V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Аналогичную формулу можно получить и для внутренней энергии тела Е. Внутренняя энергия, отнесенная к одной частице, равна 17 — Рн (при равной нулю температуре и энтропии); поэтому энергия, отнесенная к единице объема, есть -(Хг — Рн) = —, — Р = ОР 1 рр 6 7П (в последнем равенстве использованы формулы (108.5), (108.6)). Поэтому внутренняя энергия всего тела Е = и Р сй' = — — 'Егр — — — —. (108.8) 3 б — 77 Л Наконец, полная энергия тела 3 — п СЛХ' Еполн — Е + Егр— б — и Л, (108.9) Для нерелятивистского вырожденного газа имеем и = 3,7'2, так что') 6 О7717 Е 3 С77Х Е 3 Б77Х (108 10) 7 Л ' 7 Л ' 7 Л В ультрарелятивистском же случае имеем и = 3, так что Егр — Е = — —, Еполн = 0 (108 11) 2 Л Полная энергия равна в этом случае нулю в соответствии с из- ложенными в предыдущем параграфе качественными соображе- ниями о равновесии такого тела') . 3 109.
Равновесие нейтронной сферы Для тела с, большой массой существуют две возможности равновесного состояния. Одна из них соответствует электронно-ядерному состоянию вещества, как это предполагалось при чигченных оценках в 3 107. Другая же соответствует нейтронно- ') Заметим, что в этом случае 2Е = — Е,р в соответствии с известной из механики теоремой вириала, примененной к системе частиц, взаимодействующих по закону Ньютона (см.
1, з 10). )Напомним,во избежание недоразумений,что релятивистская внутренняя энергия Е (а с нею и Е „„в (108.11)) включает в себя также и энергию покоя частип (создающих давление Р). Ею7и же определить Е, „как «энергию связиь тела (отсчитываемую от энергии вещества, рассеянного по пространству), то энергия покоя частиц должна быть вычтена из нее. 376 авойствх вкщватвл пги очкнь волыпих плотностях гл, хл му состоянию вещества, в котором почти все электроны захвачены протонами и вещество можно рассматривать как нейтронный газ. При достаточно больших массах тела вторая возможность во всяком случае должна стать термодинамически более выгодной, чем первая (Иг.
Вводе, г. Ушлому, 1934). Хотя превращение ядер и электронов в свободные нейтроны и связано со значительной затратой энергии, но при достаточно большой полной массе тела эта затрата будет с избытком компенсирована освобождением гравитационной энергии, связанным с уменьшением размеров и увеличением плотности тела.
Прежде всего исследуем вопрос о том, при каких условиях нейтронное состояние тела вообще может соответствовать какому бы то ни было термодинамическому равновесию (хотя бы и метастабильпому). Для этого исходим из условия равновесия д + тплд = солгав, где лл —. химический потенциал (термодипамлический потенциал, отнесенный к одному нейтрону), т,„масса нейтрона, у — гравитационный потенциал. Поскольку на границе тела давление должно быть равно нулю, ясно, что в некотором внешнем слое вещество будет иметь небольшие давление и плотность и, следовательно, будет находиться в электронно-ядерном состоянии.
Хотя толщина такой «оболочки» и может оказаться сравнимой с радиусом внутреннего плотного нейтронного «ядра», тем не менее благодаря значительно меньшей плотности этого слоя его полную массу. можно считать малой по сравнению с массой ядра') . Сравним значения лл + тяез в двух местах: в плотном ядре вблизи его границы и вблизи внешней границы оболочки. Гравитационный потенциал в этих точках можно считать равным — СМ/Л и — СМ/Л', где Л н Л' радиусы ядра и оболочки, а М масса ядра, совпадающая в нашем приближении с полной массой тела.
Что касается хими леского потенциала, то он в обоих случаях определяется в основном внутрешлей энергллей (энергиейл связи) соответствующих частиц, больлпой по сравнению с их тепловой энергией. Поэтому разность обоих химических потенциалов можно положить |завной просто разностлл приходящейся на единицу атомного веса энергии покоя нейтрального атома (т, е, ядра и Я электронов) и энергии покоя нейтрона; обозначим эту величину через Ь.
Таким образом, приравнивая значения лл + гпяллз в двух рассматриваемых хлестах, получим твМС( — — —,) = Ь. 1 ) Разумеется, никакой резкой границы между «ядром» и «оболочкой» нет, и переход между ними совершается непрерывным обралом. 377 Равновесие ИНЙРРОннОЙ ОФНРы Отсюда видно, что, каким бы ни был радиус Л', масса и радиус нейтронного ядра должны удовлетворять неравенству > Ь. (109.1) С другой стороны, применив результаты з107 к сферическому телу, состоящему из вырожденного (нерелятивистского) нейтронного газа.
