V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 106
Текст из файла (страница 106)
начало 1 115. ) Теория флуктуаций, основанная на выражении такого вида, была впервые развита (в применении к флуктуациям вблизи критической точки) Ориштейпом и Цернике (ь. д. Огпислп, г. 2егпгске, 1917). г41 е !46 Фляктяа!Р!и пагял4етга погядкл С(г) = ~~! ()Ьг)й~ )е' " или, переходя к интегрированию по 1с-пространству! Раей С(г) = ()/1г)„~2)е'и" —,. (2я-)з ' (146.10) Используя формулу фурье-преобразования, указанную в при- меч.
на с. 408, находим (Dри г ~ О) С(г) = Т,/(8п8г) ехр( — г/гс), (146.11) ге=,/я/ Е (146.12) Величину г, называют коррелт!ионным радиусом флуктуаций; им определяется порядок величины расстояний, на которых корреляция существенно убывает. При приближении к точке перехода корреляционный радиус возрастает как 1/тЛ, а в самой этой точке корреляционная функция убывает как 1/г. ') Аналогичные результаты полу щются, конечно, и по другую сторону !очки перехода — в несимметричной фазе.
Здесь Г1 = ( — о1/26)из и для изменения потенцию!а Й„(снова с точностью до величин — (ЬЧ) ) получается Л!!„= /~ — 2ст4(ыг!) +6 ~ — ) ]Л1 вместо (146.6). Ясно, потому что для (~ЬЛк~') (и ниже для корреляционной функции) получаются результаты, отличающиеся от написанных лишь заменой о! на 2!!~1~. которые содержат произведения Ьг)йЬт) 1, = ~Ьг)й~~. В результате получим «11 1, ~ ~«( 1!2+ ~))«!2 и отсюда () л, !2) т/(2! ( )с2+ 1)) (146.8) (ср. переход от (116.10) к (116.12)).
т(ы видим, что при 1 — ! 0 действительно возрастают именно длин новол новые флуктуации с й ~/Ы/8') . Подчеркнсл!, что сама формула (146.8) применима лишь при достаточно болыпих длинах волн 1/й, во всяком случае больших по сравнению с межатомными расстояниями. Введем обозначение для искомой корреляционной функции: С(г) = (Ьг)(г1)Ьг)(г2)), г = г! — г2.
(146.9) Она вычис.зяется как сумма 542 'РАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. ХГ~' При г = 0 интеграл (146.10) определяет средний квадрат флуктуации параметра 7) в бесконечно ма.чом элементе объема; он расходится при больших к. Эта расходимостгч однако, связана просто с неприменимостью в этой области выражения (146.8) (относящегося к длинноволновым флуктуациям), и означает лишь наличие в ((2а7)) ) члена, не зависящего от 1. Подчеркнем, во избежание недоразумений, что ранее написанное выражение (146.2) определяет флуктуации параметра 7), усредненного по объему 17, линейные размеры которого!» г,; эту величину можно обозначить как ((2А71) )к. Среднее значение функции Ь7)(Г) по объему 17 есть как раз фурье-компонента Ь7)а о, .поэтому естественно, что при Ь = 0 выражение (146.8) совпадает с (146.2).
Последнее можно получить также из корреляционной функции по очевидной формуле ((2-777) )ъ' = — 7 (Ь7)(Г1)7-77)(Г2))с)1 Л2 = — ст(Г) сЛ, (146. 13) применимой при любом конечном объеме Ъ'. Отметим, что в самой точке 1 = 0 (где С сх7 1(г) этот интеграл пропорционален 1/1, где 1--. линейные размеры участка, в котором рассматриваются флуктуации. При этом средний квадрат ((2А7)) )Н зависит не только от обьема, но и от формы участка. Мы можем теперь сформулировать условие, определяющее область применимости развитой здесь теории флуктуаций, основанной на разложении (146.5).
В качестве такого условия следует потребовать, чтобы был мал (по сравнению с ха)зактерные7 значением 7)~ ГГ(Х)77Ь) средний квадрат флуктуации параметра бй усредненного по корреляционному объел7уе Эта величина получается из (146.2) при 1" гз, и мы приходим к условию Т ~,7гз << (77~1~) 'Ь (146.14) или (взяв;с и Г, из (144.8) и (146.12)) гт)1!» Т,Ь /~' (146.15) (А. П. Лспанюк, 1959; В. Л. Гинзбург, 1960) ') .
Определение температурных зависимостей в полученных выше формулах требовало также и разложения по степеням 1 = Т вЂ” Т, (в коэффициентах разложения по 7)). Допустимость ) Это устовие подтверждается также и прямым вычислением флуктуациоиной поправки к теплоемкости тела вблизи точки перехода (см. задачу к 2 147).
546 ФЛУКТУАПИИ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА такого разложения требует соблюдения условия 1 « Тс, а для его совместности с условием (146.15) во всяком случае необходимо, чтобы было тбе ', «1. (146. 16) оеэ Условия (146.14) — (146.16), обеспечивая достаточную малость флуктуаций, являются в то же время условием применимости всей вообще теории фазовых переходов Ландау, изложенной в предыдущих параграфах. Уры видилл, что лишь при соблюдении неравенства (146.16) существует температурная область, в которой эта теория справедлива.
В таких случаях остаются в силе выводы теории относительно правил отбора допустимых изменений симметрии при переходах'). Но в отношении температурной зависимости термодинамических величин все равно неизбежно имеется узкая область вблизи Тс, в которой теория Ландау неприменима. Выводы этой теории надо, следовательно, относить лишь к состояниям обеих фаз вне указанного интервала температур. Так, полученные в ~ 143 выражения для скачков термодинамических величин надо понимать как разности их значений на обеих границах этого интервала.
