V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Обращение СР— — Т(дБ(ВТ)р в бесконечность означает, что энтропия тела может быть представлена в виде В = В1Т, Р— Р,1Т)) (где Р = РГ1Т) --. уравнение кривой точек фазового перехода в плоскости РТ), причем производная этой функции по ее второму аргументу стремится при Р— Р, — Р 0 к бесконечности. Обозначив дифференцирование по этому аргументу штрихом и оставляя только расходящиеся члены, имеем откуда Ср = ТГ.—,( —,) при Т вЂ” Р ТГ (148 1) 37 дт и т.е. коэффициент теплового расширения обращается в бесконечность по тому же закону, что и С„. Как .легко заметить, произведенный вывод состоит в приравнивании нулю расходящейся части производной от Я вдоль кривой точек перехода.
Естественно поэтому, что формула 1148.1) совпадает по форме с равенством 1143.10) (полученным путем дифференцирования вдоль той же кривой равенства ЬЯ = О), отличаясь от него лишь отсутствием знака Ь. Поэтому еще одно соотношение можно сразу написать по аналогии с 1143.9): т.е, изотермическая сжимаемость тоже обращается в бесконечность 1адиабатическая же сжимаемость в силу 11б.14) остается конечной).
Что касается теплоемкости С„то она остается конечной, причем из (143.14) видно, что в точке перехода г51 критические индексы она не имеет также и скачка; поскольку правая часть равенства (143.14) равна нулю ввиду бесконечности (дЪ'(дР)т, то и ьтС = 0') . То же самое относится и к производной (дР(дТ)~<, причем подстановка (148.2) в (1б.10) показывает, что на линии ГдРК г1Р, (148.3) ( ОТ)1г нт ' Подчеркнем, что изложенные результаты существенно связаны с тем, что точки фазового перехода второго рода заполняют целую линию на плоскости РТ (причем наклон этой линии конечен). Представим температурную зависимость теплоемкости во флуктуационной области в виде Ср сю (Х! (148.4) (где снова 4 = Т вЂ” Т,). Мы увидим ниже в этом параграфе, что существуют основания считать значения показателя сг одинаковыми по обе стороны точки перехода (и то же самое относится к другим введенным ниже показателям).
Коэффициенты же пропорциональности в законе (148.4) с двух сторон, конечно, различны. Поскольку количество тепла ) Ср пТ во всяком случае должно быть конечным, то заведомо о < 1. Если стремится к бесконечности не сама теплоемкосттч а лишь дСр/дТ, то — 1 < сг < 0: выражение (148.4) определяет тогда лишь сингулярную часть теплоемкости: Ср = Сро + Ср1|4 Закон стремления к нулю равновесного значения параметра порядка в несимметричной фазе запишем как г1 оо ( — 4)Р, Д > О. (148.5) По самому своему определению показатель Д относится только к несимметричной фазе ') . Для описания же свойств самих флуктуаций параметра о вводятся показатель и, определяющий температурную зависимость корреляционного радиуса: (148.6) гс сю (г(, и > О ') Невозможность обращения С„в бесконечность на линии перехода очевидна из того, что зто привело бы к равенству С„= Т(г1Р;(йТ)~(дР(дЪ')т (ср.
(143.14)), заведомо невозмогкному ввиду положительности С„и отрицательности (дР/д1г)т Теплоемкость Се имеет, однако, бесконечную производную на линии перехода (см. задачу). ) Для определенности будем считать здесь и везде ниже, что несимметричной фазо отвечают температуры 1 < О. 552 'РАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. ХГ~' хжИГТ, 7>0 (148.8) К этой же области можно отнести и введенные выше индексы: законы (148.4) (148.б), определенные для нулевого поля, относятся, конечно, и к пределы7ому случаю слабых полей.
Для обратного же случая сильных полей введем критические индексы, определяющие зависимость термодинамических величин и корреляционного радиуса от поля: с'Р ОО 6 7/ Оо 6'/б (б > О), 7, Оо /7 " (/Л > О) (148.9) (148.10) (148. 11) (для определенности полагаем, что 6 > О) ') . Универсальность предельных законов поведения вещества во флуктуационной области вблизи точки фазового перехода ) Теории Ландау отвечают с77едуюнтне значения критических индексов: О = О, /7 = 1/2, б = 3, е = О, 77 = 1/3, и = 1/2, ч = О.
и показатель ~, определяющий закон убывания корреляционной функции с расстоянием при 1 = 0; С(7') оо г (148.7) где 7/ . размерность пространства (71 = 3 для обычных тел). Запись (148.7) в таком виде имеет целью дать определение, удобное также и для фазовых переходов второго рода в двумерных системах (с/ = 2). Закон (148.7) относится и к отличным от нуля ЗНаЧЕНИЯМ ~1~ << Тс, НО ЛИШЬ ДЛЯ РаССтОЯНИй Г << Ге, Показатели степеней в законах (148.4) (148.7) называют крптическпми 77ндектвмсь Следует подчеркнуть, что степень точности, с которой связан дальнейший вывод соотношений между критическими индексами, не позволил бы различать логарифмические множители на фоне степенных. В этом смысле, например, нулевой показатель может отвечать как стремлению величины к постоянному пределу, так и к ее логарифмическому возрастанию.
