V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Тогда условие химического равновесия напишется в виде — е,12 + )2,(пе) = — е,!я ! или, вводя обозначение ел я — еА,я ! = Гл: !44(!!Е) = 44. Воспользовавшись формулой (61.2) для химического гютенциала ультрарелятивистского вырожденного газа, получаем отсюда ~з П — 2 3 ° (106 А) 3!г!(Вл)2 Таким образом, условие равновесия приводит к некоторому постоянному значению электронной плотности.
Это значит, что при постепенном увеличении плотности вещества рассматриваемая ядерная реакция начнется, когда электрош1ая плотность достигнет значения (106.4). При дальнейшем сжатии вещества все большее число ядер будет захватывать по электрону, так что общое число электронов будет уменьшаться, но их плотность будет оставаться неизменной. Вместе с электронной плотностью будет постоянным также и давление вещества, которое по-прежнему определяется в основном давлением электронного газа; именно, подстановка (106.4) в (106.3) дает 4 Р= (106 Г)) 1 2 п~ (яп!) 2 Так будет продолжаться до тех пор, пока все ядра пе захватят по электрону. 365 РАБНОВВСИБ ТЕЛ С ВОЛЬВ!ОЙ МАССОЙ 4 !07 При еще бблыпих плотностях и давлениях будет происходить даз!ьнейший захват электронов ядрами, сопровождающийся дальнейшим уменьшением заряда последних.
В конце концов ядра, содержащие стишком много нейтронов, станут неустойчивыми и распадутся. При плотности р 3 104! г71сх4~ (и давлении Р 1004 бар) нейтроны начинают преобладать по своему числу над электронами, а уже при р 10!в г!!Смз начинают преобладать и по создаваемому ими давлению (Е Нипд, 1936). Здесь начинается область плотностей, в которой вещество можно рассматривать в основном как вырожденный нейтронный фермигаз с неболыпой примесью электронов и различных ядер, концентрации которых определяются условияыи равновесия соответствующих ядерных реакций.
Уравнение состояния вещества в этой области есть Р =, ра10 = 5,5 10ар'"Р бар. (106.6) 5 В1,", где тп — масса нейтроеш. Наконец, при плотностях р )> 6 10!'г!!Сма вырожденный нейтронный газ станет ультрарелятивистским, а уравнение состояния будет определяться формулой (зя!) !и, А 47а Р = йс( Л ) = 1 2 10 р~1вбар (106 7) 4 ти„ Следует, однако, иметь в виду, что при плотностях порядка плотности вещества ядер становятся существенными специфические ядерные силы (сильное взаимодействие ну клонов). В этой области значений плотности формула (106.7) может иметь лишь качественный смысл. При современном состоянии наших знаний о сильных взаимодействиях нельзя сделать сколько-нибудь определенных заключений и о состоянии вещества при плотностях, значительно превосходящих ядерную.
Отметим лишь, что в этой области следует ожидать возникновения, наряду с нейтронами, также и других частиц. Поскольку частицы каждого рода заполняют свой отдельный ряд состояний, то превращение нейтронов в другие частицы может оказаться термодинамически выгодным вследствие умсныпения граничной энергии фермиевского распределения нейтронов. 3 107.
Равновесие тел с большой массой Рассмотрим тело очень болыпой массы, части которого удерживаются вместе силами гравитационного притяжения. Реальные тела большой массы известны нам в виде звезд, непрерывно излучающих энергию и отшодь не находящихся в состоянии 366 ОВОЙС'ТВА ВЕП!ЕОТВА ПРИ О 1ЕНЬ ВОЛЬП!ИХ ПЛОТНОСТЯХ ГЛ.
Х! теплового равновесия. Представляет, однако, принципиальный интерес рассмотрение равновесного тела большой массы. При этом мы будем пренебрегать влиянием температуры на уравнение состояния, т.е. будем рассматривать тело находящил1ся при абсолютном нуле («холодноеэ тело). Поскольку в реальных условиях температура наружной поверхности значительно ниже, чем внутренняя температура, рассмотрение тела с отличной от нуля постоянной температурой во всяком случае лишено физического смысла. Будел1 далее предполагать тело иевращающимся; тогда в равновесии оно будет иметь сферическую форму, и распределение плотности в пем будет центрально-симметричным.
