V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Если же температура 4 < О, то разложение Ф(1, 6) при 6 — + 0 содержит все целые степени 6: 62 ФОО( — 1) [1+с1 ( +СЕ 2 ( +...], — (- )"" 1<0, 6 — +О (149.10) (с другими, конечно, коэффициентами с1, со) ') . легко проверить, что для параметра спонтанного (не зависящего от 6) порядка получается требуемый закон ( — 4)Р. 0 преобразовании корреляционного радиуса шла речь выше. Осталось рассмотреть корреляционную функцию флуктуаций пара, метра т) при 1 — 4 0 и потребовать масгптабной ипвариантности выражения С,(2) = сопв1 2 ~" з" с) (г = 0). При этом следует считать, что флуктуирующие величины Г)(г) в разных точках пространства преобразуются независимо таким жс образом, как и среднее значение 9') .
Тогда корреляционная ) Если (149.10) относится, скажем, к полям 6. > О, то формула для 6 < О получается из нее заменой 6 ч — 6. Напомним (см. з 144), что при 1 < О состояния в полях различного знака относятся к физически тождественным «фазамсч отличающимся знаком параметра порядка (как спонтанного, так и индуцированного полем): при 6 — 2 О зти две фазы находятся в равновесии друг с другом. )При атом су2цественпо,что речь идет о расстояниях Г,хотя и малых по сравнению с корреляционным радиусом, но все же больших по сравнению с мсжатомными расстояниями. ос61 ИЗОЛИРОВАННЫЕ И КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ фуНКцИя ПрЕОбраЗуЕтСя КаК С -Э Сиз~'г, И МЫ ПОЛУЧИМ УСЛОВИЕ д+ 2 — 2гг7г = с.
(149.11) И это равенство является следствием уже известных. Остановимся в заключение на чис юных значениях критических показателей. Экспериментальные данные и резульгаты численных расчетов свидетельствуют о том, что (в трехмерном случае) индексы а и г, довольно малы: сг Ог1, г', 0,05. В первой строке приведенной схемы даны значения остальных индексов., О Д у 5 е и Р 0 1г3 4гз 5 0 2гг5 2ггз 0 и = 1 0,110 0,325 1,240 4,82 0,070 0,402 0,630 0,031 (149.12) и = 2 — 0,07 0,346 1,315 4,80 — 0,004 0,403 0,669 0,033 и = 3 — 0,115 0,364 1,387 4,80 — 0,066 0,403 0,705 0,033 получающиеся, если положить а = г', = 0 (о = 3).
В остальных строках приведены значения, получающиеся если принять для о и г,' их оценку по упомянутому в 3 147 методу Вильсона для различного числа п компонент параметра порядка'). (Считая, что эффективный гамильтониан зависит только от суммы квадратов компонент г12 = г1~ + 022 +...). 9 150. Изолированные и критические точки непрерывного перехода Разделяя фазы разной симметрии, кривая (на диаграмме Р, Т) фазовых переходов второго рода не может, конечно, просто окончиться в некоторой точке.
Она может, однако, перейти в кривую фазовых переходов первого рода. Точку, в которой одна кривая пе- Р реходит в другую, можно назвать критической точкой переходоо второго родо: она в известном смысле аналогична обычной критической точке (точка К на рис. 66, на этом и следующих рисунках в этом параграфе сплошные и штриховые линии изображают кривые точек фазовых переходов соответственно пер- Т ного и второго родов)').
В рамках теории Ландау свойства вещества вблизи такой точки могут быть исследованы тем же ) Значения индексов О и С, взяты из работы Ье Сиг11ои,1. С., Ягппзпгггп,йОР1гув. Вет: —. 1980."-У. В21.-"Р. 3976. ) В литературе такую точку нвзывюот также трпкрптичеекоей 562 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ.
ХГ2' развитым в 2143 методом разложения по степеням параметра порядка 1Л. Д. Ландау, 1935). В разложении 1143.3) критическая точка определяется обращением в нуль обоих коэффициентов А(Р, Т) и В1,Р, Т) (до тех пор, пока = О, В > О, мы имеем дело с переходом второго рода, так что кривая этих переходов заканчивается лишь там, где В изменит знак).
