V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Средний квадрат флуктуации каждой из декартовых компонент скорости равен Т ((2~ *)') = —,,„,: (112.16) он обратно пропорционален массе тела. Из выведенных формул видно, что средние квадраты классических флуктуаций таких величин,как энергия, обьем, давление, скорость, обращаются при абсолютном нуле в нуль (пропорционально первой степени температуры). Это является общим свойством всех термодинамических величин, имеющих также и чисто механический смысл, но, вообще говоря, не относится к таким чисто термодинамическим величинам, как энтропия и температура. Формула (112.6) для флуктуаций температуры может быть истолкована еще и с другой точки зрения. Как мы знаем, понятие температуры может быть введено через посредство распределения Гиббса; при этовл температура рассматривается как Продиффсренцировав это выражение по и (при постоянных И и Т), получим ОЕТ ~(2уе,у~~) 1 х/1' ~ — Е„1 ы 1 (~2„-2) у~~) др Т , дд Т дд Но д1121др = †2, так что — = — Я1т12) — 1у ) = — Я111"2') ), д211 1 2 — 2 1, 2 ди Т Т откуда и получается формула (112.14).
Исходя из распределения Гиббса, можно было бы получить выражения и для флуктуаций других термодинамических вЕличин. 392 елхктуации гл, хп параметр, определяющий это распределение. В применении к изолированному телу распределение Гиббса полностью описывает его статистические свойства с той лишь неточностью, что оно дает весьма малые, но все же отличные от нуля флуктуации полной энергии тела, которых в действительности не должно быть (см.
стр. 106). Напротив, если считать энергию величиной заданной., то нельзя приписывать телу вполне определенную температуру, и надо считать, что посйледняя испытывает флуктуации, определяющиеся формулой (112.6), в которой С, будет теплоемкостью тела в целом. Эта величина, очевидно, характеризует точность, с которой может быть дано определение температуры изолированного тела. Задачи 1. Найти средний квадрат флуктуации энергии (пользуясь в качестве независимых переменных й' и Т).
Р е ш е н и е. Имеем ~Е=(") й+('~) ~Т= ~Т(") Рвай+С.ЬТ. Возводя в квадрат и усредняя,получим ((ЬЕ)е) = — ~Т ( — ) — Р~ Т ( — ) + С,Т~. ((Ьййг) ) (пользуясь переменными Р и о). и е. гДР'~ (( 111 )') = -Тй" ~ ~ ) + Т'С„. Ьй ), (ЬТЬР) (пользуясь переменными й', Т). и е.
(ЬТЬР) = Т (В' ) (Ьй'ЬР) (пользуясь переменными й, Т). и е. (Ьй ЬР) = — Т. (ЬЬЛй') (пользуягь переменными й', Т). 2. Найти Решен 3. Найги Решен 4. Найти Решен б. Найти Решен и е. (лдлп) = ~ — ) т /сэй' й — (,ВТ) „ 6. Найти (Гт$СъТ) (пользуясь переменными й', Т). Р е ш е н и е. (ЬЯсзТ) = Т. Т.
Найти средний квадрат флуктуационного отклонения вертикально висящего математического маятника. Р е ш е н и е, Пусть 1 — длина маятника, т — его масса, сэ — угол отклонения от вертикали. Работа Рч ы в данном случае есть просто механическая работа против силы тяжести при отклонении маятника; для малых ул Рь, „= (1/2)тд (Сэ~. Отсюда (ч') = 393 Флуктуации В идеальном ГАзе 8. Найти средний квадрат флуктуационного отклонения точек натянутой струны. Р е ш е н и е.
Пусть 1 — длина струны, à — сила ее натяжения. Рассмотрим точку, находящуюся на расстоянии х от одного из концов струны, и пусть р- ее поперечное смещение. Для определения (у ) мы должны рассмотреть равновесную форму струны при заданном смещении у точки ай она состоит из двух прямых отрезков, .проведенных из сочек закрепления струны в точку т, р. Работа, затрачиваемая при такой деформации струны, равна Я-а.=т( *' г' — 1 т~ Š—.1' ' — Š— *1 ' + — ) Г в /1 2 ~,х 1 — х Отсюда находим для среднего квадрата (р ) = — *(1-т)- Т Г1 9. Определить среднее значение произведения флуктуапионных смещений двух различных тОчек Струны.
Р е ш е н и е. Пусть у1, рз — поперечные смещения точек, находящихся на расстояниях т1, яз от одного из концов струны (причем тз ) я1). Равновесная форма при заданных 91 и уе составляется из трех прямых отрезков, и работа Г(з тз 1 — х1 1 В = — 1 Д1 + Де — 29191 2 1, т1(те — т1) Д вЂ” хеЦхв — я1) хз — хз) По формуле (111.9) найдем Т 191122) = — Е111 — хе). Г1 8 113. Флуктуации в идеальном газе Средний квадрат флуктуации числа частиц обычного идеального газа, находящихся в некотором выделенном в газе относительно малом объеме, мы найдем, подставив в формулу (112.13) 1г = МЧ (Р.