Непосредственную окрестность точки Тс, отвечающую обратному знаку в неравенстве (146.15), будем называть облдктуациоииой; флуктуации играют здесь определяющую роль. В изложенных вычислениях не учитывалась специфика упругих свойств твердого тела, отличающего от его жидкости') . Не учитывался также эффект деформации тела, появляющийся в результате возникновения в нем порядка (этот эффект будем называть сгприхцией). В рамках теории Ландау эти эффекты не отражаются на выводах, изложенных в предыдущих параграфах. Совместное действие обоих указанных факторов может, однако, существенно отразиться на флуктуациях параметра порядка, а тем самым на характере фазового перехода.
Исследование этого вопроса требует широкого применения теории упругости и потол1у выходит за рамки данного тома. 54ы ограничимся здесь лишь указанием некоторых результатов. Стрикционпая деформация может быть (в зависимости, от симметрии кристалла) липейна или квадратична по параметру ) Для переходов, описывающихся несколькими параметрами порядка, установление всех условий применимости теории Ландау требует, однако, болоо детапьного исследования. ) При этом существен не столько сам факт анизотропии этих свойств, сколько несводимость деформаций к одной только деформации всестороннего сжатия.
В этом смысле сказанное ниже относилось бы и к изотропному твердому телу с отличным от нуля модулем сдвига. 544 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. ХГ~' порядка. Характер влияния упругих свойств тела на фазовый переход в этих случаях различен. В случае линейной стрикции обозначим буквой з порядок величины коэффициентов пропорциональности между компонентами тензора деформации (и,в) и параметром порядка: иге уг).
Влияние этого эффекта на флуктуации проявляется в той окрестности точки перехода, где Ы < З~/Л (Л- порядок величины модулей упругости тела). Во многих слу гаях стрикция представляет собой слабый эффект, и в этом смысле величина з является малой. Тогда указанная область температур узка и лежит внутри флуктуационной области.
Длинноволновые флуктуации (Й <,ЩЯ) оказываются здесь подавленными, и корреляционный радиус, достигнув значения гс ггйЛ/~~, перестает возрастать. В результате тепло- емкость в точке перехода испытывает лишь конечный скачок, как и в теории Ландау' ) . К другим результатам приводит квадратичная стрикцияг) . Этот эффект тоже подавляет флуктуации, но в более слабой степени. Если без учета стрикции в точке перехода теплоемкость обращалась бы в бесконечность (см. 9148), то квадратичная стрикция приводит вместо этого к появлению небольшого скачка энтропии, т.е.
фазовый переход становится переходом первого рода,, близким ко второму; теплоемкость остается при этом конечной,хотя и достигает аномально больших значений'). Задача Определить корреляционный радиус флуктуаций параметра порядка во внещнем гюле й при Т = Т,. Р е и1 е н и е. 1'авновесное значение Л дается выражением (144.9), а плотность тЕрмодинамического потенциала: 4 1' д11Л вЂ” ЗЬ'1111'1' г /дг1Л 12 = 11о + 511' + 6 ~ —, ) — 119 = ~ + И вЂ” Л) г + я ~ — ) дг 2'1г дг Для корреляционной функции получается прежний результат (146.
11) с корреляционным радиусом 21/е 1/г згщ51!е51/г ' ) Смз Леоонюе А. Л., Собянин А. АОПисьхга в ЖЭТФ. 1970. Т.11.- С. 540. 1) Этот случай илгеет место, в частности, для переходов из пара- в ферромагнитное состояние, где параметром порядка являегся вектор намагниченности кристалла. Линейная зависимость деформации от намагниченности исключается требованием симметрии относительно обращения времени (оставляющего неизъгенным деформацию, но меняющего знак магнитного момента). г) Смз Ларгвн А. И., Пикин С. А.,~7ЖЭТФ. — 1969.— Т.
56. — С. 1664. с4с эФФБктивный ГАыильтониАн 9 147. Эффективный гамильтониан Прежде чем перейти к описанию свойств фазового перехода впе области применимости теории Ландау (т. е. в непосредственной окрестаости точки верехода), покажем, каким образом могла бы быть поставлена статистическая задача об исследовании этих свойств').
Согласно (35.3) термодинамический потенциал й определяется статистической суммой и=-т~ '~:~д~. ""а и'рр,, (147.1) где интегрирование производится по всему фазовому пространству системы Х частиц. Если же распространить интегрирование лишь по той части фазового пространства, которая отвечает некоторому заданному распределению параметра порядка р1(г), то определяемый формулой (147.1) функционал 11[у1(г)] можно рассматривать как потенциал, отвечающий этому распределению. Непрерывное распределение у1(г) удобно при этом заменить дискретным набором комплексных переменных у1к = ц~к + гу1~к,' компонент фурье-разложения (146.7) .
Тогда определение бру[у11 запишется в виде й[у1(г)) = — Т1п~~ ер 7 х р(-и а и) Нр~р„-и'„(рднлр(р'„'-и'„'[рр;илрг, (147.2) где у1к(р, д; Х) -- величины у1к как функции точки р, с7 фазового пространства. Очевидно, .что при таком определении') И = — т1 ~ . р( — ~Р~) Д(РЭ,СЭрчг О4Р.Р) В предыдущем параграфе было показано, что аномальному возрастанию вблизи точки перехода подвержены только флуктуации с малыми волновыми векторами )с; именно этими флуктуациями определяется, следовательно, характер особенности ') Эта постановка задачи о фазовом переходе второго рода была сформулирована Л. Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