Равновесное распределение плотности (и других термодипамических величин) в теле будет определяться следующими уравнениями. Ньютоновский гравитационный потенциал 1р удовлетворяет дифференциальному уравнению 1Л1р = 4ЛСр, где р плотность вещества, С ньютоновская гравитационная постоянная; в центрально-симметричном случае имеем —., — (Г~ — П) = 4ЛСр. (107.1) Кроме того, в тепловом равновесии должно выполняться усло- вие (25.2); в гравитационном поле потенциальная энергия части- цы с массой т есть т'1р, так что имеем р + т 1р = сопе1! (107.2) где т' масса частицы тела, а у химического потенциала вещества в отсутствие поля для краткости опущен индекс нуль. Выразив 1р через р из (107.2) и подставив в уравнение (107.1), мы можем написать последнее в виде 1 4 / Е4!1'! 1 —,— ! à — ! = — 4пт Ср.
4,) (107.3) При увеличении массы гравитирующего тела возрастает, естественно, и его средняя плотность (это обстоятельство будет подтверждено следующими ниже вычислениями). Поэтому при достаточно большой полной массе ЛХ тела можно, согласно изложенному в предыдущем параграфе, рассматривать вещество тела как вырожденный электронный ферми-гэз сначала нерелятивистский, а затем, при еще ббльших массах, релятивистский.
367 РАВнОВесие тел с БОлыпОЙ мАссОЙ з 107 Химический потенциал нерелятивистского вырожденного электронного газа связан с плотностью тела р равенством Рх ) л 27'3 (107.4) (107. 5) Обладающие физическим смыслом решения этого уравнения не должны иметь особенности в начале координат: )з — Р сопв1 при г — э О. Это требование автоматически приводит к условию для первой производной ()р — =0 ри Й (107.6) как это непосредственно следует из уравнения (107.5) после ин- тегрирования по г)г: Ф й 1 д зуя — — — 7' Р ' Г1Г. ь .'/ о ) Легко видеть, что для электрически нейтрального газа, состоящегО из электронов и атомных ядер, условие равновесия можно писать в виде (107.2) с химическим потенциалом электронов в качестве и и с массой, приходящейся на один электрон, в качестве т . Действительно, вывод этого условия равновесии Я 20) связан с рассмотрением переноса бесконечно малого количества вещества из одного места в другое.
Но в газе, состоящем из заряженных частиц обоих знаков, такой перенос надо представлять себе как перенос некоторого количества нейтрального вещества 1т.е. электронов и ядер вместе). Разъединение зарядов обоих знаков энергетически весьма невыгодно благодаря возникающим при этом очень большим электрическим полям.
Поэтому мы получим условие равновесия в виде р„л+гр... +(т.,+г „) р=о (на одно ядро приходится г электронов). Вследствие большой массы ядер 1по сравнению с массой электронов) их химический потенциал очень мал по сравнению с р,„. Пренебрегая р„л и разделив уравнение на г, получим и, -Ртр=о. Как и в з 10б, при численных оценках в этом параграфе будем полагать т' равной удвоенной массе нуклона (т' = 2гп„). (форьгула (57.3), в которую подставлено р = газу'(Ъ'; гп' — мас- са, приходящаяся на один эзгектрон, 1п„электронная масса). Выразив отсюда р через )з и подставив в (107.3), получим сле- дующее уравнение '): 368 овойствА ввщвотвА пгв о ~внь вольшвх плотностях Ряд существенных результатов можно получить уже путем применения к уравнению (107.5) простых соображений размерности.
Решения уравнения (107.5) содержат лишь два постоянных параметра постоянную Л и, например, радиус тела Л, заданием которого однозначно определяется выбор решения. Из этих двух величин можно образовать всего одну величину с размерностью длины - самый радиус Л, и одну величину с размерностью энергии: 1/(ЛвЛ~) (постоянная А имеет размерность см в эрг ыв). Поэтому ясно, что функция д(г) должна иметь вид д(г) = —,, 7'( — ), (107.7) где )' некоторая функция только от безразмерного отношения г/Л.
Поскольку плотность р пропорциональна да~~, то распределение плотности должно иметь вид рЯ = — Г( — ). Таким образом, при изменении размеров сферы распределение плотности в пей меняется подобным образом, причем в подобных точках плотность меняется обратно пропорционально Л~. В частности, средняя плотность сферы будет просто обратно пропорциональна Лв: 1 Р сю Полная же масса М тела, следовательно, обратно пропорцио- нальна кубу радиуса: 1 М сю— ДЗ Эти два соотношения можно написать также в виде ЛсюМ '~з, рсюМ. (107.8) Таким образом, размеры равновесной сферы обратно пропорциональны кубическому корню из ее полной массы, а средняя плотность пропорциональна квадрату массы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
