V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 97
Текст из файла (страница 97)
По-видимому, по крайней мере некоторые из них представляют собой тела с функцией плотности р(х), периодической лишь в одном направлении. Такие тела можно представлять себе как состоящие из свободно смещающихся друг относительно друга плоских слоев, расположенных па одинаковых расстояниях друг от друга. В каждом из слоев молекулы ориентированы упорядоченным образом, но расположение их центров инерции беспорядочно.
В з 137 было показано, что структуры с одномерной периодичностью функции плотности размываются тепловыми флуктуациями. Расходиыость этих флуктуаций, однако, лишь логарифмическая. Хотя этим исключается возможность одномерной периодичности, простирающейся на сколь угодно большие расстояния, однако не исключается (как уже было отмечено в конце 3137) возможность ес существования в сравнительно неболыпих, но все же макроскопических участках пространства, Наконец, упомянем, что у обычных изотропных жидкостей тоже существует два различных типа симметрии. Если жидкость состоит из вещества, не имеющего стереоизомеров, то она полностью симметрична не только по отношению к повороту на любой угол вокруг любой оси, но и по отношению к отражению в любой плоскости; другими словами, ее группа ') В остальных группах аксиальной симметрии (С', С,) оба направления вдоль оси не эквивалентны. Такие падкие кристаллы были бы, вообще говоря,пироэлсктрическими.
мо немАти !Некие и хОлестеРичеокие жидкие НРиотАллы 501 симметрии есть полная группа вращений вокруг точки, .дополненная центром симметрии (группа К'ь). Если же вещество имеет две стереоизомерные формы, причем жидкость содержит молекулы обоих изомеров в различных количествах, то жидкость не будет обладать центром симметрии (а потому не будет допускать и отражений в плоскостях); ее группа симметрии будет просто полной группой вращений вокруг точки (группа К). я 140.
Нематические и холестерические жидкие кристаллы Ориентационная симметрия нематических жидких кристаллов является одноосной: в каждой точке жидкости существует всего одно выделенное направление ориентации молекул,— направление оси аксиальной симметрии. Поэтому макроскопичсское состояние такого тела можно описать заданием в каждой его точке одного единичного вектора п(г), определяющего указанное направление; этот вектор называют директором. В полностью равновесном состоянии тело однородно, т.е. и = сопэ$. Неоднородные же распределения п(г) описывают различные деформированные состояния жидкого кристалла.
При макроскопической деформации п(г) медленно меняется вдоль тела (характерные размеры деформации велики по сравнению с молекулярными размерами). Поэтому производные функции п(г) по координатам являются малыми величинами, тем более высокого порядка малости, чем выше порядок производной.
Представив полную свободную энергию деформированного жидкого кристалла (при заданной температуре) в виде интеграла Ги = ) Г Л', разложим плотность свободной энергии г' по степеням производных функции п(г) (С. И'. Оаееп, 1933, Г. С. Ргали, 1958). Разложение скалярной величины г' может содержать лишь скалярные комбинации компонент вектора и и его производных. Существует всего две скалярные комбинации, линейные по первым производным: истинный скаляр Жгп и псевдоскаляр пго1 и. Из них первый при интегрировании по объему преобразуется в интеграл по поверхности тела и, таким образом, несуществен при рассмотрении объемных свойств вещества. Истинные скаляры, квадратичные по первым производным, можно получить, написав тензор четвертого ранга дщ, дп< дх, дх, 502 оиммгтгия кгистхллов гл.
хш и образуя из него инварианты путем сворачивания по парам индексов или умножением на компоненты вектора п. Прн этом надо учесть, что вектор и единичный, и поэтому д 2 де — п =2пь — =О. дх, 'дх, Таким путем найдем инварианты [(п~7) п) 2, — "" — "', (йт и), дх, дх,' дх, дхь Но два последних отличаются друг от друга лишь дивергенцией: дп, дпь дпь дп, д У дпь дп, 1 (па пх /~ дх, дхь дх, дхь дх, дхь дхь так что их вклады в полную свободную энергию отличаются лишь не интересующим нас интегралом по поверхности тела (Х Л.
Еггсйиеп, 1962). Инвариант же') " = (пгойп) +(жгп)2, дх, дх, так что в качестве независимого можно выбрать (пго1п)2. Наконец, можно построить квадратичный по первым производным псевдоскаляр: (и го1 и) йт и') . К величинам того же порядка малости относятся скаляры, линейные по вторым производным; все такие величины, однако, путем интегрирования по частям сводятся к членам, квадратичным по первым производным. Таким образом, мы приходим к следующему выражению для плотности свободной энергии жидкого кристалла; Е = ГО+ 6пго1 п+ — '(йхп) + — '(пго1 п) + — в((и7)п) + 2 2 2 + ага(пго1 п) йв п, (140.1) где 6, ам ав, аз, агв постоягшыс (функции температуры).