Это дает следующий простой результат: ((ААА Аг)2) аг (113.1) Относительная флуктуация числа частиц равна, следовательно, обратному квадратному корню из среднего числа частиц: й 1Ж)е) "е 1У,/У' Для того чтобы вьгчислить флуктуацию гисла частиц в идеальном газе Бозе или Ферми, следует воспользоваться формулой (112.14), подставив в нее выражение (56.5) для зт' как функции от )з, Т, г', зюлучаемое интегрированием соответствующей функции распределения.
Мы не станем выписывать здесь получающиеся таким способом довольно громоздкие выражения. 394 Флуктуации ГЛ. Хп Отметим лишь следующее обстоятельство. Мы видели, что у бозе-газа при температурах Т < Тэ (см. 362) давление не зависит от объема; другими с!!евами, его сжимаемость обращается в бесконечность. Согласно формуле (112.13) отсюда следовало бы, что флуктуации числа частиц тоже становятся бесконечными. Это означает, что при вычислении флуктуаций в бозе-газе при низких температурах нельзя пренебрегать взаимодействием его частиц, сколь бы слабым опо ни было; учет этого взаимодействия, которое должно существовать во всяком реальном газе, привел бы к конечным флуктуациям.
Далее рассмотрим флуктуации в распределении частиц газа по различным квантовым состояниям. Введем снова в рассмотрение квантовые состояния частиц (включая в это понятие также и различные состояния их поступательного движения), и пусть пь —. их числа заполнения. Рассмотрим совокупность пь !астиц, находящихся в к-и квантовом состоянии; ввиду полной статистической независимости этой системы частиц от остальных частиц газа (ср. ~ 37) можно применить к ней формулу (112.14): ((Ьпь) ) = Т (113.2) В применении к ферми-газу надо подставить сюда й ~ (ГУ Иь'Т + 1] Произведя дифференцирование, найдем ((ЬГ!)ь) ) = йь(1 — йь). Аналогичным образом найдем для бозе-газа ((Ьпь) ) = йь(1+йь). (113.3) (113.4) Для больцмаповского газа при подстановке г!ь = ехр((р — гь) (Т) получается, естественно, формула ((Ьг!ь)~) = йы ((ЬА! ) ~) = С й (1 ~ и ) = АГУ (1 ~ — '1 ! С! г ' (113.6) в которую переходят как (113.3) ! так и (113.4) при йв « 1.
Просуммируем формулу (113.3) или (113.4) по группе из С близких друг к другу состояний, содержащих всего А! = 2 пь частиц. В силу упомянутой уже статистической независимости флуктуаций различных пв получим 395 з м4 ФОРМУЛА ПУАСООНА где и обгцее значение близких друг к другу пв, а 4У'у = п,С . Полученные формулы можно применить, в частности, к черному излучению (равновесный бозе-газ фотонов), для чего надо положить в (113.4) р = О. Рассмотрим совокупность квантовых состояний фотонов (в объеме Ъ') с близкими значениями частот, лежащими в малом интервале мо", число таких состояний равно Су = )Уызьтсо /язсз (см. (63.3)).
Общая энергия квантов в этом интервале частот есть ЕА = Х, Ь ~ .. Умножив формулу (113.6) на (74со ) и опуская индекс ~. получим с целующее выражение для флуктуации энсрпли Еам черного излучения в заданном ингервале частот Ааоз (впервые найденное Эйнштейном, 1909): ((ЬЕа, )~) = без. ЕА„+ .„" . (113.7) Задача Определить ((А1Х)~) для злектроаного газа при температурах, малых по сравнению с температурой вырождения. Р е ш е н и е.
При вычислении (ОО7(др)т и можно пользоваться выражением (о7.3) для р при абсолютном нуле. Простое вычисление дает знзгпт (4у) ~ 9 114. Формула Пуассона Зная средний квадрат флуктуации числа частиц в заданном обьеме газа (113.1), можно написать соответствующее гауссово распределение вероятностей флуктуаций этого числа: ш(7У)411у' = ехр( — ) 41%. (114.1) Эта формула, однако, применима лишь для малых флуктуаций отклоне44ие Х вЂ” Т1г должно быть малым по сравнению с самим числом Х. Если выделенньпл в газе объем у' достаточно мал, то число частиц в нем невелико, и представляет интерес рассмотрение также и больших флуктуаций, при которых 7у' — 4у' становится сравнимым с зу.
Заметим, что этот вопрос имеет смысл лишь в применении к больцмановскому газу., так как в газах Ферми или Бозе вероятность таких флуктуаций может стать заметной лишь в настолько малых объемах, что существенными становятся квантовые флуктуации. Решение поставленного вопроса проще всего получить следующим образом. Пусть Го и 7УО полный объем газа и число гл, хп тлхктме ции частиц в нем, а Г малая по сравнению с 1'о часть объема.
В силу однородности газа очевидно, что вероятность некоторой определенной частице находиться в объеме Г равна просто отношению г'/гш а вероятность одновременного нахождения в нем Х определенных частиц равна ($'/ро) . Аналогично вероятность частице не находиться в обьеме г' равна 1'го — Ъ')/'гш а такая же вероятность одновременно для 1уо — Дг определенных частиц есть 11 — г;Фо)~о ~. Поэтому вероятность ша того, что в обьеме Ъ' будет находиться всего Х каких-либо молекул, дается выражением 1114.2) где введен множитель, определяющий число возможных способов выбора )у" из )уо частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
