V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 105
Текст из файла (страница 105)
536 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. ХГ« атомов А и В: 8А(0 0 0), (1/4 1/4 1/4), (1/4 3/4 3/4; О), (О 1,12 1/2; Гз), 8В(1/2 1/2 1/2), (3,14 314 3/4), (114 1/4 3/4; О), (0 0 1/2;О) (рнс. 656). «1) Этим векторам 1с соответствуют следующие функции с требуемой симметрией Озь: у1 = сое я(р — е), Ря = сое к(У + е), Из них можно составить один инвариант третьего порядка и четыре инварианта четвертого порядка, так что разложение (145.6) принимает вид Ф = Фо+49 + ~О (У17Е7Е+ЗЕЗЕЗВ+ ~1З«уе+7з7«й)+В10 + +В~„4( 4+ «+ 4+ 4+ 4+ ~4)+ВЕ„Е( г зз+ ~з з+ з р+ + В«0 Ь1 ~г узу4+ ву4-~е е+ ~Лг уе'уе).
Ввиду наличия кубических членов фазовый переход второго рода в этом случае невозможен. Для исследования возможности существования и свойств изолированных точек непрерывного перехода (см. 3150) надо было бы исследовать поведение функции Ф вблизи ее минимума: мы не станем останавливаться здесь на этом.
На данном примере мы видим, насколько жесткие ограничения накладывает термодинамическая теория на возможность фазовых переходов второго рода; так, в данном случае они могут осуществляться с образованием сверхструктур трех типов. Обратим внимание также и на следующее обстоятельство. В случае с) (при Вз < 0) фактическое изменение функции плотности бр = Г1р1 отвечает только одному из двух фигурирующих в термодинамическом потенциале (145.16) параметров ум уя.
Этим демонстрируется важная черта изложенной теории; при рассмотрении какого-либо конкретного изменения решетки при филовом переходе второго рода, может оказаться необходимым учитывать также и другие, «виртуально возможныеа изменения. До сих пор мы рассматривали переход второго рода в структуру с вектором 1«, лежащим в некоторой симметричной точке обратной решетки с рациональными индексами.
Несимметричная фаза будет тогда строго периодической,как и симметричная. Другая ситуация имеет место при переходе в несоизмеримые фазы, о которых упоминалось в конце 3133. В этом случае 1с 537 ФЛУКТУАПИИ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА не соответствует определенной симметричной точке в обратной решетке. Этот вектор может занимать общее положение на некоторой оси симметрии, плоскости симметрии или общее положение в пространстве. Для таких переходов требование отсутствия линейных по производным ипвариантов может быть ослаблено. Предположим, что 1« лежггт на некоторой оси симметрии.
Тогда в задаче имеется дополнительный свободный параметр-- компонента ае вектора 1« вдоль этой оси. Переход второго рода в такое состояние возможен, если симметрия допускает существование на этой оси не более чем одного инварианта из величин (145.9). Действительно, этот инвариант будет входить в разложение Ф с некоторым коэффициентом и.
Условие обращения я в нуль (д(Р, Т, й ) = 0) определяет значение к . Отметим, что это значение зависит от температуры и давления. Аналогично, переход в фазу с 1« на плоскости симметрии возможен, если на ней существует нс более двух рассматриваемых инвариантов, а переход в общую точку в пространстве если их не более трех') . Нередко приводящие к несоизмеримости члены в термодинамическом потенциале оказываются малыми. В этих спу.чаях несоизмеримость проявляется как длинноволповая «модуляция» основной структуры. Примером может служить «геликоидальнаяа магнитная структура, которая рассматривается в т.
УП1. й 146. Флуктуации параметра порядка Уже неоднократно указывалось, что точка фазового перехода второго рода является в действителыюсти особой точкой для термодинамических функций тела. Физическая природа этой особенности состоит в аномальном возрастании флуктуаций параметра порядка, в свою очередь связанном с уже упоминавшейся пологостью минимума термодинамического потенциала вблизи точки перехода. Легко найти закон этого возрастания (в рамках рассматриваемой теории Ландау). При этом будем считать, что измсненио симметрии при переходе описывается однокомпонентным параметром порядка г). Минимальная работа, требуемая для вывода системы из равновесия при заданных постоянных значениях давления и ') Уже упоминалось, что для к вдоль оси симметрии всегда можно построить по крайней мере один инвариант из величин П45.9). Можно показать, что на плоскости их не меньше двух.
В общей точке пространства всегда имеется три инварианта. Симметрия не накладывает в этом случае ограничений на переход. 538 'РАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. ХГР температуры, равна изменению А Ф„ее термодинамического потенциала'). Поэтому вероятность флуктуации при постоянш Оо ехр( — ЬФВ,1Т). (146.1) Будем обозна гать в этом параграфе равновесное значение параметра г) как г). При малом отклонении от равновесия -1ФЕ = (г) — г)) ( з ) С помощью (144.6) выразим производную дзфп/дг)2 через восприимчивость вещества н слабом поле согласно определению (144.7).
Тогда вероятность флуктуации (при температурах вблизи точки перехода Тс) запишется в виде Отсюда средний квадрат флукту.ации 7еХ (146.2) Согласно (144.8) он возрастает при Т вЂ” э Тс как 1,1Г') . Для более глубокого выяснения характера и смысла этой расходимости, определим пространственную корреляционную функцию флуктуаций параметра порядка. При этом нас будут интересовать длинноволповые флукту.ации, в которых флуктуирующая величина медленно меняется вдоль объема тела; именно такие флуктуации, как мы увидим ниже, аномально возрастают вблизи точки перехода.