Для устойчивости состояния тела в самой критической точке необходимо тождественное исчезновение члена пятого порядка и положительность члена шестого порядка. Таким образом, исходим из разложения Ф(Р, Т, д) = Фо(Р,Т)+АКР, Т)Г12+В1Р, Т)Т1~+Р(Р, Т)21ЕВ (150.1) причем в критической точке А,р — — О, В.р —— О, Р р > О. В несимметричной фазе ми|лимизация термодинамического потенциала дает В' = (ВР)-' (-В 2- 222 — ВВП).
(222.2) Для энтропии Я = — дФ1дТ этой фазы имеем, опуская члены высших степеней по Гр Я = Ял — а212, где а = дА1дТ. Дифференцируя еще раз, находим теплоемкость 2 В' — ВВР где выписан лишь член, в котором знаменатель обращается в критической точке в нуль. Введем температуру То = То(Р), для которой Вя — ЗАР = 0; очевидно, что при Р = Р„р, То совпадает с Т„р.
Первый член разложения  — ЗАР по степеням Т вЂ” То. 2  — ЗАР = — ЗаоРо1Т вЂ” То). 1150.4) Вблизи критической точки разность ТР1Р) — То1Р) является малой величиной второго порядка; действительно, при Т = ТДР) имеем А = О, и потому разность 212 Т,1Р) — То1 ) =— 1150.5) З Рлэк' т. е. стремится при Р -л Р р к нулю как В2.
Подставив 1150.4) в 1150.3), находим ф— р=( ') 2 1/2 1222 I кр ГТо — Т 1150.6) 1с той же точностью коэффициент в этой формуле может быть взят при Т„вместо То). Таким образом, теплоемкость несимметричной Члазы возрастает при приближении к критической тОчкЕ как 1ТΠ— Т)112. 503 2 250 ИЗОЛИРОВАННЫК И КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ Для состояний на самой кривой переходов второго рода, полагая в (150.3) А = 0 (или подставляя (150.5) в (150.6)), получим Т 2 С(п)— (150. 7) 2В откуда в 2Р' а подстановка этого значения снова в уравнение Ф(й) 4АР = В2. (150.8) = Фо дает (150.9) Это уравнение линии переходов первого рода.
Тсплоемкость несимметричной фазы на этой линии получа- ется просто подстановкой (150.9) в (150.3): Т а С(0 = (150.10) ~в~ Сравнение с (150.7) показывает, что теплоемкость на линии пе- реходов первого рода вдвое больше теплоемкости на линии пе- реходов второго рода при том же расстоянии от критической точки. Теплота перехода из несимметричной в симметричную фазу, ВТ д = Т„(Я~ — Я) = ( — ) (В1 (150.11) Покажем еще, что кривая переходов первого рода смыкается в критической точке с кривой переходов второго рода без излома. На первой кривой производная г2Т7г1Р определяется условием 2В дА + 2А йГ) — В с В = О, получающимся дифференцированием уравнения (150.9).
Урав- нение же кривой переходов второго рода; А = О, так что 21Т(йР определяется условием дА = О. Но в критической точке А = О, В = 0 и оба условия совпадают, так что г1Т(с1Р не имеет скачка. Обращаясь в нуль в критической точке, в ее окрестности величина В пропорциональна Т вЂ” Ткр (или Р— Ркр). Определим теперь теплоемкость несимметричной фазы на линии переходов первого рода, но снова вблизи критической точки.
В точках атой линии находятся в равновесии друг с другои2 две различные фазы- симметричная и несимметричная. Значение параметра 22 во второй из них определяется условием равновесия Ф(21) = Фе, причем одновременно должно быть ВФ/д21 = О. 11одстановка Ф из (150.1) приводит к уравнениям А+ Вй~+Вй~ = О, А+2Вй~+ 3Р0~ = О, 564 РАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. ХГ~' Аналогичным образом можно убедиться в том, что вторая производная Г1ЯТ(Г1РЯ испытывает скачок. При приближении к критической точке вдоль линии Р = Р,Р теплоемкость Ср меняется, согласно (150.6), по закону ~1~ т.е. индекс о = 1/2.
