V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Причем ир дается формулой распределения Бозе с р = 0: п =[с~э — 1] На расстояниях г » ЬустТ интеграл 1 = гиТ((2яй~г) (формула из предыдущей зада ги с р = 0), так что шТпа Кш Т хпй г 4япй" г вторым членом можно пренебречгч если только Т не слнгпком близко к Та (так что гш не слишком мало). В обратном случае, на расстояниях г « « й УтТ, интеграл г)' и и — па 1 ир з— (2пй)з так что — 2 е и(г) и(0) = Ой Отлаетим, что интеграл 1 р Н(г для бозе-газа при Т < Та расходится, и потому вычисление по формуле (116.5) привело бы к бесконечному значению флуктуации числа частиц — в соответствии с запевы~нем, сделшшым уже в З 113.
118. Корреляция флуктуаций во времени Рассмотрим какую-либо физическую величину, характеризующую находящуюся в термодинамическом равновесии замкнутую систему или ее отдельную часть (в первом случае это пе должна быть величина, остающаяся для замкнутой системы по определению постоянной, например, ее энергия). С течением времени эта величина испытывает неболыпие изменения, флуктуируя вокруг своего среднего значения. Обозначим снова через х(1) разность между этой величиной и ее средним значением (так что х = О). Между.
значениями х(1) в разные моменты времени существует некоторая корреляция: это значит, что значение х в 410 Гл, хп Флуктуации некоторый момент времени 1 влияет на вс)эоятности различных ее значений в другой момент времени 1. Аналогично пространственной корреляции, рассмотренной в предыдущих параграфах, можно характеризовать временную корреляцию средним значением произведения (х(г)х(г')). Усреднение понимается здесь, как обычно, в статистическом смысле, т.е. как усреднение по вероятностям всех значений, которые может иметь величина х в моменты 1 и 1'.
Как было указано еще в 21, такое статистическое усреднение эквивалентно усреднению по времени, в данном случае по одному из времен 1., 1' при заданной разности 1' — 1. Получающаяся таким образом величина р(1' — 1) = (х(1)х(1')) (118.1) зависит только от разности 1 — 1: это определение можно поэтому записать и в виде 1р(1) = (х(0)х(1)). (118.2) При неограниченном увеличении разности времен корреляция, очевидно, исчезает, и соответственно этому функция 1р(1) стремится к нулю. Отметим также, что ввиду очевидной симметрии определения (118.1) по отношению к перестановке 1 и т' функция 1р(1) чЕтна: (118.3) Рассматривая величину х(1) как функцию времени, мы тем самым подразумеваем, что она ведет себя классическим образом.
Написанное определение можно, однако, представить и в форме, применимой и к квантовым величинам. Для этого надо рассматривать вместо величины х ее квантовомеханический, зависящий от времени (гейзенберговский) оператор х(1). Операторы х(г) и х(г'), относящиеся к разным моментам времени, вооб1це говоря, не коммутативны, и корреляционная функция должна быть теперь определена как со(1' — 1) = -(хх(1)х(1') + х((1')х(1)), (118.4) 2 где усреднение производится по точному квантовому состоянию') . Предположим, что величина х такова, что заданием ее определенного значения (существенно превьппающего ее среднюю 1 ) Снова напомним, что, согласно основным принципам статистики, результат усреднения не зависит от того, производится ли оно механически по точной волновой функции стационарного состояния системы или же статистически с помощью распределения Гиббса.
Единственная разница состоит в том, что в первом случае результат выражается через энергию тела, а во втором случае — как функция его температуры. 411 КОРРЕЛЯЦИЯ ФЛУКТУАЦИЙ ВО ВРЕМЕНИ з 118 флуктуацию (хз) '12) могло бы характеризоваться определенное состояние неполного равновесия. Другими словами, время релаксации для установления неполного равновесия при заданном значении х предполагается много меньшим времени релаксации для установления равновесного значения самой величины х. Это условие удовлетворяется для широкой категории величин, представляющих физический интерес.
Флуктуации таких величин мы будем называть квизистациояирми1дии ') . Пиже в этом параграфе рассматриваются флуктуации этого типа и, кроме того, ВЕЛИЧИНа Х ПРЕДПОЛа1 астСЯ КЛаССИЧЕСКОйе) . Предположим также, что в процессе приближения к полному равновесию в системе не возникает никаких других отклонений от равновесия, которые бы требовали введения новых величин для своего описания. Другими словами, в каждый момент времени состояние неравновесной системы вполне определяется значением х (более общий случай будит рассмотрен в следующем параграфе) .
