V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Рытову. Следует заметить, что интеграл (122.1) фактически расходится, поскольку х(~) не стремится к нулю при ф -+ ОО. Это обстоятельство, однако, несущественно для дальнейших формальных выводов., имеющих целью вычисление заведомо конечных средних квадратов'). Подставляя (122.2) в определение корреляционной функции (118.1), получим 424 елхктхлции гл, хп Ю(1)= (х) е ' (122.5) В частности, Ог(0) есть средний квадрат флуктуирующей величины: (хг) = (хг).~ = 2(хг).~ . (122.8) — 00 о Мы видим, что спектральная плотность среднего квадрата флуктуации как раз совпадает с величиной (хг)„(или 2(хг),„, если интеграл распространен тапько на положительные частоты).
Эта же величина является, согласно (122.5), и компонентой Фурье корреляционной функции. Обратно: (х ),„= р(1)е'~ сЫ. В написанных формулах величина х(1) предполагалась классической. В случае квантовой величины разложение (122.Ц, (122.2) должно относиться к зависящему от времени оператору х(т), а определение спектральной плотности (х ). записывается (вместо (122.4)) в виде 2 — (х„х„+ х х„) = 2л(х~)„5(ы + ы'). (122.8) (122. 7) Для корреляционной функции квазистационарных флуктуаций одной величины в 2118 было получено выражение (118.8). Для того чтобы интеграл в правой части равенства был функцией только от разности 1 — 1, подынтегральное выражение должно содержать д-функцию от ы + ы', т. е. должно быть (х х ) = 2я(хг) д(и+ю').
(122.4) Это соотношение надо рассматривать как определение величины, обозначенной здесь символом (хг) . Хотя величины х„комплексны, но (хг)„, очевидно, вещественны. Действительно, выражение (122.4) отлично от нуля лишь при ы' = — ы и симметрично по отношению к перестановке ы и м', поэтому (х )„,, = (х ), а перемена знака ог эквивалентна переходу к комплексно-сопряженным величинам.
Подставляя (122.4) в (122.3) и исключая Б-функцию интегрированием по Йг, находим спектРАльное РАзложение ФлуктуАциЙ 425 Элементарное интегрирование дает следующий результат для ее спектрального разложения: (хг),„= — + =,, (122.9) р 'Л Л вЂ” к ~ Л + яв /,3(ша + Л ) В соответствии с физическим смыслом приближения, отвечающего квазистационарным флуктуациям, это выражение применимо лишь для частот, малых по сравнению с обратным временем установления неполного равновесия. В терминах введенной в конце 2118 случайной силы у(1) временная зависимость флуктуиручощей величины х описывается уравнением х = — Лх+у. Умножив его на е™ и проинтегрировав по сЫ в пределах от — со до +со (причем член хема интегрируется по частям') ), получим (Л вЂ” (ог)х = 9,„.
Отсюда ясно, что надо положить („2) („,2+ Лг)( 2) 2Л (122 10) Это выражение можно, конечно, получить и прямо из (118.10). Наличию 6-функции 6(1) в (118.10) отвечает в (122.10) независимость (у ),„от ог. Написанные формулы непосредственно обобщаются на флуктуации одновременно нескольких термодинамических величин хг, хг,... Соответствующие корреляционные функции у,ь(г) были определены в 2119. Компоненты их спектрального разложения определяются как (хгхь)ы = ~тгга(1)е™М — = (хг(2)хк(0))е™г((, (122.11) а вместо (122.4) имеем (х, хь ) = 2л(х,хй)мб(ы+ цг') (122.12) (в обозначении (х;хь), порядок множителей существен!).
Изменение знака времени эквивалентно замене ог — г — ог в спектральяом разложенитт, а эта замена в свою очередь означает комплексное сопряжение величин (х,хь), . Поэтому равенство (о;й(1) = уэы( — 1) (119.2) означает, что (х,хь) = (хьх;) = (хьх,)„. (122.13) ') При этом члены, содержащие х(шсо), следует опустить; их появление связано с упомянутой выше фактической раскодимостью интегралов (122.1) .
С формальной точки зрения эти члены всо равно несущественны при вычислении среднего (у у ), поскольку они конечны при ш' = — ш и могут быть опущены по сравнению с б-функционным основным членом. елхктхлции гл, хп Симметрия же флуктуаций по отношению к обращению времени, выражающаяся равенствами (119.3) или (119.4), в терминах спектрального разложения записывается как (хгхь)ю = Я(хчхь) — ю = Н,хчхь)~~~ (122 14) (х;х~)(') = уи(г)е' 'чй.
о (122.15) Значение уи(0) определяется лначальным условием» (119.9); поэтому (Лц, — илб,ь)(хьх~)~~~ = Я~ или ((ж — ' М(хвх~С~ = А~; где вместо коэффициентов Л,ь введены более удобные (ввиду их симметрии) кинетические коэффициенты („в — 11п Л,ь (см. (120.13)). Решение этой алгебраической системы уравнений (хьх~)„' = (с — ги,3)~~', где — 1 в показателе означает взятие обратной матрицы. С другой стороны, интересующие нас компоненты спектрального разложения (122.11) выражаются через компоненты л одностороннего» разложения (122.15) равенствами (х;хд)м = (х,хь)~~) + (хьхД~+р; (122.16) где знаки + или — относятся соответственно к случаям, .когда сами величины х, и хв ведут себя одинаково или по-разному по отношению к обращению времени; в первом случае, следовательно, величина (х,хь) вещественна и симметрична по индексам г, Й, а во втором -- мнима и антисимметрична.
