V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Действительно, при гаком подсчете все лишние члены суммы автоматически выпадают. Так, три графика рис. 72 войдут соответственно со знаком +, +, —, так что два из них взаимно сократятся и останется, как и следовало, всего однократный вклад р а р Нп~ в б в Рис. 73 Рис. 72 в сумму.
В новой сумме будут фигурировать также графики с «повторяющимися связями э, простейший пример которых изображен на рис. 73 а. Эти графики относятся к числу недопустимых (в некоторых узлах сходится нечетное число связей три), но, как и следовало, из суммы они фактически выпадают: при построении соответствующих такому графику петель каждая общая связь может быть пройдена двумя способами без пересечения (как на рис.
73 б) или с самопересечением (рис. 73 а), 572 ОАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. ХГ~' и Я приводится к виду Я = ехр( —,у ю 1Г) (151.6) à — — ! Па этом заканчивается первый этап вычисления. Для дальнейшего удобно связать с каждым узлом решетки четыре возможных направления выхода из нее, перенумеровав их специальным индексом и = 1,2,3,4, скажем по правилу 2 7 3+- ° — > 1 4 ~ = ехр~ —,~, ~~~, — Ит ()со )о Рв)~ (1516) Г=1 йе,1е,ие ) Фактически РГ', (15 1, ~. ) зависят, конечно,,вишь, от разностей А — ко, 1 — 1а.
е) В изложенном выводе формулы (151.8) имеется существенный пробел. Дело в том, что произведенный подсчет числа петель в сумме И51.6) справедлив яе для любых петель. (например, пара из двух тождественных петель входит в сумму пс два, а один раз.) Аналогично, нс для всех пЕтель справедливо утверждение, что каждая входит 2Г раз в (151.7).
Возникающие «ююмальные» члены сокращаются, однако, в окончательном выражении (151.8). Полное доказательство смз БЬеттап Я.ОЛоитп. 51а11Е РЬуз.-" 1962.— Ъ'. 1. Р. 202; Р. 1213. — Примеч. ред. Введем вспомогательную величину ИГГ1к, 1, м) -- сумму по всем возможным переходам с длиной г из некоторого заданного исходного узла йо, )о, мо в узел й, 1, и (каждая связь входит, как везде, с множителем е'Р72, где ~р изменение направления при переходе к следующей связи); при этом последний шаг, приводящий в узел Й, 1, м, не должен происходить со стороны, в которую направлена стрелка и') .
При таком определении ИГГ1АО,)е,ме) есть сумма по всем петлям, выходящим из точки )со, 16 в направлении мо и возвращаюзцимся в эту же точку. Очевидно, что У„= —,' ~ И,(й„4, .). (151.7) Ье1еио Действительно, справа и слева стоит сумма по всем одиночным петлям, но в ~ Ит„каждая петля входит 2Г раз, поскольку она может проходиться в двух противоположных направлениях и относиться к каждому из своих Г узлов в качестве исходного е) . Подставляя (151.7) в (151.6), находим ФАЭОВыЙ пеРехОд В двумеРВОЙ Решетке з пп Из определения И'Р(е,1, и) вытекают следующие рекуррентные соотношения; Иг »1(к 1 1) = %Р('к — 1, ), 1) + е 4 ИА (й, 1 — 1, 2) + О+ + е 4 Иг,(е.,1+ 1,4), И'„А1(е,1,2) = е А ИА„(к — 1,1, 1) + И'„(й,1 — 1,2)+ +е 4ИРР(к+1 13)+О (1519) И'Р ~. ~ (й, 1, 3) = 0 + е 4 И;.
(к, 1 — 1, 2) + Игг (й + 1, 1, 3) + + е А И'„(й.,1+ 1,4), И'„Ф1(й,1,4) =е 4 И'„(й — 1,1,1)+О+ »Е + е 4 Иг„(й+ 1,1,3) + И;(Й,1+ 1,4). Способ составления этих соотношений очевиден; так, в точку. е, 1, 1 можно попасть, сделав последний (г + 1)-й шаг слева, снизу или сверху, по не справа; коэффициенты при И'Р возникают от множителей е'"~З.
