V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Рассмотрим, например, несимморфную пространственну ю группу С2, относящуюся к кристаллическому классу С'2 и имею- 2 щую простую моноклинную решетку Вравэ. Ось второго порядка (примехг ее за ось е) в ней яляется винтовой, с переносом на половину периода: (Статна/2). Рассмотрим в этой грушге звезду двух волновых векторов: 1с = (Рг, Л, 1/2), ( — зс, — Л, 1/2), (185 2) где зс и Л произвольные чисга между г) и 1/2 (оси л, 4) косоугольные, в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии); звезда включает в себя )с и — )с, поскольку векторы ( — м, — Л, — 1/2) и ( — эг, — Л,1/2) эквивалентны. Этой звезде отвечают два эквивалентных (с одинаковыми вещественными характерами) двумерных неприводимых представления группы, осуществляющихся соответственно базисными функциями х2кгГ44г -~-Лу) гхг и их комплексно-сопряженными.
Физически неприводимое пред- ') Напокпгим, что в точечных группах такой ситуации не возникало: для этих групп все неприводимые представления с вещественными характерами вещественны. 16* 484 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ Гл. хп! ставление получается обьединением этих двух комп:Гексно-сопряженных представлений. Четыре функции его базиса разбиваются на две пары, каждая из которых отвечает однолсу из двух волновых векторов звезды: тя!(ив-г-лу) тгяв — вхг(ит ' лу1 гы гг Если неприводимое представление найдено вместе с функциями его базиса, ответ на вопрос о его вещественности или комплексности становится очевидным.
Тем яе менее в более сложных случаях (и для исследования некоторых общих вопросов) полезно иметь критерий, позволяющий дать ответ на этот вопрос уже непосредственно по характерам малого представления. Такой критерий можно получить, исходя из следующей общей теоремы теории представлений групп '). Для каждого из неприводимых представлений грушлы следующая сумма может илсеть одно из трех значений: +1 (а)! — ~ Х(Св) = О (б), (135.3) и — 1 (в) (суммирование производится по всем элементам группы, 8 ее порядок). В зависимости от этих значений: а) представление вещественно; б) представление комплексно, причем комплексно-сопряженные представления не эквивалентны (имеют комплексно-сопряженные характеры); в) представление колшлексно, причем комплексно-сопряженные представления эквивалентны (имеют одинаковые вещественные характеры).
Наметим путь, по которому этот критерий преобразуется в применении к пространствепныл! группам, не вникая в его детали. Согласно описанному в предыдущем параграфе способу построения неприводимых представлений пространственных групп, их характеры могут быть представлены в виде Л((Р~т + а)) = ~~г згь ((Р~т)) ехр(41с,а), (135.4) г где з~й[(Р~1с)) -- характеры поворотных элементов группы в малом представлении, а суммирование производится по тем из лучей 1сс, 1сзг... звезДы волнового вектоРа, ДлЯ котоРых Р ЯвлЯ- ется одним из эломентов его группы симметрии.
Применив эту формулу к элементу (Р~т+ а)9 = (Рз)т+ Рт + а+ Ра) = (Р(т)~(Е~а+ Ра), ! ) Ее доказательство можно найти, например, в книгах, указанных в примечаниях па стр. 469 и 478. 1 136 ОИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОБРАЩЕНИЯ ВРЕМЕНИ 485 имеем Х[(Р]т+а) ] = ~ХЕ,[(Р]т) ]ехр[1а(1с;+У )гс)] 1 (в показателе заменено 1с;Ра = аР 11с;).
Эти характеры надо просуммировать по всем трансляциям и всем поворотным элементам (Р]т). Сумма 1у ехр[са(1с, + Р 11с,)] а отлична от нуля только при 1с; + Р ~)к, = О, Ь. Наконец, заме- чаем, что ввиду равноценности всех лучей в звезде в су.мме по 4 (которая должна вычисляться в последнюю очередь) все члены одинаковы. В результате получаем следующий окончательный критерий Херрикга; +1 (а), — Хй[(Р]т) ] = 0 (б), (135.5) — 1 (в), где Хк хаРактеРы малого пРсдставлениЯ, а сУммиРование НРо- изводится по тем из поворотных элементов (Р]т) простран- ственной грушты, которые переводят )с в вектор, эквивалент- ный — 1с: Р)с = — )с+ Ь'); пь чишю поворотных элементов соб- ственной симметрии волнового вектора.
В частности, если пространственная группа вообще не со- держит поворотных элементов, обладающих указанным свой- ством, то в сумме (135.5) не остается ни одного члена, так что имеет место случай (б) в согласии со сказанным выше о слу- чае, когда звезды 1с и — )с нс совпадают. В рассмотренном выше примере из группы э4, требуемым 1 свойством обладают элементы ф4]0) и (В4з]0); их квадраты пред- ставляют собой элемент (Сй]0). Поэтому сумма (135.5): ЕХЕНВ4]0) ] + Хй[(В4]0) ]) = ХйНСЕ]0)] и равна +1 для малого представления А и — 1 для малого представления В, для которых, следовательно, имеют место случаи (а) и (в) . снова в соответствии с уже найденными результатами.
