V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 91

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 91)

В первом случае совокупность поворотных преобразований (Р~О) сама образует подгрушгу пространственной группы. Во втором же случае элементы (Р~т) сами по себе не образуют подгруппы, поскольку повторное их применение приводит не к тождественному преобразованию, а к трансляции на один из основных периодов решетки. Вращения же и отражения Р как таковые (т.е. если не различать простые и винтовые оси, простые плоскости симметрии и плоскости скольжения) всегда составляют группу точечную группу симметрии, определяющую кристаллический класс; эту точечную группу удобно называть в данном аспекте группой направлений решетки ') . Обратимся к построению неприводимых ггредставлеггий пространственных групп'). Всякое такое представление может быть осуществлено набором функций вида сок = ия„е' (134.

3) где )с постоянные волновые векторы, иь функции, инвариантные относительно трансляций, индекс сг = 1, 2,... нумерует функции с одинаковыми )с. В результате параллельного переноса г -+ г + а (где а какой-либо период решетки), функции (134.3) умножаются на постоянные е'~. Другими ) Во всех случаях связь между пространственной группой и грушюй направлений можно сформулировать с групповой точки зрения следуюгдим обржюм.

Распределим все элементы пространственной группы по и, смежным классам, каждый пз которых содержит бесконечное множество провзведений одного из поворотных элементов па все возможные трансляции, т. е. все элементы вида (Р~г -г а) с заданными Р и г. Если теперь рассматривать каждый пз смежных классов целиком как элемент новой группы, то мы получим так пазыввомуЮ фактор-группу исходной пространственнОй группы.

Эта фактор-группа пзоморфпа группе направлений. э) Излагаемые ниже соображения прппадлсжвт Зейтцу (Г. осгг», 1936). 476 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ Гл. хп! словами, в осуществляемом функциями (134.3) представлении матрицы трансляций диагональны. Очевидно, Гто два вектора 1с, отличающиеся на какой-либо период обратной решетки Ь, приводят к одинаковому закону преобразования функций !рь при трансляциях: поскольку аЬ целое кратное от 2!Г, то ехр(1аЬ) = 1. Такие векторы 1с мы будем называть экниеалет!тг!ыми. Если представлять себе векторы 1с проведенными из вершины ячейки обратной регпетки в различные се точки, то все неэквивалентные векторы исчерпываются одной элементарной ячейкой.

При воздействии же поворотного элемента симметрии (Р~т) функция !Сь преобразуется в линейную комбинацию функций ;рь „с различными ст и вектором 1с', получающимся из 1с посредством данного вращения или отражения, произведенного в обратной решетке: )с' = Р)с') . Совокупность всех (неэквивалентных) векторов )с., получающихся друг из друга при воздействии всех п поворотных элементов группы, называют звездой волнового вектора 1с. В общем случае произвольного 1с ого звезда содержит и векторов (лучей). В число функций !рк„базиса неприводимого представления должны во всяком случае войти функции со всеми лучами звезды: поскольку функции с неэквивалентными 1с умножаются при трансляциях на различные множители, то никаким выбором их линейных комбинаций нельзя добиться уменьшения числа преобразующихся друг через друга функций.

При определенных значениях )с число лучей в его звезде может оказаться меныпим чем п, так как может оказаться, что некоторые из поворотных элементов симметрии не меняют 1с или превращают его в эквивалентный. Так, если вектор 1с направлен вдоль оси симметрии, то он не меняется при поворотах вокруг этой оси; вектор 1с, проведенный из вершины в центр элементарной ячейки (1с = Ь,/2, где Ь; — один из основных периодов обратной решетки), при инверсии превращается в эквивалентный ему вектор -. 1с = — Ь,Г!2 = 1с — Ь,.

Совокупность поворотных элементов симметрии (рассматриваемых все как простые вращения или отражения Р), входящих в данную пространственную группу и не меняющих вектора 1с (или превращающих его в эквивалентный), называют группой собственной с!змметр!зи вектора 1с или просто группой волнового вектора; она представляет собой одну из обычных точечных групп симметрии. ') Для преобразования вектора 1с в обратной решетке, разумеется, все оси и плоскости симметрии следует рассматривать как простые, т.е. надо рассматривать лишь группу направлсний.

