V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Что касается вопроса о поведении сферического тела с массой, превышающей М„„, то заранее ясно, что оно должно стремиться неограниченно сжиматься. Исследование характера такого неудержимого гравитационного коллапса изложено в другом томе этого курса (см. 11, 9 102 104). Следует отметить, что принципиальная возможность гравитационного коллапса., неизбежного (для рассматриваемой модели сферического тела) при М ) М|пак, не ограничена в действительности большими массами. «Коллапсирующеев состояние существует для любой массы, но при М ( М а, оно отделено от статического равновесного состояния очень высоким энергетическим барьером') .
') Точка й = Ямы на рис. 52 есть в действительности точка максимума кривой ЛХ = ЛХ(Н). Эта кривая продолжается за точку максимума в виде закручивающейся спирали, асим|потически приближающейся к определенному центру. Параметром, монОтонно возраСтающим вдоль всей кривой, является плотность в центре сферы, стремящаяся к бесконечности для сферы, соответствую|цей предельной точке спирали (Н. А. Дмитриев, С. А. Холан, 1963).
Вся часть кривой при ХХ ( Н, „„ одпако,не соответствует устойчивому состоянию сферы. Изложение соответству|ощего исследования — ел|с Дми|приее Н. А., Холин С. Л.Х/Вопросы космогонии.— 1963.— Т.9; Гаррисон Б. К., Торн К. С., Бокано М., Уолер Дж. А. Теория гравитации и гравитационный коллапс.— Мс Мир, 1967 |оп1«егв11у о1' Сййсайо Ргезз, 1955). в) См. З~л~д~~~~ Я. В.О2КЭТФ. 1962. Т. 42.
— С. 641. ГЛАВА ХП ФЛМКТ.уАЦИИ й 110. Распределение Гаусса Уже много раз подчеркивалось, что физические величины, характеризующие равновесное макроскопическос тело, практически всегда с очень большой точностью равны своим средним значениям. Однако, как ни малы отклонения от средних значений, они все жс происходят (величины, как говорят, флукжуирдюгп), и возникает вопрос о нахождении распределения вероятностей этих отклонений. Рассмотрим какую-либо замкнутую систему, и пусть х есть некоторая физическая величина, характеризующая систему в целом или какую-либо ее часть (в первом случае это, конечно, не должна быть величина, остающаяся для замкнутой системы строго постоянной, как, например, ее энергия). В дальнейшем будет удобно полагать, что среднее значение х уже вычтено из х, так что везде ниже предполагается, что х = О. Изложенные в з7 рассуждения показали, что если рассматривать формальным образом энтропию системы как функцию от точных значений энергий подсистем, то функция е~ будет давать распределение вероятностей для этих энергий (формула (7.17)).
Легко, однако, заметить, что в этих рассуждениях не были использованы какие-либо специфические свойства энергии. Поэтому такие же рассуждения приведут к результату, что вероятность всличине х иметь значение в интервале между х и х+с~х пропорциональна е ~в), где я(х) энтропия, формально рассматриваемая как функция точного значения х. Обозначив вероятность через ю(х)йх, имеем') ш1х) = сопв1 е' ~~). (110.1) Прежде чем приступить к исстедовапию этой формулы, остановимся на вопросе о пределах ее применимости. Все рассуждения, которые привели к формуле (110.1), неявно подразу- ') Эта формула была впервые применена к исследованию флуктуаций А.
Эйнштейном П907). РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГАУССА 381 мевают классичность поведения величины х') . Поэтому надо найти условие, допускакицсе пренебрежение квантовыми эффектами. Как известно из квантовой механики, между квантовыми неопределенностями энергии и какой-либо величины х имеет место соотношение ЬЕЬх Бх, где х классическая скорость изменения величины х (см. П1, 8 16). Пусть т--. время, характеризующее скорость изменения интересующей нас величины х, которая имеет неравновесное значение-); тогда х х)т, так что ЬЕЬх йх т Ясно, что говорить об определенном значении величины х можно лишь при условии малости ее квантовой неопределенности: ьах « х, откуда ЬЕ » —.
т Таким образом, квантовая неопределенность энергии должна быть велика по сравнению с Цт. Энтропия же системы будет при этом иметь неопределенность ЬЕ» —. тт' Для того чтобы формула (110.1) имела реальный смысл, необходимо, очевидно, чтобы неточность энтропии была мала по сравнению с единицей: Т»-, т» —. (110.2) т т' Это и есть искомое условие. При слишком низких температурах или при слишком быстром изменении величины х (слишкоьг малом г) флуктуации нельзя рассматривать термодинамически, и на первый план выступают чисто квантовые флуктуации. ') Это не означает, конечно, что вся система должна быть классической.
Другие (помимо х) Относящиеся к нвй ввличины могут иметь квантовый характер. ~) Бремя т люжет пе совпадать со временем релакеапии для установления равновесия по величине х, а быть меныпе него, если величина х приближается к х, испытывая в то же время колебания. Так, если речь идет об изменении давления в небольшом участке тела (е линейными размерами а), то т будет порядка величины периода звуковых колебаний с длиной волны Л а, т.е.т а/е, где е -скорость звука. 382 елхктхлции гл, хи Вернемся к формуле (110.1). Энтропия Я имеет максимум при х = х = О.
Поэтому — =О, —, (О. ду гз2 ч =-о Д* *=-о Величина х при флук гуациях очень мала. Разлагая Я(х) в ряд по степеням х и ограничиваясь членом второго порядка, получим Я(х) = Я(0) — ~~х2, (110.3) где р положительная постоянная. Подставляя в (110.1), получим распределение вероятностей в виде ю(х)йх = Аехр( — — х )дх. 3 2 ю(х)г1х = ~/ — ехр( — '— х )Ах. 21 1/2л 2 (110 А) Распределение такого вида называется распределением Гаусса. Оно имеет максимум при х = 0 и быстро спадает с увеличением ~х,~ симметрично в обе стороны.