) При этом (Р]т) ~ не меняет вектора )с (или превращает его в эквивалентный), т. е. заведомо входит в группу собственной симметрии вектора 1с. 486 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ Гл. хп! 9 136. Свойства симметрии нормальных колебаний кристаллической решетки Одно из физических применений математического аппарата представлений пространственных групп состоит в классификации нормальных колебаний решетки по их свойствам симметрии ') . Напомним, что в решетке с и атомами в элементарной ячейке для каждого заданного волнового вектора 1с существует Зи нормальных колебаний., каждое со своим значением частоты пг(1с).
Во всей области изменения )с закон дисперсии колебаний ог = ог()с) имеет, другими словами, Зи ветвей пг ()с); каждая из ого(1с) пробегает значения в некотором конечном интервале знергегпической зоне фононов. Все существенно различные значения волнового вектора заключены в одной элементарной ячейке обратной решетки; если же рассматривать всю бесконечную обратную решетку, то в пей фу.нкции ы„(1с) периодичны: пг (1с+ Ь) = ш (1с). (136.1) Физические основания для классификации колебаний решетки по пеприводимым представлениязи ее группы симметрии те же, что и для аналогичной классификации в глучае конечных симметричных систеки"- многоатомных молекул (см.
1П, 3100). Нормальныс координаты колебаний, осуществляющие собой (в качестве базиса) некоторое неприводимое представление группы симметрии решетки, относятся к одной и той же частоте. Каждое неприводимое представление пространственной грушты задается. прежде всего, своей звездой вслновых векторов. Отсюда сразу следует, что частота одинакова для всех нормальных колебаний, отличающихся лишь значениями 1с из одной и той же звезды. Другими словами, каждая из функций пг (1с) обладает полной симметрией направлений данного кристаллического класса.
При этом, как было указано в предыдущем параграфе, в силу симметрии по о!ношению к обращению времени звезда )с должна быть дополнена всеми векторами — 1с (если звезды 1с и — 1с не совпадают сами ио себе); другими слою ( — 1с) = пг (1с). (136.2) ) Представления пространственных групп впервые были применены к изучению физических свойств кристаллических решеток Хундом (Р. Вопд, 1936) и Баукартом, Вш нером и Смолуховским (Ь. Р.
Вопскаегй й. Вгпо1ггс1гопггкг, Е. Р. Мгопог, 1936). !) С физической точки зрения связь преобразований к — ! — к дчя колебаний решетки с обращением времени очевидна: изменение знака времени меняет на обратное направление распространения волн (или в терминах фопонной картины, меняет знак импульса фонона р = йк).
136 снойстнл симмктгии ногмлльных колкнлниЙ гкп|ктки 487 При заданном значении 1с (т. е, для одного из лучей звезды) нормальные координаты распределяются по базисам малых представлений, отвечающих различным частотам. Если размерность Г' малого представления больше единицы, то это:значит, что при данном значении 1с имеет место вырождение: частоты в 1 ветвях совпадают. Когда вектор 1с занимает (в обратной решетке) общее положение, он не имеет никакой собственной симметрии (сто группа содержит лишь единичный элел1ент тождественное преобразование); все Зп значений озо(1с) при этом, вообще говоря, различны. Вырождение может появиться, когда собственная симметрия волнового вектора настолько высока, что его группа имеет неприводимые представления с размерностью 7' ) 1.
С учетом одной лишь пространственной симметрии это может произойти либо в изолированных точках обратной решетки, либо на целых прямых линиях (осях симметрии) в ней. Симметрия же относительно обращения времени может привести также и к вырождению (двукратному) на целых плоскостях в 1с-пространстве (г. Нипг1, 1936; С. Негт1пу, 1937); согласно сказанному в предыдущем параграфе такое вырождение может иметь место па плоскостях, перпендикулярных к винтовой оси второго порядка (см. пример представлений, связанных со звездой (135.2)) ') . Для того чтобы произвести классификацию нормальных колебаний конкретной кристаллической решетки, надо прежде всего найти полное колебательное представление пространственной гру~шы, осуществляемое сразу всеми колебательными координатами (векторами смещения атомов).
Это представление приводимо и, разложив его на неприводимые части, мы тем самым определим кратности вырождения частот и свойства симметрии соответствующих колебаний. При этом может оказаться, что одно и то же представление входит в колебательное представление несколько раз; это будет означать, что имеется несколько различных частот одинаковой кратности с колебаниями одинаковой симметрии. Эта процедура аналогична способу классификации колебаний молекулы (П1, 9 100).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