1 1з4 нкпгиводимык пгкдотлвлгния пгоотганатвкнных ггъ пп 477 Рассмотрим сначала простейший случай симморфных пространственных групп. Функции базиса неприводимого представления такой грушты могут быть представлены в виде произве~зы = Фю (134.4) где функции и инвариантны относительно трансляций, а фк линейные комбинации выражений е™ (с эквивалентными 1с), инвариантные относительно преобразований группы собственной симметрии вектора 1с; вектор 1с в (134.4) пробегает все значения своей звезды. При трансляциях функции и не меняются, а функции фй (а с ними и д, ) умножаются на ехр(11са). При вращениях и отражениях, входящих в группу 1с, не меняются функции фй, а функции и преобразуются друг через друга.

Другими словами, функции и осуществляют какое-либо из неприводимых представлений точечной группы (о которых говорят в этой связи как о лгалькт представлениях). Наконец, поворотные элементы, не входящие в группу 1с, преобразуют друг через друга наборы функций (134.4) г неэквивалентными 1с.

Размерность построенного таким образом представления пространственной группы равна произведению числа лучей в звезде Ы на размерность малого представления. Таким образом, задача о нахождении всех неприводимых представлений симморфных пространственных групп полностью сводится к классификации векторов 1с по их собственной симметрии и к известной задаче об отыскании неприводимых представлений конечных точечных групп.

Обратимся теперь к пространственным группам с винтовыми осями и.ли плоскостями скольжения. Наличие таких элементов симметрии все еще остается несущественным, если волновой вектор 1с при всех преобразованиях из его группы вообще не меняется (т.е. не переходит в эквивалентный)') .

В таких случаях соответствующие неприводимые представления по-прежнему осуществляются функциями вида (134.4), в которых и образуют базис представления точечной группы вектора 1с. Единственное отличие от случая симморфных групп будет состоять в том, что при поворотных преобразованиях функции фй = ехр(11сг) в (134.4) не остаются неизменными, а умножаются на ехр(г)ст). Функции вида (134.4) становятся, однако, непригодными, если существует несколько эквивалентных векторов 1с, переходящих друт в друга при преобразованиях группы их собственной ') К этой категории всегда относятся, в частности, вектор к = О и вектор, занимающий общее положение, в котором единственым элементом его группы является тождественное прообразовапие. 478 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ Гл.

хн! симметрии. При поворотном преобразовании, связанном с одновременным переносом т, функции ехр(г1сг) с эквивалентными, но все же различными значениями 1с умножаются на различные множители (поскозгьку Ът/2гг . не целое число); поэтому их линейные комбинации фй не будут преобразовываться через самих себя.

В таких случаях раздельное рассмотрение поворотных элементов и трансляций уже невозможно. Однако из бесконечного множества трансляций достаточно рассмотреть лишь конечное их число, причем лишь для векторов 1с, проведенных из всрпшны элементарной ячейки обратной решетки в некоторые выделенные точки внутри ячейки; координаты (все три! или некоторые из пих) этих точек выражаются простыми рациональными частями') основных периодов Ь1, Ь2, Ьз.

Назовем расширенной группой волнового вектора группу, составленную из поворотных элементов (вместе со связанными с ними транс!Ляциями на доли периодов т) и из всех тех трансляций! для которых 1са)'2я рациональная дробь (ьгеньшаг! 1); остшгьные же траншпщии рассматриваются по-прежнему как тождественные преобразования. Функции 9!ко, осуществляющие неприводимые представления составленной таким обра.- зом конечной группы 1малые представления), вместе с такими же фу.нкциями 9гк других лучей из данной звезды )с, осуществляют неприводимое представление пространственной группы. Отметим, что размерность мшзых представлений в этих группах достигает шести (в группах кристаллического класса Оь)г).

) Фактически эти части бывают равными лишь 1!2, 1/3, 2/3 (последние два значения в группах ромбоэдрической и гексагоназьной систем). ) Если рассматривать представления расширенной группы волнового вектора как представления нерасширенной группы (одна из точечных групп), то соотношения междг матрицами С, представляющими элементы С группы, будут отли ппься от соотношений между самими этими элементами: если С! Сг = Сз, то соответствуюп!не матрицы представления будут, вообще говоря, связаны между собой не таким же равенством С!С! = Сг (как в обычных представлениях), а равенством вида С!С! = ыггСг, где !и!!- некоторый фазовый множитель, равный единице лишь по модулю: ~пггг ~ = 1.

Характеристики

Список файлов книги