В 3119 была написана система уравнений (119.8), которой подчиняются корреляционные функции квазистационарных флуктуаций. Эти уравнения легко решаются с помощью спектрального разложения. Поскольку уравнения (119.8) относятся только к временам ~ ) О, производим над ними лодностороннсе» преобразование Фурье: умножаем уравнения па е™ и интегрируем по Ж в пределах от 0 до са. При этом член е'~~~рн(1) интегрируется по частям,: учитывая, что ~рп(сс) = О, получим — ~ри(0) — йц(хгх~)~, ) = Лсь(хьх1)~~~ ~~ где введено обозначение 427 спектРАльнОе РАзложение ФлуктуАссгсЙ в этом легко убедиться, представив интеграл от — со до +ос в виде суммы двух интегралов (от — со до 0 и от 0 до +ос), заменив в первом из них 1 -э — 1 и воспользовавшись свойством симметрии (119.2).
Таким образом, окончательно находим (х;хь)„= (~ — гсо)3), + (~ + сснпл, (122.17) В силу свойств симметрии матриц с,сс, и Щь, величины (122.17) автоматически обладают свойствами (122.14) ') . Полученные результаты можно представить в другом виде, введя в релаксационные уравнения «случайные силы» подобно тому, как это было сделано в конце 3118 для одной флуктуирующей величины. При этом корреляционные свойства этих сил формулируются в особенно простом виде, если ввести их в уравнения, записантсые с помощью термодинамически взаимных величин -как это сдолано в (120.5) или (120.13).
Так, введя шсучайные силы 1'; в уравнения (120.13), запишем их в виде Ху, — — — с'свхь + )'з,,' (122.18) (У1'ь) = 4ь+ чь . (122.19) Как и в (122.10), эти величины не зависят от частоты. Если же ввести случайные силы у, в уравнения (120.5): (122.20) х, = —.)ЕЕ Х» + 9„ то для их корреляционной функции получится аналогичная фор- мула су'И) = Ъь+ Ъ. (122.21) Эта формула очевидна без новых вычислений, если снова вспомнить о взаимном характере соответствия между величинами х; и Х, (см.
примеч. на с. 384). Преимущество формул (122.19) 1 ) Матрица величин Щь всегда симметрична. Но если некоторые х, и х» ведут себя по-разному при обращении времени, то соответствующее сч,ь = О. Это следует из того, что,З,» есть коэффициент при произведении х,хс„. в квадратичной форме (111.1), определяющей изменение энтропии при отклонении от равновесия. Поскольку энтропия инвариантна относительно обращения времени, а произведение х,хь меняет знак, то энтропия не может содержать такого члена, т. е. должно быть оы = О. величинами У, можно пренебречь, когда х; становятся больше своих средних флуктуаций.
Аналогично тому, как это было сделано при выводе (122.10), получим после простого вычисления следующую формулу для спектрального разложения корреляционных функций случайных сил: 428 гл, хп тлхктмлции и (122.21) состоит в том, что в них входят компоненты самих матриц ~ллй и улы а не обратных им| ') .
В качестве примера применения поллученных формул рассмотрим флуктуации одномерного осциллятора. Другими словами, рассмотрим тело, покоящееся в равновесном положении (льу = О), по способное совершать малые колебания по некоторой макроскопической координате Я. Ьлагодаря флуктуациям координата Ц будет в действительности испытывать отклонения от значения с„л = О.
Средний квадрат этого отклонения определяется непосредственно по коэффициенту в квазиупругой силе, действующей на тело при его отклонении. Напишем потенциальную энергию осл1илзлятора в виде лньлоо С. г 2 где гп - его «масса» (т. е. коэффициент пропорциональности между обобщенным импульсом и скоростью Я: Р = лпф, а ало- частота свободных колебаний (в отсутствие трения). Тогда средняя квадратичная флуктуация (ср, задачу 7, 2112) будет равна (у~г) Т (122.22) ои 'а Сллектральное разложение флуктуаций координаты произведем для общего случая, когда колебания осциллятора сопровождаются трением.
Уравнения движения осциллятора с трением гласят: (122.23) Р=- Я вЂ” 7 —, г Р (122.24) лп где-. уР/пл = — ул,) есть сила трения. Как было объяснено в 2121, если рассматривать Я и как величины хл н хг, то соответствующими Хл и Хг будут: гпол~~~Я/7" и Р(плХ. Уравнения (122.23), (122.24) играют при этом роль соотношений х; = = — ТлйХь так что 'уы = О, 'уьг = — 'угл = — 7'л 'угг = уТ. ') Независимость выражений (122.19) и (122.21) от частоты означает (как и в случае формулы (122.10) для одной флуктуируюнлей величины), что сами корреляционные функции (л',(1)1'л(0)) и (уь(1)ул(0)) содержат б-функцию времени. Так, (у (1)ул(0)) = (З л + Чл )б(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