Для неоднородного тела (каковым оно является при учете неоднородных вдоль его объема флуктуаций) термодинамический потенциал тела должен был бы быть представлен в виде интеграла Фв = ( Ф ГЛ' от плотности потенциала функции координат точки в теле. Но при описании термодинамического состояния потенциалом Ф заданным является число частиц 7уг в теле, но не его объем (зависящий от Р и Т). Поэтому целесообразно перейти к описанию другим потенциалом, относящимся ') В этом параграфе термодинамический потенциал (Ф, а ниже й) для тела в целом отмечаем ицлексом «па, а буквы без индекса применяются для значений потенциалов, отнесенных к единице об ьема. ) Отметим, что выражсепзе (146.2) можно получить и прямо из флуктуационно-диссипационной теоремы. Для этого достаточно заметить, что если отождествить поле л с внешним воздействием 1 (с частотой м = О), фигурирующим в формулировке этой теоремы (З 124), то соответствующей величиной т будет ЬП \'„а обобщенной восприимчивостью п(0) — произведение Х 1'.
Формула (146.2) следует тогда из (124.14). ФЛУКТУАПИИ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА 539 к некоторому заданному выделенному в среде обьему $г (содержащему переменное число частиц Х). Таким потенциалом является Й„(Т,)т) функция температуры и химического потенциала )з (при заданном Ъ')) ролытеременной Р при этом принимает переменная с аналогичными свойствами - )т (как и Р, величина, остающаяся постоянной вдоль равновесной системы). Вблизи точки перехода зависящие от г) члены разложения функции Ф(Р,Т,Т)) (144.3) прсдставлясот собой малую добавку к Фо(Р,Т) (причем, после определения г путем минимизации, остающиеся члены одного порядка величины).
Согласно теореме о малых добавках можно поэтому сразу написать такое же разложение для потенциала Й()з, Т, г)): й(р, Т, !)) = Йо()т, Т) + ст1!)~ + )н)~ — !))э, (146. 3) с теми же коэффициентами, но лишь выраженными через другую переменную" )т вместо Т (потенциал й отнесен здесь к единице объел!а! так что коэффициенты в нем: ст = а/)г, 6 = В!!Г ') .
Разложение (146.3) относится к однородной среде. В неоднородном же теле оно содержит не только различные степени самой величины гй но и ее производных различных порядков по координатам. При этом для длинноволновых флуктуаций можно ограничиться в разложении лишь членами с производными наиболее низкого порядка (и наиболее низких степеней по ним).
Члены, линейные по производным первого порядка, т.е. члены вида Т'(г))дг)/с)х,! при интегрировании по объему преобразуются в интегралы по поверхности тела, представляющие собой не интересующий пас поверхностный эффект') . То же самое относится и к членам вида сопв$ д~г)г!дх;дхы Поэтому первые члены, которые должны быть учтены в разложении й по производным, это члены, пропорциональные д'и дн дч г), или— дх,дхс ' дх, дх! При этом первые из них при интегрировании по обьему сводятгя ко вторым. Окончательно находим, что написаннук! выпи' функцию Й надо дополнить членами вида Т) д!1 дч (146.4) дт, дх! ) При этом, однако, надо иметь н виду, что разложение коэффициента А ос должно производиться теперь по степеням разности 1 = Т вЂ” Т,(р), а не Т вЂ” Т,1Р); в этом смысле значение коэффициента о = а,!Р меняется.
з ) Члены первого порядка по первым производным отсутствуют е разложении !! также и а случаях, когда переход описывается несколькими параметрами порядка. В таких с)гучаях обоснование этого утверждения требует привлечения также и условий устойчивости тела а точке перехода Я 145). 540 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. ХГ~' (как всегда, по дважды повторяющимся векторным индексам подразумевается суммирование).
Мы ограничимся ниже простейшим случаем (отвечающим кубической симметрии при ц = О), когда Н1ь —— йб,в; уже в этом случае проявляются все характерные свойства корреляционной функции. Таким образом, напишем плотность термодинамического потенциала в виде й = йе+ сгбц~+ бц4+ ~( — "1 — т))ь (146.5) ',дг/ Очевидно, что для устойчивости однородного тела должно быть и ) 0; в противном случае йп не могло бы иметь минимума при ц = сопе1.
Рассматривая флуктуации при заданных )т и Т, надо писать их вероятность в виде и ОО ехР( — Ьй„)Т)., поскольку минимальная работа, требуемая в этих условиях для вывода системы из равновесия есть Лпяп = — 7дйп ') . Рассмотрим для определенности флуктуации в симметричной фазе (в отсутствие поля 1г); тогда ц = О, так что глц = ц.
Ограничиваясь членами второго порядка по флуктуациям, напишем изменение потенциала й„в виде') (146.6) Далее, поступим аналогично тому, как это делалось в 9 116. Разложим флуктуирующую величину глц(г) в ряд Фурье в обь- ЕМЕ Р': Ьц = ~1 1лцйе™, Ьт) 1, = Ьц~',. (146.7) Ее градиент — 11ЕЬцйе' '. дг При подстановке этих выражений в (146.6) интегрирование по объему обращает в нуль все члены,:за исключением лишь тех, ') Задание значения ц в выделенном объеме 1Г не мешает обмену частицами (как и энергией) между этим объемом и окружающей «средой». Поэтому можно рассматривать флуктуации ц при постоянном р (и Т): ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