мы найдем, что М и Л связаны друг с другом соотношением МЛа9 36 Р03О кмз с' Рла (109.2) (формула (107.10), в которой надо заменить гпе и т' на тв). Выразив отсюда М через Л и подставив в (109.1), получим нера- венство для М. Численно оно дает М > 02О. —,Ь для коьгпенсашли энергии связи ядер. С другой стороны, при этом произойдет освобождение энергии за счет сжатия тела; согласно формуле (108.10) этот выигрыш в энергии равен где Л вЂ” радиус тела в нейтронном состоянии, определяемый формулой (109.2), а Л, радиус тела в электронно-ядерном состоянии, определяемый формулой (107.10). Поскольку Ле» Л„, ') Подчеркнем, что численным оценкам в этом параграфе, основанным на простых предположениях о структуре тела, не следует придавать слишком буквальный астрофизический смысл.
Так, взяв значение Ь для кислорода, полу.чим М > 0,17О, для железа М > 0,18О Таким массам соответствуют радиусы Л < 26км') . Полученное неравенство определяет нижний предел масс, за которым нейтронное состояние тела вообще не может быть устойчивым.
Однако оно еще не обеспечивает полной устойчивости состояния, которое может оказаться метастабильным. Для определения границы метастабильности надо сравнить полные энергии тела в обоих состояниях: нейтронном и электронно-ядерном. С одной стороны, переход всей массы М из электронно-ядерного состояния в нейтронное требует затраты энергии 378 свойства вкщкотвл пги очкнь волыпих плотностях гл, х~ то величиной 1/77е можно пренебречь., и мкы получаем следующее условие, обеспечивающее полную устойчивость нейтронного состояния тела (индекс у Л„опускаем): '>Ь. (109.3) Сравнивая это условие с ушювием (109.1) и учитывая (109.2), мы видим, что определяемый неравенством (109.3) нижний предел массы в (7/3)314 = 1, 89 раз выше, чем получающийся из (109.2). Численно граница метастабильности нейтронного состояния лежит, таким образом, при массе М вЂ” 1,13О (и радиусе  — 22 км) ') .
Перейдем к вопросу о верхнем пределе значений массы, при которых нейтронное тело может находиться в равновесии. Если 6ы мы применили результаты 3 107 (формулу (107.17) с тп вместо т'), то мы получили бы для этого предела значение 6О. В действительности, однако, эти результаты неприменимы к данному случаю по следующей причине. В релятивистском нейтронном газе кинетическая энергия частиц порядка величины (или больше) энергии покоя'), а гравитационный потенциал ~р с~. Ввиду этого становится незаконным применение ньютоновской теории тяготения, и вычисления должны производиться на основе общей теории относительности. При этом, как мы увидим ниже, оказывается, что ультрарелятивистский случай вообще не достигается: поэтому вычисления должны производиться с помощью точного уравнения состояния вырожденного ферми-газа (см, задачу 3 к 361). Вычисления производятся путем численного интегрирования уравнений центрально-симметрического статического гравитационного поля и приводят к следующим результатам' ) .
Предельное значение массы равновесного нейтронного шара оказывается равным всего М,„а = 0,76О, причем это значение достигается уже при конечном (равном й 1„=9,4 км) его радиусе; на рис. 52 изображен график получающейся зависимости ') Средняя плотность тела при этом равна 1,4 101з г/смэ, так что нейтронный гаэ действительно сщс можно считать нерелятивистским, и использование применяемых нами формул е|це законно. е) В электронном же релятивистском газе кинетическая энергия частиц сракнима с энергией покоя электронов, но все еще мала по сравнению с энергией покоя ядер, составляющих основную массу вещества.
а) За подробностями вычислений отсылаем к оригинальной статье: Орреойеивег У. о., угойо)1 С. М.ОРЬуэ. Век.— 1939. — г'. 55.— Р. 374. 379 РавновеОив нейтРОннОЙ оевгы 5 109 массы М от радиуса й. Устойчивые нейтронные сферы большей массы или меныпего радиуса, таким образом, не могут существовать. Следует указать, что под массой М мы пон|лмаем здесь произведение ЛХ = №ив| где Лг — полное число частиц |гх» (14ейтронов) в сфере. Эта величина не совпадает с гравитацион- 04 ной массой тела М,р, определяю- од щей создаваемое им в окружающем пространстве гравитацион- 0 4 8 12 16 20 24 28 32 и „„ Н,км нос поле. Благодаря «гравитационному масхидефектуа в устойчи- Рис. 52 ВЫХ СОСТОЯНИЯХ ВСЕГДа М,р ( М (В ЧаСтНОСтИ, ПРИ )т' = 77п|1в М,р — — 0,95М) ') .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
