V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 82
Текст из файла (страница 82)
(122.21а) 429 ОБОБЩЕННАЯ ВООПРИИЫЧИВОСТЬ Чтобы применить этн уравнения к флуктуациям, переписываем (122.24) в виде Р пин Ц Р+у, (122.25) РБ введя в его правую часть случайную силу у. Уравнение же (122.23), являющееся определением импульса, следует оставить неизменныьь Согласно формуле (122.21) непосредственно находим спектральную плотность флуктуаций случайной силы; (у )„= 2 утз = 2 уТ. (122.26) Наконец, для нахождения искомого Я )„пишем, подставив Р = РтА~ в (122.25): ,„б~+1~+,ьч об~ (122.27) Умножив это уравнение на е' ' и интегрируя по времени, найдем ( — ьчщ — ИБ'У + гпщо)Я~ = Р~, 2 2 откуда окончательно (122.28) 3 123. Обобщенная восприимчивость Невозможно получить общую формулу для спектрального распределения произвольных флуктуаций, аналогичную формуле (122.9) для квазистационарных флуктуаций.
Однако в ряде случаев оказывается возможным связать свойства флуктуаций с величинами, характеризующими поведение тела под действием определенных внешних воздействий. При этом речь может идти о флуктуациях как классических величин, так и величин квантовой природы. Физические величины этой категории обладают тем свойством, что для каждой из них существует такое внешнее воздействие, которое описывается появлением в гамильтониане тела возмущающего оператора вида Ч = — х) (~), (123.1) где х -- оператор данной физической величины, а, возмущающая обобщенная сила 1 есть заданная функция времени. Квантовомеханическое среднее значение при наличии такого возмущения отлично от нуля (в то время как в равновесном состоянии в отсутствие возмущения х = 0) и может быть представлено в виде Й7, где Й линейный интегральный оператор, 43О олткттации гл, хп х(1) = Й! = о(т)1(т — твайт, (123.2) а где а(т) функция времени, зависящая от свойств тела.
Значение х в момент времени М может, конечно, зависеть от:значений силы ! лишь в предшествующие (а не последующие) моменты времени; выражение (123.2) удовлетворяет этому требованию. О величине т(1) говорят как об отклике системы на внешнее возмущение. Всякое зависящее от времени возмуп1ение может быть сведено путем фуры.
разложения к совокупности монохроматических компонент, зависящих от времени как е '~'. Подставив в (123.2) 1' и У в виде ~ е ' г и У е ™, получим связь между фурье-компонентами силы и отклика в виде х„= гт(оз)~~, где функция сг(оз) определяется как гт(оз) = сг(М) е™сЫ. а (123.4) Задание этой функции полностью определяет поведение тела под влиянием данного возмущения. Х!ы будем называть сг(оз) обобщенной восприимчивостью') .
Эта величина играет основную роль в излагаемой теории., поскольку через нее выражаются, как мы увидим, флуктуации величины т. Функция о(оз), вообще говоря, комплексна. Обозначим ее вещественную и мнимую части через ст' и ыл: гт(оз) = от~(со) + зсг~~(оз). Из определения (123.4) сразу видно, что (123 5) ы(-оз) = о*(оз).
(123.6) ') В качестве примера укажем, что 1 может представлять собой внешнее электрическое поле, а х- электрический дипольный момент тела. При этом о является электрической поляризуемостью тела. Определенная указанным образом величина о(ы) оказывается более удобной, чем иногда используемый обобщенный импе0анс У(ы) = — 11'(иао(и)), представляющий собой коэффициент в соотношении б = Я(ы)(х) действие которого на функцию 1(г) определяется формулой вида 431 ю Г23 ОБОБЩЕННАЯ ВООПРИИМЧИБОСТЬ Отделяя здесь вещественную и мнимую части, находим о'( — щ) = гт'(щ), ол( — щ) = — гта(щ), (123.7) 1(1) = Ве1юе ' ' = —,[1ое ' '+ 1юс* '), (123.8) то путем применения оператора гт к каждому из двух членов получим г, = — [о(ю2)~ее ' + о( — щ)ДЕ'"']:, (123.9) условие вещественности этого выражения совпадает с (123.6). В пределе щ — + оо функция о(щ) стремится к конечному вещественному пределу о, .
Для определенности будем считать ниже, что этот предел равен нулю; отличное от нуля гт„, требует лишь очевидных незначительных изменений в некоторых из получаемых ниже формул. Изменение состояния тела под влиянием Бсилы» ) сопровождается поглощением (диссипацией) энергии; источником этой энергии служит внешнее воздействие, а после поглощения телом она превращается в нем в тепло. Эта диссипация тоже может быть выражена через величину о. Для этого воспользуемся равенством дЕ дН дг дГ согласно которому производная по времени от средней энергии тела равна среднему значению частной производной по времени от гамильтовиана тела (см. 2 11). Поскольку в гамильтониане явно зависит от времени лишь возмущение Р, то имеем (123.10) Это соотношение играет важную роль в применениях излагаемой теории.
