V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 77
Текст из файла (страница 77)
(116.14) пай) Задача Определить первый член разложения корреляционной функции разреженяого газа по степеням гГ)(11 Р е ш е н и е. Исходим из формулы (79.2). В первом приближении можно считать, что все остальные частицы, кроме двух заданных, находятся вдали друга от друга и их взаимодействием можно пренебречь, так что интегрировшеия дают Гк . С той же точностью можно положить Е = Е„„. В результате находим и(г) = й(е Оп — 1), где с'(г) — энергия взаимодействия двух частиц газа.
Отметим, что подстановка этого выражения в (79.1) дает для энергии газа Этот результат находится, конечно, в соответствии с формулами (74.4), (74.б) для свободной энергии слабо неидеального газа. 9 117. Корреляция флуктуаций плотности в вырожденном газе Как уже было отмечено в предыдущем параграфе, в классическом идеальном газе никакой корреляции между положениями различных частиц вообще нет.
В квантовой механике, однако, такая корреляция возникает ввиду косвенного взаимодействия частиц идеального газа в силу принципа симметрии волновых фу ций') . Задача об определении корреляционной функции в вырожденном газе наиболее просто может быть решена методом вторичного квантования (который уже был применен в 980 для вычисления энергии электронного газа).
') Корреляция флуктуаций в ферми-газе была рассмотрена В. С. свурсовым (1937), а в бозе-газе - А. Д. Галаниных~ (1940). 404 Флуктуации Гл, хп Как известно, в этом методе плотности числа частиц отвечает оператор п(г) = ф~(г)ф(г); после подстановки у)-операторов (80.5) он выражается суммой й(г) = ~~! а~т ар и ф* (г)фр „(г), (117.1) !»мрр' где суммирование производится по всем значениям импульсов р, р' (для свободных частиц в обьеме )') и по проекциям спина о, сг~') . По ввиду ортогональности спиновых волновых функций, отвечающих различным значениям !т, фактически отличны от нуля лишь члены суммы с !т = и!.
В произведениях ф* !)!р нормированные спслновые множители дают единицу, так что волновые функции можно писать просто в виде координатных плоских волн »рг/6 узр — — е (117. 2) 1 Х п,р — — — — — п. р -Е /г !э Поэтому можно написать ! 1хп = Г!(г) — п = ~~! ар~ ар „!)!р»)!р, (117.3) !ГРР где штрих у знака суммы означает, что диагональные члены в ней должны быть опущены. С помощью этого выражения не представляет труда вычислить интересугощее нас среднее значение (хат!1схпз). Вычисление среднего значения производится в два этапа.
Прежде всего надо произвести квантовомеханическое усреднение по состояниям частиц. Это усреднение сводится к взятию соответствующего диагонального матричного элемента данной ) Напомним, что волновые функции частицы со спином представляют собой спиноры и произведение волновых функций в (117.1) является н дейстнительности «скалярным произведением» ковариантного и контрвариантного спиноров с соответствующим суммированием по спинорным индексам (с которыми не следует смешивать индексы и, о', указывающие собственные значения проекции спина в данных состояниях).
Легко видеть, что диагональные члены суммы (П7.1) (р = р') дают как раз средпгою плотность и: поскольку оператор ар',ар есть просто число частиц пр в данном квантовом состоягсйи, то сумма этих членов равна 1 ) (г когеиля)гия злзктмлпий плотности в выгождвияом глзв 405 величины. Перемножив два оператора (117.3), относящиеся к двум различным точкам г1 и г2, мы получим сумму членов, содержащих различного рода произведения операторов ари, а р взятых по четыре. Но из всех этих произведений имеют диагональные матричные элементы лишь те, которые содержат две пары операторов йр„, а~~ с одинаковыми индексами, т.е. члены Е .= !- ( а)ззар иаи, арпзрр(ГЗ)за(Г()зГр~(Г2)зрр(Г2).
ирр' Эти члены представляют собой диагональные матрицы, причем ар~~ар.. = 1 ~ пр и, арпар~ — — при (здесь и везде ниже верхний знак относится к случаю статистики Ферми, а нижний к статистике Бозе). Подставляя также функции з(Ур (117.2), получим —..К РзЪ.),. з (-'(и — з)( — )~. ирр' Это выражение должно быть теперь усреднено в статистическом смыш)е, т.е. по равновесному распределению частиц по различным квантовым состояниям.
