V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Матрицы преобразований функций, входящих в каждую из этих совокупностей|, представляют собой неприводимые представления группы Св, а сами эти функции являются базисом этих представлений. Таким образое|, можно написать: (14ОР 1) Р =,~' ~~' 9, гр; где п есть номер неприводимого представления, а | —. номер функции в ее базисе. В дальнейшем мы будем считать функции грл некоторым определенным образом нормированными. (77) Лгг| Среди функций гр~ всегда есть такая, которая сама по себе инвариантна по отношеник| ко всем преобразованиям группы Со (опа осуществляет единичное представление группы). 524 'РАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ.
ХГС Другими, словами, эта функция (которую мы обозначим как ро) обладает симметрией Св. Обозначая остальную часть р как др, мы можем написатгм (145.2) Р=ро+ор: где теперь из суммирования исключено единичное представление (это обстоятельство отмечено штрихом у знака суммы). Функция бр обладает симметрией более низкой, чем симметрия Св, так как если др и остается инвариантпой при некоторых преобразованиях этой группы, то во всяком случае не при всех. Заметим, что симметрия С функции р (совпадающая., очевидно, с симметрией бр) предполагалась., собственно говоря, с самого начала более низкой, чем симметрия Со. в противном случае во всей сумме (145.1) стоял бы всего один член — сама функция р, осуществляющая единичное представление') .
Поскольку физическая величина др вещественна и должна оставаться таковой при всех преобразованиях, то ясно, что говоря о неприводимых представлениях, мы должны подразумевать физически неприводимые представления, функции базиса которых могут быть выбраны вещественными Я135); соответ(и) ственно этому функции у,. везде ниже предполагаются вещественными. Термодинамический потенциал Ф кристалла является функционалом от функции плотности р и зависит, как от параметров, от давления Р и температуры Т; Ф = Ф1р; Р,Т). йй Иначе говоря, Ф является функцией от коэффициентов ц~ (и (и) зависит, естественно, от конкретного вида самих функций у,. ).
(и) Реально осуществляющиеся значения ц,; как функций от Р и Т определяются термодинамически из условий равновесия, т. е, условий минимальности Ф. Тем самым определится и симметрия С кристалла, так как ясно, что симметрия функции (145.2) с функциями ~р,, законы преобразования которых известны, определяется значениями коэффициентов в линейной комбинации последних.
Для того чтобы в самой точке ггерехода кристалл имел симметрию Со, необходимо, чтобы в этой точке обратились в нуль ) Дли магнитных переходов вместо плотности р(е, у, ) надо было бы рассматривать плотность токов 1(е, у, х) в теле. В парамагнитной фазе 1 = О, а по другую сторону точки перехода д1 = 1 мапо. 525 из»!енение симметРии пРи Фазовол» пеРехОде все величины ц~п~» т.с. чтобы было бр = О, р = ро. Поскольку изменение состояния кристалла при фазовом переходе второго рода непрерывно, то обращение бр в нуль в точке перехода должно произойти непрерывным образом, а не скачком, т.
е. ко(н) эффициенты г~~ должны обратиться в нуль, принимая вблизи точки перехода сколь угодно малые значения. Соответственно этому разложим потенциал Ф(Р,Т,те ) вблизи точки перехода (и) (и] в ряд по степеиял| ц, Предварительно заметим, что поскольку при преобразованиях группы Со функции ~р, преооразуются друг через друга (и) (в пределах базиса каждого неприводимого представления), то можно представлять эти преобразования таким образом, как будто преобразуются (по тому жс закону) не функции ~р~"~, а коэффициенты тй . Далее, поскольку термодинамический по(и) тенциал тела, очевидно, не может зависеть от выбора системы координат, то он должен быть инвариантным по отношению к любому преобразованию системы координат. Если какое-либо преобразование переводит ро в р~о., а дрв др', то Ф»сро + бр) Ф)роо + бр~) Отсюда видно, что если рассматривать потенциал как функционал только от ор' при заданной ро, то Ф ипвариантен по отношению к тем преобразованиям, которые не изменяют р, т.
е. по отношению к преобразованиям группы Со. Поэтому разложение Ф по степеням»», должно содержать в каждом члене с»») только инвариантную комбинацию величин »», " соответствующей степени . Из величин, преобразующихся согласно (не единичному) нсприводимому представлению группы, нельзя составить линейный инвариант'). Инвариант же второго порядка существует для каждого представления только один положительно определенная квадратичная форма из г»,, которую можно всегда сп» привести к суллме квадратов. Таким образом, начало разложения Ф имеет вид Ф = Фо+ ~~» Ас~» ~~» т),"5, (145 3) п где Ас'й функции от Р и Т.
1 )Противное означало бы, что в данном представлении содержится единичное, т.е.представление привадимо. 526 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. ХГР В самой точке перехода кристалл должен обладать симметрией Се, т.е, равновесию должны соответствовать значения величин г)~ ) = О. Очевидно, что Ф может иметь минимум при всех О~" = О только в том случае, если все А)в) неотрицательны.