(Такой же предельный закон справедлив и при приближении вдоль всех других радиальных направлений в плоскости РТ, за исключением направления самой линии переходов второго рода линии А = 0; роль 1 играет при этом расстояние до точки К.) Параметр порядка в несимметричной фазе меняется по закону й — ( — А/ЗВ)1~4 оо фГ74, т.е. индекс р = 1/4. Индекс м, определяющий поведение корреляционного радиуса, имеет то же значение, и = 1/2, что и для всех точек перехода второго рода в теории Ландау. В том приближении, в котором выведена формула (146.8), обращение В в нуль не отражается на результате. Для остальных индексов из (148.13) — (148.17) получаются значения у = 1, д = 5, е = д = 2/5, ~ = О. Мы знаем уже, что теория Ландау, на которой основаны изложенные здесь выводы, неприменима вблизи линии переходов второго рода.
Интересно, однако, что условия применимости этой теории улучшаются по мере приближения к критической точке,что видно уже из неравенства (146.15), в правую часть которого входит как раз В. Разумеется, обращение В в нуль не означает, что флуктуационпые поправки отсутствуют в критической точке вовсе. Но указанные выше значения индексов уже удовлетворяют соотношению масштабной инвариантности (149.2). Естественно поэтому, что результаты флуктуационной теории отличаются от резулыатов теории Ландау лишь степенями логарифма расстояния до критической точки. Напомним, что логарифмические множители не улавливаются значениями индексов. Далее остановимся (снова в рамках теории Ландау) па некоторых свойствах точек пересечения линий фазовых переходов первого и второго рода. Симметрия несимметричной фазы при фазовом переходе второго рода определяется (как было показано в 8145) минимизацией членов четвертого порядка в разложении Ф как функций коэффициентов у, = Г1Г/Гр Но эти члены зависят также и от Р и Т, и поэтому может оказаться, что на разных участках линии переходов несимметричная фаза имеет различную симметрию.
В простейшем случае такого рода мы имеем дело с пересечением линии переходов второго рода (кривая АС на рис. 67) с линией переходов первого рода (линия В0). Область 1 симметричная фаза, а группы симметрии фаз П и П1 подгруппы группы симметрии фазы 1. Они, однако, вообще говоря, не являГотся 565 ИЗОЛИРОВАННЫЕ И КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ подгруппами друг друга, и потому разделяющая эти фазы кривая В1А' линия переходов первого рода. В точке В все три фазы тождественны') . л 1 l и и и ! l и т и 11 Ъ Ъ 1М а П1 ) Флуктуационные поправки могут, вероятно, привести к возникновению в точке В особенности — угловой точки линии АВ и СВ. а) Точку пересечения типа рис.
67 называют в литературе бикригаическай, а типа рис. 68 - гаетракритическай В случае, если одна нз несимметрнчных фаз является несоизмеримой, бикритическую точку называют гаечкой Лифшица. 1СИ. задачу к этому параграфу.) -- Примеч. ред. ) Смз Ландау Л.ДЛ/ЖЭТФ.— 1937.— Т. 7.— С. 19 1Собрание трудов.— Т.
1, статья 28.— Ъ!.: Наука, 1969.) Рис. 67 Рис. 68 На рис. 68 показан возможный тип пересечения нескольких линий переходов второго рода. Если 1 наиболее симметричная фаза, то группы симметрии фаз П и П1 являются подгруппами группы симметрии фазы 1, группа же симметрии фазы 1уг подгруппа одновременно групп симметрии фаз П и П1') . Наконец, осталось рассмотреть случай, когда члены третьего порядка в разложении термодинамического потенциала не обращаются в нуль тождественно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