Обозначим через Л матрицу коэффициентов системы уравнений (151.9) (со всеми Й, 1), написанных в виде И'„Ф1(й,1, и) = ~ Л(Ыи~И,'1'и')Ь7 ф,1', и'). Й'д,и' Способ составления этих уравнений позволяет сопоставить этой матрице наглядный образ точки, «блуждающей» шаг за шагом по ре|петке с «вероятностью перехода» за один шаг из одного узла в другой, равной соответствующему элементу матрицы Л; фактически ее элементы отличны от нуля лишь для изменения е или 1 на 0 или ш1, т.
е. за каждый шаг точка проходит лишь одну. связь. Очевидно, что «вероятность перехода» длины г будет определяться матрицей Л'. В частности, диагональные компоненты этой матрицы дают «вероятность» возвращения точки в исходный узел после прохождения петли длины г, т.
е. совпадают с И' (1Рш1о, Ро) Поэтому БрЛ' = ~ И'РЯь1о, Ра). »О~ВРа 574 'РАЗОВЫР ПРВРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. ХГ~' Сравнивая с (151.7), находим У, = — '8рЛ" = — ''>'Л;, 2г 2Г г Где Л, собственные зна тенин матрицы Л. Подставив это выражение в (151.8) и меняя порядок суммирования по г и по Г, получим Я = ехр( — — ~~> ~~» -т"Л,") = ехр~- ~~ 1п(1 — хЛ,)~ = Г=1 1 = П „/1 — хЛ,.
(151.10) Матрица Л легко диагонвлизуется относительно индексов А, 1 путем перехода к другому представлению с помощью преобразования Фурье: ИГГ(р,д,и) = 2 ехр[ — — (рй+д1)1ИГГ(Й,1,м). ьц=о После перехода в обеих частях уравнений (151.9) к компонентам Фурье каждое из них будет содержать И'„(р, д, и) лишь с одина- ковыми индексами р, о, т. е. матрица Л диагональна по р, д. Для заданных р, д ее элементы равны Л(рци~рди~) = где ГА/4 2Хг,Ч Для заданных р, д простое вычисление дает П(1 — яЛ,) = Пе1(6 — лЛ, ) = г=! = (1+ т ) — 2х(1 — л ) (сов — + сов — ). 2 2 2 / 2хр 2ПЧЛ Ь 1)' е Р ГТЕ " О Гт 'ег СГ'ЕЧ е — ц нв ч О О а 1ГР св о~в ОЕ~ О о еч 575 ФА3ОВыЙ пеРехОд В дВумеРБОЙ Решетке е 1В1 Отсюда, согласно (151.3) и (151.10), находим окончательно ста- тистическую сумму; ю = 2м(1 — х2) ~ х ь х П ~(1 + х ) — 2х(1 — х ) (сов — Р + сов — ~)] .
(151.11) Термодинамический потенциал '): Ф = — Т1пю = — 1згТ1п2+ ХТ1п(1 — х2)— — — Т у 1п~(1+ х ) — 2х(1 — х )(сов — + сов — )~ 2 ! 2яр 2ЕЕ1 2 б б) рл=о или, переходя от суммирования к интегрированию Ф = — йгТ1п2+ !"г!Т!п(1 — х2)— 2я — ! ! 1п((1+ х ) — 2х(1 — х )(совы! + совсо2))с1ш1с)со2 жт 2 2, 2 2(2я)~ Д (151.12) (напомним, что х = 1Ь ( 1! Т) ) . Обратимся к исследованию этого выражения.