Поскольку частицы, находящиеся в различных квантовых состояниях, ведут себя независимо друг от друга, то усреднение чисел при и пр производится независимо. В результате для искомого среднего значения находим з (зи,змг) = — '2' (1 зз...)з ., (-'(з- з )(„ ~з ирр' (117.4) От суммирования по р, р' перейдем теперь обычным образом к интегрированию по Р ~12рГз12р'/(2яг()е (при этом ограничение р ~ р' становится несущественным).
Интеграл разбивается на две части, из которых первая есть а(з,~з ~ (пр„ехР -(Р— Р )(га — г) ) (6 ) (2яа)~ Интегрирование по (Рр',((2зг6)з дает 6-функцию и'(г2 — г) ), кото- РаЯ ПОЗВОЛЯЕТ ПОЛОжИтЬ Г2 — Гз = О В ОСтаВШЕМСЯ ПОДЫНтЕГРаЛЬ- пом выражении; после этого остается д(г2 — г!) ~~ ~про 3 па(г2 — гз). рк (2„ь)з 466 тлхктуяции гл, хп В равновесном газе распределение частиц по квантовым состояниям дается формулой распределения Ферми или Бозе пр„= п„= (е)е ")7 ш 1~ (117.6) Эти числа не зависят от сг; поэтому суммирование по сг в (117.5) дает просто множитель я = 2я + 1 (я спин частицы). Таким образом, получаем окончательно следующую формулу для корреляционной функции '): 2 п / еи ЯП ш1 (2гй) (117.
7) или после интегрирования по направлениям р К з1 (» 7а)»с1» и(г) = ~ 4язйгзьз е( — опт с 1 о (117.8) Приведем также формулу для средних квадратов компонент Фурье флуктуаций плотности, которую легко получить, подставляя и„из (117.7) в общую формулу (116.13) и производя интегрирование по координатам-): из (~Лик~2) = и I пр(1 ~ пр,у,),.
(117.9) М / (2гй) Из формулы (117.7) видно прежде всего, что для ферми-газа и(г) ( О, а для бозе-газа р(г) > О. Другими словами, у бозе-газа присутствие в некоторой точке пространства частицы увеличивает вероятность нахождения другой частицы вблизи этой точки, т.е. частицы испытывают своеобразное притяжение. В ферми-газе, напротив, частицы проявляют аналогичное отталкивание (ср, замечание в конце 3 56). ') В случае бозе-газа зта формула относится только к температурам выше точки бозе-зйнштейновской конденсации (см. задачу 4).
з ) Не смешивать фурье-компоненты флуктуаций плотности газа Сзпь с числами заполнения квантовых состояний частиц Ир! Это есть как раз первый член в формуле (116.3). Поэтому для корреляционной функции (второй член в (116.3)) находим следующее выражение: 2 и(г) = + — ~з ! е""~~й», . (117 5) п ) ~~ (2яй) з а э 117 коггкляция иль ктхкций плотности в выгождкнном гхзв 407 В соответствии со сказанным в начале этого параграфа в классическом пределе корреляционная функция обращается в нуль: при 6 э 0 частота осциллирующего множителя ехр/дарг/6) в подынтегральном выражении в /117.7) неограниченно возрастает, и интеграл стремится к нулю. При т э 0 функция и1т) стремится к постоянному пределу: 2 гг/0) = '+ — / пр ",, — — '+ —.
1117.10) и / 12яй) Применим формулу /117.8) к ферми-газу при Т = О. В этом случае функция распределения есть ступенчатая функция: пр — — 1 пРи Р ( РР и пр — — 0 пРи Р > РР, где РР = йг/бк~й/8) '/з —— граничный импульс. Поэтому находим Рк 2 г /т) = — . рейн — е/р / . рг 4х~ 6" Ит г/ 6 о Рассмотрим не слишком малые расстояния будем считать, что ррт/6 » 1. Соответственно этому вычисляем интеграл, сохранив лишь член с наименьшей степенью 1/т: гг1т) г 4 соэ — = — г в 1 + сов . 1117.11) з6 2 р, з6 / 2ркт 1 г 4 6 4хгргтг ~ 6) Косинус быстро меняется на интервалах Ьт, малых по сравнению с рассматриваемыми расстояниями.