Если бы в то ске перехода все А)в) > О., то они были бы положительными и вблизи точки перехода, т. е. было бы все время (и) г), = О, и никакого изменения симметрии вообще не произошло (я) бы. Для того чтобы появились отличные от нуля г),, необходимо, чтобы один из коэффициентов А~") изменил знак; в самой точке перехода, следовательно, этот коэффициент должен обратиться в нуль' ) . (Одновременное обращение в нуль двух коэффициентов Айп возможно только в изолированной точке в плоскости РТ.
Такая точка является пересечением нескольких линий переходов второго рода.) Таким образом, с одной стороны точки перехода все АОО >О, а с другой стороны один из коэффициентов А~") отрицателен. Соответственно этому с одной стороны от точки перехода всегда все г); = О, а с другой стороны появляются отличные от нуля г), .
Другими словами, мы переходим к результату, что Оа) с одной стороны от точки перехода кристалл обладает более высокой симметрией Се, которая сохраняется и в самой точке перехода, а по другую сторону точки перехода симметрия понижается, так что группа С есть подгруппа группы Се. 1 ) Более точно, это условие должно быть сформулировано следующим образом. Коэффициенты А~" ~ зависят, конечно, от конкретного вида функций р~"~ — они представляют собой их квадратичные функционалы, зависящие, как от параметров, от Р и Т.
По одну сторону точки перехода все эти функционалы АЫ~(дрп; Р, Т) существенно положительны. Точка перехода определится как точка, в которой (по мере постепенного изменения Р или Х) один из Ам~может обратиться в нуль: А'Ю ~,р'"'; Р Т) = О. Обращению в нуль соответствует вполне определенный набор функций у~" ~, которые могут быть в принципе определены путем реп|ения соответвующей вариационной задачи.
Это и будут те функции уес, которые определяют возникающее в точке перехода изменение 6р. Подставив их в функционал А~ О(у~ ~: Р, Т), мы получим уже просто функцию А~ З (Р, Т), для которой в точке перехода удовлетворяется условие А~" ~ (Р, Т) = О. После этого функции у," можно уже считать заданными, что и предполагается везде в дальнейщом (учет же изменения у~" ~ с Р и Т привел бы к поправочным членам более высокого порядка, чем интересующие нас здесь). 5 745 ИЗЛ1ЕНЕНИЕ СИММЕТРИИ ПРИ ФАЗОВОЛ1 ПЕРЕХОДЕ 527 В результате изменения знака одного из Абй появляются отличные от нуля 7),, относящиеся к соответствующему и-ллу представлению. Такйел образом, кристалл с силлметрией Св переходит в кристалл с плотностью р = ра + др, где ~,')в) Лгл) (14ог 4) есть линейная комбинация функллий базиса только одного (лпобого не единичного) из неприводимых представлений группы Св.
Соответственно этому мы будем ниже опускать индекс и, указывающий номер представления, подразумевая всегда то из них, которое как раз возникает при рассматриваемом переходе. Введелл обозначения 7) = ~7),~ 7)1 = луул (145.5) (так что 2,' у~ = 1) и напишем разложение Ф в виде г Ф = ФО(Р,Т) + 7) Ал,Р.Т) + 7) ~7 Со(Р,Т)))й ~1('УЛ) + + 4 ~~ л В 7Р Т)У~4)( ) + 7145 б) где уо, уо,... инварианты третьего, четвертого и т.д. пола) (4) рядков, составленные из величин уб в суммах по сг столько членов, сколько можно составить из у, независимых инвариантов соответствующего порядка. В этом разложении термодинамического потенциала в точке перехода должен обратиться в нуль коэффициент А.
Для того чтобы сама точка перехода являлась устойчивым состоянием (т, е, чтобы Ф обладало в этой точке минимумом при 7)1 = О), должны обратиться в нуль члены третьего порядка, а члены четвертого порядка должны быть существенно положительными. Как уже было указано в ~143, линия (в плоскости РТ) фазовых переходов второго рода может существовать лишь при условии тождественного отсутствия членов третьего порядка в разложении Ф. Это услоние можно сформулировать топерь как требова,ние невозможности составления инвариантов третьего порядка из величин 7)„преобразующихся лло данному неприводимому представлению группы Со ') . 1 ) В терминах теории представлений зто значит, что так называемый симметричный куб 7Г~) данного представления Г не должен содержать в себе 528 РАЗОВЫЕ ПРВРВХОДы ВТОРОГО РОДА ГЛ.
ХГг' Предполагая это условие выполненным, напишем разложение с точностью до членов четвертого порядка в виде Ф = Фо + А(Рг Т)т1~ + г1~ ~~з, Во(Р Т)~Н~( уг) (145 7) Поскольку член второго порядка не содержит уг, то эти величины определяются просто из условия минимальности членов гетвертого порядка, г, е, коэффициента при г14 в 1145.7) ') . Обозначив соответствующее минимальное значение этого коэффициента просто как В(Р, Т) 1оно должно быть, согласно сказанному выше, положительным), мы вернемся к разложению Ф в виде 1143.3), и величина Гз определится из условия минимальности Ф как функции только от ц так, как это было сделано в 3 143.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