Функция Ф(Т) имеет особую точку при том значении х, при котором аргумент логарифма под знаком интеграла может обратиться в нуль. Как функция от ш1, шй этот аргумент минимален при совы! = = сов ш2 = 1, когда он равен (1+ хй)г 4х(1 — х2) = (ха+ 2х — 1)2. Это выражение имеет минимум, в котором оно обращается в нуль лишь при одном (поло>кительном) значении х = хс = ьу2 — 1; ,! соответствУюЩаЯ темпеРатУРа Тс (111 — = хе!1 и ЯвлЯетсЯ точкой т, ') фазового перехода. Разложение Ф(2) по степеням ! = Т вЂ” Т, вблизи точки перехода содержит наряду с регулярной частью также и особый член. Нас интересует здесь лишь последний (регулярную же часть заменим просто ее значением при 1 = О). Для выяснения его вида ') В расслгатриваемой модели температура влияет только на упорядоченность ориентации диполей, но не на расстояния между ними («коэффициент теплового расширенияь решетки равен нулю).
В таком случае безразлично, говорить ли о свободной энергии или о терлгодинамическом потенциале. ЕАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. Х!' (151.14) (Л. ОГ>аайет, 1947). Корреляционная функция определяется как среднее значение произведения флуктуаций дипольного момента в двух узлах решетки. Корреляционный радиус оказывается стрем>пцимся к бесконечности при Т вЂ” у Тс по закону 1/[Т вЂ” Тс[, а в самой точке Т = Тс корреляционная функция убывает с расстоянием по закону (д,омд>гвсв) СЮ [[Ь вЂ” т)2+ (1 — ПЯ Эти результать>, а также результаты реп>ения задачи о свойствах той же модели во внешнем поле показывагот, что ее поведение вблизи точки фазового перехода удовлетворяет требованиям гипотезы о масштабной инвариантности.
При этом критические индексы имеют следующие значения: ст=О, >8=1/8, 7=7/4, 5=15, с=О, ,и = 8/15, и = 1, >, = 1/4 (151.16) (индекс >, определен согласно (148.7) с >1 = 2) ') . ) напомним [сы. с. 552), что в терминах критических индексов логарифмическому возрастанию отвечает нулевой показатель. р азлагаем аргумент логарифма в (151.12) вблизи его минимума по степеням о», о>2 и 1, после чего интеграл принимает вид 2к 1п [с>Ь + с2(о>> + о>2)> >го>> >г>А>2, о где с>, с2 . постоянные. Произведя интегрирование, найдем окончательно, что вблизи точки перехода термодинамический потенциал имеет вид Ф вЂ” а+ -Ь(Т вЂ” Тс)2 1П~[Т вЂ” Тс[,.
(151.13) 2 где а, Ь снова постоянные [причех> Ь ) О). Сам потенциал непрерывен в точке перехода, а теплоемкость обращается в бес- конечность по закону С = — ЬТВЫп~т — Тс[, симметричному по обе стороны точки перехода. Роль параметра порядка й в рассмотренной модели играет средний дипольный момент в узле (спонтанная поляризация ре- шетки), отличный от пу.ля ниже точки перехода и равный нулю выше ее.
Температурная зависимость этой величины тоже мо- жет быть определена; вблизи точки перехода параметр порядка стремится к нулю по закону >) = сопв$ (Тс — Т) 7 (151.15) ВАН-ДКР-ВААЛЬООВА ТБОРИЯ КРИТИЧВОКОЙ ТОЧКИ 577 1 152 й 152. Ван-дер-ваальсова теория критической точки В ~83 уже было отмечено, по критическая точка фазовых переходов между жидкостью и газом является особой точкой для термодинамических функций вещества.
Физическая природа этой особенности подобна природе особенности в точках фазового перехода второго рода: подобно тому, как в последнем случае опа связана с возрастанием флуктуаций параметра порядка, так при приближении к критической точке возрастают флуктуации плотности вещества. Эта аналогия в физической природе приводит также и к определенной аналогии в возможном математическом описании обоих явлений, о чем будет идти речь в следующем параграфе. Предварительно, однако, в кауестве необходимой предпосылки рассмотрим описание критических явлений, основанное на пренебрежении флуктуациями. В такой теории (аналогичной приближению Ландау в теории фазовых переходов второго рода) термодинамические величины вещества 1как функции переменных И и 7') предполагаются не имеющими особенности, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
