V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Между тем в конденсированном веществе последнее может, разумеется, существенно влиять на форму молекул. Хотя применимость получа1ощихся результатов к реальным веществам поэтому весьма ограничена, их вывод представляет заметный методический интерес. 2 Р27 ФЛУКТУАЦИИ ИЗГР!БА ДЛИННЫХ МОЛЕКУЛ ранга в этой плоскости. Приведем !".го к главным осям и обозначим через а! и а2 главныс значения этого тензора (нить! в виде которой мы представляем себе молекулу, отнюдь не должна быть аксиально-симлРетричной по своим свойствам; поэтому и! и а2 не должны быть равными). Выражение (127.1) примет в результате вид Р'0 +, (и! Р! + п2Р2) где р! и р2- компоненты р в направлении соответствующих главных осей. Наконец, интегрируя вдоль всей длины молекулы, найдем полное изменение ее свободной энергии в резулыате слабого изгиба; Ьг'Б = — / (а ! р! + азр2) 011 2 1 (127.2) (1 координата вдоль длины нити).
Величины а! и а2, очевидно, непрем!'.нно положительны. Пусть Ф и 10 единичные векторы вдоль направления касательных к нити в двух ее точках (точки а и 6), разделенных участком длины 1. Обозначим через 0 = 0(1) угол между этими касательными.
т. е. С,вь = сов0. 1РассуРотрие! сначала случай такого слабого изгиба, при котором угол 0 мал даже для удаленных точек. Проведем две плоскости, проходящие через вектор С, и две главные оси тснзора аРв в нормальной (в точке а) плоскости. При малых значениях 0 квадрат угла 02 может быть представлен в виде 02 02 ! 02 (127.3) где О! и 02 Углы повоРота вектоРа йь относительно вектоРа К, в указанных двух плоскостях. Компоненты вектора кривизны связаны с функциями 07(1) и 02(1) соотношениями 7вР0) нв,(В Рп ' Р ж и изменение свободной энергии при изгибе молекулы принимает вид (127 А) При вычислении вероятности флуктуации с заданными значениями 07(1) = О! и 02(1) = 02 при некотором определенном 1 надо рассмотреть наиболее полное равновесие, возможное при 454 елхктххции гл, хп этих значениях 01 и 02 (см.
примеч, на с. 383). Друтими слова- ми, надо определить наименьшее значение свободной энергии, возможное при заданных 0~ и 02. Но интеграл вида ~( )'" о при заданных значениях функции 01(Ц на обоих пределах (01(0) = О, 01(1) = 01) имеет минимальное значение, если 01(1) меняется по линейному закону.
При этом шд, а2В2 21 21 и поскольку вероятность флуктуации и ехр( — ) (см. (116.7)), то для средних квадратов обоих углов получаем ~т 2 ГГ Средний же квядрат интересующего нас угла 0(1) равен (02) = 1Т( — + — ). (127.5) Как и следовало ожидать, в этом приближении он оказывается пропорциональным длине отрезка молекулы между двумя рас- сматриваемыми точками. Переход к изгибам с большими значениями углов 0(1) мож- но произвести следующим образом. Углы между направлениями касательных $„, Ьм 1, в трех точках (а, Ь, ) нити связаны друг с другом тригонометри 1еским соотношением совд„= сояд,ьсовдь, — в1пд ьв1пд~,север, где ~р угол между плоскостями ($~,Фь) и (1мФ,).
Усредняя это выражение и имея в виду, что флуктуации изгиба различных участков аЬ и Ьс молекулы (при заданном направлении каса- тельной Сь в средней точке) в рассматриваемом приближении статистически независимы, получим (сов 0„) = (сов О,ь сов дь,) = (сов О„ь ) (сов Оь,) (член же с сов ~о при усреднении вообще исчезает). Это соотношение означает, что среднее значение (совд(1)) должно быть мультипликативной функцией от длины 1 участка молекулы между двумя заданными точками. С друтой стороны, 455 ~ !27 ФлуктуАции изГНБА длинных мОлекул для малых значений 0(1) должно быть, согласно (127.5), (соэ В(1)) — 1 — = 1 — —, (В') гг 2 а где введено обозна!ение 2 1 1 — = — + —.
а а! ЕБ Функция, удовлетворяющая обоим этим требованиям, есть (сов О) = ехр ( — 1 — ) . (127.6) Это и есть искомая формула. Отметим, что при больших расстояниях 1 среднее значение (сов 1!) — О, что соответствует статистической независимости направлений достаточно удаленных участков молекулы. С помощью формулы (127.6) легко определить средний квадрат расстояния Л (считаемого по прямой) между обоими концами молекулы. Если 1(1) есть единичный вектор касательной в произвольной точке молекулы, то радиу.с-вектор между ее концами равен К = Ф(1) !11 о (Ь полная длина молекулы).