Средний квадрат флуктуации равен (х ) = х ю(х)дх = —. (110.5) Поэтому распределение Гаусса можно написать в виде (110.6) Как н следовало, ю(х) имеет тем более острый максимум, чем мЕньшЕ (Х2). Нормировочная постоянная А определяется условием ( ю(х) дх = = 1; хотя выражение для ю(х) относится к малым х, но ввиду быстрого убывания подынтегральной функции с увеличением ~х~ область интегрирования можно распространить на все значения от — оо до +со. Произведя интегрирование, получим А = „УД2л.
Таким образом, распределение вероятностей для различных значений флуктуации х определяется формулой ~ 1~1 РАопРеделение ГАуооА для нескольких вели гии 383 Отметим, что по известному (хэ) можно найти аналогичную величину для любой функции сз(). Ввиду малости х имеем '): Ы вЂ” о (110. 7) й 111. Распределение Гаусса для нескольких величин В предыдущелл параграфе мы рассматривали вероятность отклонения какой-либо одной термодинамической величины от ее среднего значения, не интересуясь при этом значениями других величин, т.
е. считая зна ления последних произвольными') . Аналогичным образом можно определить вероятность одновременного отклонения ряда термодинамических величин от своих СРЕДНИХ ЗНаЧЕНИй, Этн ОТКЛОНЕНИЯ МЫ ОбОЗНаЧИМ ЧЕРЕЗ Х1г ляг... ° хв ВВОДИМ ЭНтрОПИЮ Л'(Х1,... г Хв) КаК фуНКцИЮ раССМатрнваемых величин и пишем распределение вероятностей в виде и с(х1... дх„с ш из (110.1). Разлагаем л по степеням хб с точностью до членов второго порядка разность о — ло представится в виде существенно отрицательной квадратичной формы (очевидно, что )3гь = фьг). Ниже в этом параграфе мы будем опускать знаки суммирования и по дважды повторяющимся индексам везде подразумеваем суммирование (по всем значениям от 1 до и).
Таким образом, пишем: ~0 (1г 2)л'глхгхк ° (111.1) Подставляя это выражение в (110.1), находим для искомого распределения вероятностей формулу ш = А ехр(( — Ц2)(згах,хь). (111.2) Постоянная А определяется следующим условием нормировки ) юг(х1... сгхн = 1, в котоРом (по той же пРичине, что и в 3 110) интегрирование по всем хг можно производить в пределах ) Подразумевается, конечно, что функция ггг(х) мало меняется иа значениях х (хг)гег и что производная сгуггг)х отлична от нуля при х = О. ') Это значит, что функпия о(х), которой мы пользовались в з 110, представляла собой наибольшее значение, которое энтропия может принять при заданнолг неравновесном значении х. 384 гл, хп елзкттации от — оо до оо.
Для вычисления этого интеграла поступим следующим образом. Произведем над величинами х, линейное преобразование г (111.3) которое превращает квадратичную форму ))гьхьхь в сугиму квадратов х'.. Для того чтобы было г2 г )йгИХгХИ = Хг — = Х1ХЬбгй надо, чтобы коэффициенты преобразования удовлетворяли соотношениям 3 Определитель матрицы величин, стоящих в левой части этого равенства, равен произведению определителя )з = ~Дь~ и двух опРеДелителей а = ~ага).
ОпРеДелитель же ~бее~ = 1. ПоэтомУ из написанного соотношения следует, что )За = 1. (111.5) Якобиан линейного преобразования от переменных х, к переменным х'; есть постоянная величина определитель и. Поэтому после проведения преобразования нормировочный интеграл распадается па произведение и, одинаковых интегралов и г учетом (111.5) получим '() '"г( г*')'*'1 = Згг„гк =' Таким образом, находим окончательно распределение Гаусса для нескольких величин в виде „е ЕХР( )лгЬХгХ~ т тггд / 1 (111.6) (2я)"ге 2 Введем величины Х; = — до,г'дх, = )),ьхь, (111. 7) которые назовеы термодггнамически взаимными с величинами х, ') . Определим средние значения произведении х;Хь: уд / 1 (х1ХЬ) = .
1 хфмх1 ехр( — -(агах;хай Йхг... Йхв. (2 ) /е / / 2 ) Отметим, что при линейной зависимости (111.7) зта взаимность обоюдяая: еюги та же зятропия о' выражена через величины Х„то *, = -ая)йх,. (111.7а) Действительно, используя (111.7), имеем й5 = — Хгйхг = — Дь,х.,йхг = — х,й(гй,гхь) = — х,йХ,. 1 111 РАЕНРелеление ГАуооА для нкскольких Вели гин 385 Для вычисления интеграла допустим на минуту, что средние значения У, равны не нулю, а некоторым конечным хю. Тогда в 1111.б) надо писать х; — х1О вместо х1 и, согласно определению средних значений, получим хг =, / ' ' '/ хг ехр1 гдгкМг хааа)багха хкО)]г1х1 ° ° ° г1хи =хгО ° 12к)"гт „г ./ 2 Дифференцируя это равенство по хРО и полагая затем снова все х;О равными нулго, получим справа б1ы а слева как раз нужный нам интеграл. Таким образом, находим (хгХК) = Б,ы 1111.8) Подставив сюда 1111.7), полу гим: фк1(х1:г1) = б1ы откуда (х,хь) =,8;-„.', 1111.9) где рт', элемент матрицы, обратной матрице Щ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
