) в виде с I Хйоэс'д = сРйосРИ гз сРИО'Рйглг (145.11) где 1с, 1с',... — векторы одной и той же звезды. Пусть вектор 1с занимает наиболее общее положение и не обладает никакой собственной симметрией. Звезда 1с содержит, по числу поворотных элементов группы, и векторов (или 2п, если пространсгвенная группа сама яо себе не содержит инверсии), причем наряду с каждым 1с имеется отличный от него вектор — 1с.
Соответствующее неприводимое представление осуществляется столькими же функциями срй (по одной для каждого 1с, ввиду чего индекс о опускаем). Величины :Сй,— й = сРЕР— й сРЕР— 1с (145.12) ) В терминах теории представлений зто значит, что антнсимметричсскнй квадрат (Г ) данного представления Г не должен содержать в себе неприе водимые представления, по которым преобразуются компоненты вектора. инвариантны по отношению к трансляциям. При воздействии же поворотных элементов эти и (или 2п) величин преобразуются друг в друга, осуществляя представление соответствующей точечной группы (кристалли <еского класса) с размерностью, равной порядку группы. Но такое (так называемое регулярное) представление содержит в себе все неприводимые представления группы, в том числе и те, по которым преобразуются компоненты вектора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