Как уже было указано в предыдущем параграфе, во всех известных жидких кристаллах рассматриваемых категорий направления п н — и эквивалентны; для соблюдения этого требования надо положить ау2 = О. Далее., если среди элементов 1 ) В этом легко убедиться, раскрывая выражения в компонентах, выбрав при этом одну. из координатных осей (ось х) вдоль направления п в данной точке пространства (при этом дп,/дх, = О). ) Произведение же ((пе)п) гос и = О, поскольку из Tп = О следует, что (п~у)п = — [пгог и). 111 немАти !Некие и хОлестеРичеокие жидкие кРиОТАллы 503 симметрии кристалла есть плоскости, то должно быть 6 = О. Действительно, поскольку пго1п псевдоскаляр, а свободная энергия- истинный скаляр, то псевдоскаляром должен быть и коэффициент 6.
Но среда, имеющая плоскости симметрии, не может характеризоваться псевдоскалярными величинами, так как отражение в плоскости привело бы к равенству 6 = — 6. Таким образом, свободная энергия нематического жидкого кристалла: Р = Р!!+ — '(г)гоп) + — "'(пго1п)2+ — '((п~)п) . (140.2) 2 2 г Все три коэффициента а1, ав, аз должны быть положительными. Тогда равновесному. состоянию отвечает п = сопэ$.
Если же жидкий кристалл не имеет плоскостей симметрии, то 6 ф 0') . Перепил!ем тогда (140.1) (с а12 = 0) в виде Г = Го + — '(с)!у п)2 + — '(пго1п + !)о) + — '((п~У)п)2, (140.3) 2 2 2 где до = 6/а2 (а постоянная-- 6з/2а2 включена в То). Равновесному состоянию такого вещества отвечает распределение направлений директора, для которого г11ги и = О, (п~у)п = О, пгоС и = — !)е.
Эти уравнения имеют решение пе: 0 ну: совдох, и, = вш!)Ох. (140.4) Эту структуру (отвечающую холестерическим жидким кристаллам) можно представить себе как результат равномерного закручивания вокруг оси х нематической среды, первоначально ориентированной своими и = сопв$ в одном направлении в плоскости уе. Ориентационная симметрия холестерического кристалла оказывается периодической вдоль одного направления (ось х) в пространстве (так что корреляционная функция р12 = р12(х! г12)). Вектор и возвращается к прежнему значению через каждый интервал длины 2х/до вдоль оси х; но поскольку направления и и — п физически эквивалентны, истинный период повторяемости структуры равен тг1!!)о.
Об описанной таким образом структуре обычно говорят как о геликоидальной. Разумеется, изложенная теория справедлива, лишь если период геликоидальной структуры велик по сравнению с молекулярными размерами. Это условие фактически выполняется в холестерических жидких кристаллах (период х/г)о 10 'см). ') Такой симметрией во всяком случае оудет обладать жидкий кристалл, состоящий из одного стереоизомера вещества с зеркально асимметричными молекулами (именно таковы все известные холестерические жидкие кристаллы).
Кристаллы, состоящие из двух различных стереоизомеров одного и того жо вещества, отличаются знаком постоянной б. 504 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ Гл. хп! я 141. Флуктуации в жидких кристаллах Рассмотрим флуктуации, испытываемые направлением директора и в нематическом жидком кристалле (Р. С. неСеппев, 1968). Представим и в виде и = по + гы, где по = и постоянное вдоль всего объема равновесное направление, а гы = Ьп флуктуационное отклонение от этого значения. Поскольку и = по —— 1, то позы — О, т.е. вектор гы перпендикулярен к по. 2 2 Соответственно этому корреляционная функция флуктуаций (!ы !1Г!) 'а!1Г2)) (141.1) представляет собой двумерный тензор в плоскости, перпендикулярной к по (гт, )з ..
векторные индексы в этой плоскости). В однородной, но анизотроппой жидкости эта функция зависит не только от величины, но и от направления вектора г = г2 — г!. Сильное влияние на флуктуации директора оказывает магнитное поле. Этот эффект связан с появлением в плотности свободной энергии жидкого кристалла дополнительного члена вида А' г!агв — (пН) 2 (141.2) йа 2 2 г'магв— 2 (141.3) Взяв Р из (140.2) и (141.3) и сохранив лишь величины второго порядка по гы, получим следук!щее выражение для изменения полной свободной энергии при флуктуации: АЫ.=-,)'),!1! !'Ы а( 1, )'Ы,( — ") ЫЫВР~ЫЫ (141 А) (ось ю выбрана в направлении по).
Подчеркнем, что, используя выражение (140.2) для энергии деформированного кристалла, 1 ) В одноосной анизотропной среде магнитная восприимчивость представляет собой тензор вида т*ь = год*1 + т,п,пь, а нал!агпиченность вещества привносит в его свободную энергию вклад — Х,!.Н,Н1/2. Величина (141.2) есть зависящая от и часть этого вклада. зависящего от самого вектора и, а не от его производных, как в (140.2) ') .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