Пусть величина х имеет в некоторый момент времени 4 значение, большое по сравнению со средней флуктуацией, т.е. система существенно неравновесна. Тогда можно утверждать, что в последующие моменты времени система будет стремиться прийти в состояние равновесия, соответственно чему х будет уменьшаться. При этом в силу сделанных предположений скорость изменения величины х будет в каждый момент времени целиком определяться значением самого х в этот момент: х = х1х). Если х все же сравнительно мало, то можно разложить х1х) по степеням х и ограничиться линейным членом — = — Лх, ах 1118.5) дс где Л положительная постоянная: член нулевого порядка в этом разложении отсутствует, поскольку в полном равновесии 1т.е.
при х = 0) скорость Их/с11 должна обратиться в нуль. Уравнение (118.5) представляет собой линеаризованное макроскопическое «уравнение движения» неравновесной системы, описывающее процесс ее релаксации (физическая природа которого целиком зависит от природы величины х). Постоянная 1/Л определяет порядок величины времени релаксации для установления полного равновесия. ') Их называют также шермодинамическимш ~) Окончательные фОрмулы для квавистационарных флуктуаций квантовых величин получаются из формулы для классических величин лишь простым изменением, которое будет указано в 8 124 (см. (124.19)). 412 Флуктуации ГЛ.
Хп Возвращаясь к флуктуациям в равновесной системе, введем величину ~ (1), определив ее как среднее значение величины х в момент времени 8 ) 0 при условии, что в предшествующий момент 1 = 0 она имела некоторое заданное значение х; такое среднее значение, вообще говоря, отлично от нуля. Очевидно, что корреляционная функция 1р(1) может быть написана с помощью функции (Ф(1) в виде (118.6) Ю(1) = (тЫ1)), где усреднение производится уже только по вероятностям различных значений х в исходный момент времени 1 = О. Для значений ~Ф, больших по сравнению со средней флу.ктуацией, из у.равнения (118.5) следует, что и "ЫО = —,1С.И), 1~0. (118. 7) Учитывая усредненный характер величины ~Ф(1), следует считать, что это уравнение тем самым справедливо и при произвольных малых ее значениях.
Интегрируя уравнение и помня, что по определению ~ (0) = т, найдем (.(1) = те и, наконец, подставляя в (118.6), получим формулу, определяющую функцию временной корреляции: ( в) -л1 В таком виде, однако, эта формула относится только к 1 ) О, так как в ее выводе (уравнение (118.7)) существенно предполагалось, что момент 8 следует после 1 = О. Учитывая, с другой стороны, четпость функции 1д(1), можно написать окончательную формулу „(1) („„2)е-Л;й е-Л!й (118.8) 13 ((тз) из (1>0.5)), применимую как при положительных, так и отрицательных 1.
Эта функция имеет при 1 = 0 две различные производные. Это свойство возникло в результате того, что мы рассматриваем промежутки времени, большие по сравнению со временем установления неполного равновесия (равновесия при заданном значении т). Рассмотрение мсныпих времен, невозможное в рамках «квазистационарной» теории, привело бы, разумеется, к равенству 11д/Ж = 0 при 1 = О, как и должно быть для всякой четной функции от 1 с непрерывной производной.
Изложенную теорию можно сформулировать еще и в другом виде, который может представить определенные преимущества. 1 ~9 вгвмвннхя когевлипия ~ луктукпий нескольких величин 413 Уравнение х = — Лх для самой величины х (а не для ее среднего значения ~ ) справедливо, как уже указывалось, лишь при больших по сравнению со средней флуктуацией значениях х. При произвольных же значениях х напишем х в виде х = — Лх+у, (118.9) являющемся определением новой величины у.
Хотя по абсолютной величине размаха испытываемых ею колебаний величина у отнюдь не меняет с течением времени своего характера, однако при больших (в указанном выше смысле) значениях х опа представляет относительно малую величину, которой в уравнении (118.9) можно пренебречь. Введенную таким образом в уравнение (118.9) величину у (которую называют случайной силой) надо рассматривать как источник флуктуаций величины х. При этом корреляционная функция случайной силы (у(0)у(1)) должна быть задана таким образом, чтобы она приводила к правильному результату (118.8) для (х(0)х(1)).
Для этого надо (у(0)у(1)) = 2Л(х )Б(1) = — д(1). (118.10) В этом легко убедиться, написав решение уравнения (118.9): х(1) = е у(т)е 'г1т, и усреднив произведение х(0)х(1), представив его предварительно в виде двойного интеграла. Тот факт, что выражение (118.10) обращается в нуль при 1 ~ О, означает, что значения величины у(1) в различные моменты времени не коррелировапы. В действительности, разумеется, это утверждение является приближенным и означает лишь, что значения у(г) коррелируют на протяжении промежутков времени порядка времени установления неполного равновесия (равновесия при заданном х), .которое в излагаемой теории, как уже отмечалось, рассматривается как пренебрежимо малое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