Еще ряд индексов вводится для описания свойств тела во флуктуационной области при наличии внешнего поля 6. При этом следует различать области полей, являющихся «слабыми» или «сильнымиа в смысле, указанном в конце 3 144: 6 « /77 или 6 » 6м где /77 - значение поля, при котором индуцированпый полем параметр 71„„д,~6 становится того же порядка, что и характерная величина параметра спонтанного порядка 7/с7,(Г). К области слабых полей относится индекс 7, определяющий закон изменения восприимчивости: КРИТИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ второго рода в том смысле, о котором шла речь в предыдущем параграфе, означает такую же универсальность критических индексов.
Так, следует ожидать, что их значения одинаковы для всех переходов с изменением симметрии, описывающимся всего одним параметром порядка. Критические индексы связаны друг с другом рядом точных соотношений. Часть из них является почти прямылс следствием определений различных индексов; с вывода этих соотношений мы и начнем. В з 144 было указано, что включение внешнего поля 6 размывает фазовый переход но некоторому температурному интервалу. Величину этого интервала 1 можно оценить по упомянутому выше условию циид(6) оси(1), понимая его теперь как условие для 1 ссри заданном 6. Согласно определениям (148.5) и (148.8) имеем ~,и - ~~~~, ~ид = Х6.- 6М-, и приравпивапие обеих величин дает ~1(СсР' сс 6. (148.12) С другой стороны, тот же интервал размытия можно оценить из требования, чтобы полевая часть термодинамического потенциала ( — Ъ ц6) совпадала яо порядку величины с тепловым членом; последний: 1ЯСр., поскольку Ср — — — ТЭ~Ф(ВТ~.
Отсюда находим: ~1~2 '" Р оо 6, и, выразив 6 через 1 из (148.12), приходим к о+2В+ у=2 (148.13) (Х И', Еееат, М. Е. Разбег, 1963). Далее воспользуемся очевидным обстоятельством, что на краю области размытости перехода (т.е. при условии (148.12)) можно с равным правом выражать каждую термодинамическую величину через температуру 1 или через поле 6.
Поэтому, например, имеем здесь ~1~0 1 1/б а выразив 6 через 8 с помощью (148,12), находим равенство ца = Ф+7 (148. 14) (В. ИИосп, 1964). Таким же способом, исходя из двух представлений теплоемкости С, найдем е(13+ у) = о. (148 15) Равенства (148.14), (148.15) связывают друг с другом индексы, определяющие температурную зависимость термодинамических величин в слабых полях и их зависимость от 6, в сильных полях. 554 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. ХГС Аналогичное равенство получается тем же способом для индексов, определяющих поведение корреляционного радиуса'): 11)3+7) = (148.16) Наконец, еще одно соотношение можно получить путем оценки выражений, стоящих в обеих сторонах формулы (14б.13).
Согласно (14б.2) и определению (148.8) средний квадрат флуктуации в заданном объеме 1Г: ((ьГ)) )г = — схэ )х) Интеграл же от корреляционной функции определяется областью пространства г~, в которой эта функция существенно отлична от нуля и согласно определению (148.7), ее порядок ве— (4 — 2-РС) личины сю Гс ~ . Поэтому величина интеграла (в д-мерном пространстве) „е, „-(4-т-к) „д-с ~1~- (г-О с с Сравнение обоих выражений приводит к равенству '12 — 0 =7. (148.17) 'Таким образом, мы получили пять соотношений, связывающих между собой восемь индексов. Эти соотношения позволяют, следовательно, выразить все индексы всего через три независимых.
Отсюда можно, в частности, сделать указывавшееся уже заключение об одинаковости значений «температурных» индексов ГГ, 7, и по обе стороны точки перехода. Действительно, если бы, например, 7 было различным для 1 ) 0 и й ( О, то из (148.14) следовало бы, что и индекс б зависит от знака Х. Между тем этот индекс относится к сильным полям 6, удовлетворяющим лишь условию 6» 6п не зависящему от знака 1, а потому и сам не может зависеть от этого знака (то же самое относится и к двум другим «полевым» индексам е и сс).
Из соотношений (148.13) и (148.1б) следует затем независимость от знака 1 также и индексов ст и и. Полученные результаты позволяют сделать некоторые заклю гения о термодинамических функциях системы при произвольном соотношении между 1 и 6. Продемонстрируем это на ') Отметим, что из П48Л4) П48.1б) очевидным образом следуют равенства дее= о, /Зол=и, ем=ад. кгитические индексы 555 примере функции 0(~, 6). Представим эту функцию в виде 0=6П ~( .~..1) (при заданном Р). Выбор первого аргумента функции |" диктуется условием (148.12), разделяющим случаи слабых и сильных полей (причем, согласно (148.14), заменено 18+.у = 185); этот аргумент пробегает все значения от малых до больших.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