Усреднив по такому интервалу, найдем / ) 2 4' 36 4я ре'~ /117.12) ~яйрг~ 266 п /2х)зйг)г 4рг )г 2. Определить корреляциогпгую функцию для ферми-газа при температурах, низких по сравнению с температурой вырождения. Р е ш е н и е. В интегрюге в /117.8) полагаем р гг = рг~/2пг и преобразуем его следующим образом: /' рз1пйрт/1г)йр д /' совОгт/йг)1р ,/ .э-- и' О.,/ .~ -"нт о о Задачи 1. Определить средний квадрат фурье-когшопент /с малыми волновыми векторами: 6 (( рг/йг) флуктуаций плотности в ферми-газе при Т = О. Р е ш е н и е.
Поггынтегральное выражение в /П7.9) отлично от нуля /и равно единице) лишь в точках, в которых пг — — 1, пгетк = О, т. е. в точках, принадлежащих сфере радиуса рг и в то же время не принадлежащих сфере того же радиуса с центром, сдвинутым на йгк. Вычисляя объем этой области при 66 « рк, получим 408 гл, хп елхктхлции Производим интегрирование по частям, после чего вводим новую переменную х = рг(р — рг))п~Т.
Ввиду малости Т подынтегральное выражение быстро убывает с ростом ~х~, и потому интеграл по Нх можно распространить от †до +со: , д 1 1 . 7'рг Л дх 1 = -б — — ~ е)п — г ч-Лхг) дг г .I 1, 6,/ (е*+ 1)(е *+ 1) , д ) з) (ркг(й) дг! г / (с*4-1)(е 4-1)~ (где Л = тГ)11рг). Получившийся интеграл подстановкой (е" 4- 1) = и приводится к В-интегралу Эйлора, и в результате получается Для расстояний г » Црг усреднив быстро люнякпцийся квадрат косинуса, получаем окончательно 3(тТ)л з (ктТгЛ 463 3 ь При Т э 0 эта форгиула переходит в (117.11). В асимптотической области, где грг/11 велико не только по сравнению с 1, но и по сравнению с ге)Т, имеем 31тТ)' 1' 2 Тгх м1г) = — . ехр Ьр~г гз )х брг 3.
Определить корреляционную функцию для бозе-газа на больших расстояниях (г » б/тТ) при температурах выше точки Те начала бозе-эйнштейновской конденсации,но близких к яей. Р е ш е н и е. Вблизи точки Тл химический потенциал )д) мал (гм, задачу к З бй). При этом интеграл в (117.7) (обозначим его 1) определяется областью малых значений р; е)Т р )тТ ~д~)Т << 1. Поэтому, разлагая подынтегральное выражение по е н д, находим 1 1 е" 1~ йлр тТ ~ '12т)з)) 1 л = з ехр рл/2т Ч- ~д~ (2яблг)з 2яб~г ~ Ь ') Использована формула фурье-лреобразования /' '.-" .= „ /' г " ь 4л е™ дй г — е ' '~Л'= г згз + йю,l мз + йл (2л)з 4х~ Ее пРоще всего можно полнчиттч заметив, что фУнкциЯ |Р = е '1г Удовлетворяет дифференциальному уравнению ЛЛл — зг ~р = — 4лп(г). Умножив обе части этого уравнения на е '~' и интегрируя по всему пространству (причем интеграл от е ш"Ьу берется дважды по частям) получим требуемый результат.
409 корреляция елхкттвций во врхмкни 1 118 Окончательно 4. Определить корреляционную функцию бозе-газа при Т < Та. Р е ш е н н е. При Т < Та конечная доля числа частиц (Ю,=а) находится в состояниях с р = 0 (кондепсат). Возвращаясь к вырюкению (117.4), надо предварительно (до перехода от суммировшаия к интегрированию) выделить в нем члены с равным нулю р или р, учитывая при этом, что число частиц в каждом из квантовых состояний с р = 0: яр=а = Х,=а(й. После этого сумма преобразуется, как это было сделано в тексте, и в результате вместо (117.7) находим 1з (2хй)э (где па = Х =а/й).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