Написав квадрат интеграла в виде двойного интеграла и усредняя его! получим ь ь Ь Ь "'=0" "'" =П-(-'-'-")"'" а о о о о Вычисление интеграла приводит к окончательной формуле (Л2) = 2( — ) ( — — 1+ е ь21"). (127.7) В случае низких температур (ЬТ « а) эта формула дает (Л ) = 2(1 — — '); (127.8) при Т вЂ” ! О средний квадрат (Л2) стремится, как и следовало, к квадрату 1.2 полной длины молекулы.
Если же 7 Т )> а (высокие температуры или достаточно большие длины 7)! то (Лв) = '," (127.9) При этом (Л2) пропорционален первой степени длины молекулы, так что отношение (Л )/1 стремится при увеличении Ь к нулю. Г,>НАНА ХН1 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ й 128. Элементы симметрии кристаллической решетки Нанболес распространенныс свойства симметрии макроскопических тел заключаются в симметрии расположения частиц в них. Движущиеся атомы и молекулы пе занимают точно определенных мест в теле, и для строгого статистического описания их расположения нужно ввести функцию плотности р(х,у,к), определяющую вероятности различных положений частиц: р а>уг есть вероятность отдельной частице находиться в элементе объема с11'.
Свойства симметрии расположения частиц определяются теми преобразованиями координат (переносами, поворотами, отражениями), которые оставляют функцию р(х, р, г) неизменной. Совокупность всех таких преобразований сг>л«метра>>, данного тела составляет его группу симметрии. Если тело состоит из различных атомов, то функция р должна быть определена для каждого сорта атомов в отдельности; это обстоятельство, однако, для нас не имеет значения, так как все эти функции в реальном теле буду> фактически иметь одинаковую симметрию.
Для этой же цели л>огла бы служить также функция р, определенная как полная электронная плотность, создаваемая всеми атомами в каждой точке тела') . Наиболее высокой симметрией обладщот извтропныв тела . тела, свойства которых по всем направлениям одинаковы; сюда относятся газы и жидкости (и аморфные твердые тела). Очевидно, у такого тела для каждой частицы все ее положения в пространстве во всяком случае должны быть равновероятными, т. с, должно быть р = согзз1. Напротив, в анпзотропных гг>веру)ых крпсгг>аллах функция плотности отнюдь не сводится к постоггнной. Она представляет собой в этом случае трояко-периодическую функцию (с периодами, равными периодам кристаллической решетки) и имеет ) Движущиеся электроны могут создавать ве только среднюю плотность зарядов (ер), г>о и среднюю плотность тока 11х,, г).
Тела с отличными от нуля токами — это тела., обладающие «магнитной структурой»., и симметрия векторной функции 11хь й, х) определяет симметрию этой структуры. Опа рассмоз рена в другом томе этого курса (ск>, том»'111). э >28 ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ 457 резкие максимумы в точках, соответствующих узлам решетки.
Наряду с трансляционной симметрией решетка (т.е, функция р(х, у, е)) обладает, вообще говоря, симметрией также и по отношению к различным поворотам и отражениям. Узлы, которые могут быть совмещены друг с другом путем какого-либо щ>еобразования симметрии, называют зквивалентньсми. Приступая к изучению симметрии кристаллической решетки, следует начать с выяснения того, из каких элементов эта симметрия может складываться. Основу симметрии кристаллической решетки составляет ее пространственная периодичность свойство совмещаться сама с собой при параллельных переносах (или, как говорят, трансляцияк ) на определенные расстояния в определенных направлениях'); о трансляционной симметрии подробно будет идти речь в следующем параграфе.
Наряду с трансляционной симметрией решетка может обладать также и симметрией по отношению к различным поворотам и отражениям; соответствующие элементы симметрии (оси и плоскости симметрии, зеркально-поворотив>е оси) — те же, которыми могут обладать и симметричные тела конечных размеров (см. П1, ~ 91). Сверх того, однако, кристаллическая решетка может обладать еще и особого рода элементами симметрии, представляющими собой комбинации параллельных переносов с поворотами и отражениями. Рассмотрим сначала комбинацию трансляций с осями симметрии.
Комбинирование оси симметрии с параллельным переносом вдоль направления, перпендикулярного к оси, не приводит к новым типам элементов симметрии. Легко убедиться в том, что поворот на некоторый угол с последующим переносом в перпендикулярном к оси направлении равносилен простому повороту на тот же угол вокруг другой оси, параллельной первой. Комбинирование же поворота вокруг оси с параллельные> переносом вдоль этой же оси приводит к элементам симметрии нового типа ниптопым осям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