Если нам известно выражение для изменения энергии в том или ином конкретном процессе, то, сравнивая его с (123.10), можно установить, какая величина играет роль «силы» Г по отношению к интересующей нас переменной х. т. е. ст'(щ) . четная, а гтл(щ) — нечетная функция частоты. При щ = 0 функция гти(щ) меняет знак, проходя через нуль (или в некоторых случаях через бесконечность). Следует подчеркнуть, что свойство (123.6) выражает собой просто тот факт, что огклик х должен быть вещественным при всякой вещественной силе ('.
Если функция 7'(Х) чисто монохроматическая и задается вещественным выражением 432 Г.ч, хп Флуктуации Подставив У и )' из (123.8), (123.9) в (123.10) и усреднив по времени, мы получим среднюю величину энергии! диссипируемой (в единицу времени) в системе под влиянием монохроматического возмущения: обозначим эту величину буквой Я. Члены, содержащие ехр(~21!о!2), обращаются при усреднении в нуль, и мы находим') Я = — '(а* — а) ~Уо)2 — о" ( ~))Ус~2. (123.11) 2 Отсюда видно, что мнимая часть восприиалчивости определяет диссипацию энергии.
Поскольку всякий реальный процесс сопровождается некоторой диссипацией Я > О), то мы приходим к важному выводу о том, что для всех положительных значений переменной ог функция а отлична от нуля и положительна. Оказывается возможным получить некоторые весьма общие соотноп1ения для функции а(оз) путем использования математического аппарата теории функций комплексного переменного. Будем рассматривать о2 как комплексную переменную (ог = о2' + га2л) и исследуем свойства функции сг(о2) в верхней полу.
плоскости этой переменной. Из определения (123.4) и из факта конечности сг(1) при всех положительных 2 следует, что !т(ог) есть однозначная функция во всей верхней полуплоскости и нигде не обращается в ней в бесконечность, т. е. пе имеет особых точек. Действительно, при а2л > 0 в подынтегральном выражении в (123.4) имеется экспоненциально убывающий множитель ехр( — 2а2л), а поскольку и функция сг(г) конечна во всей области интегрирования, то интеграл сходится. Функция о(со) не имеет особенностей и на самой вещественной оси (гол = О), за исключением, возможно, лишь начала координат.
Полезно обратить внимание на то, что вывод об отсутствии особых точек у функции !2(со) н верхней полуплоскости является следствием физического принципа причинности. Последний проявляется в том, что интегрирование в (123.2) производится лишь по времени, предшествующему данному моменту 2, в результате чего в формуле (123.4) область интегрирования и распространяется от 0 до оо (а не от †до +ос). ') Если речь идет не о чисто монохроматической функции ПГ), а о возмущении, действую!цеь! в течение ограниченного промежутка времени (1 — ! О при ф -э оо), то полная диссипация энергии за все время выра!кается через фурье-компоненты возмущения интегралом Я!2г = — / !2!о(ь2))У ! — ~ 2ыо" (ы))1 ! 2 ~~Ь2 2! 22 2т,l 2л 433 ОБОБЩЕННАЯ ВООПРИИЫЧИВОСТЬ Из определения (123.4) очевидно, далее, что сг(-ог*) = гт'(со).
(123.12) Это есть обобщение соотношения (123.6), относящегося к вещественным значениям ог. В частности, для чисто мнимых значений щ имеем: ст(гоз ) = се*(гпг '), т. е. иа верхней мнимой полуоси функция о(ог) вещественна') . Докажем следугоп1ую теорему: функция а(ог) не принимает вещественных значений ни в какой конечной точке верхней полу- плоскости, за исключением лишь то гек мнимой оси; на последней же сг(ог) монотонно убывает от некоторого положительного значения его ) г) при цг = гО до нуля при со = гсю. Отсюда же, в частности, будет следовать, что функция сг(со) не имеет нулей в верхней полуплоскости. Для доказательства-) воспользуемся известной теоремой теории функций комплексного переменного, согласно которой интеграл 1 / гЬ~(ьг) агы (123.13) 2яг / Жг гггьг) — о взятый по замкнутому контуру С, равен разности между числом нулей и числом полюсов функции сг(го) — а в области, ограниченной контуром.
Пусть а -- вещественное число, а в качестве С выберем контур., состоящий из вещественной оси и бесконечно удаленной полуокружпости в верхней полуплоскости (рис. 53). Предположим спачвлсч что сто конечно. Поскольку в верхней полуплоскости функция о(го) г а потому сг(оз) — а, не имеет полюсов., то указанный интеграл дает просто число нулей разности сг — а, т, с, число точек, в которых ст(го) принимает вещественное значение а.
Для вычисления интеграла пишем его в виде с' причем интегрирование производится по контуру С в плос г кости комплексной переменной сг, являющемуся отображенгием ) В нижней же полуплоскости определение 1123.4) неприменимо, так как интеграл расходится. Поэтому функция О(ьг) в нижней полуплоскости может быть определена лишь как аналитическое продолжение выражения (123.4) из верхней полуплоскостн. В этой области огьг) имеет, вообще говоря, особые точки, в том числе точки ветвления, и для ее однозначного определекия может понадобиться разрез по нижней полуоси.
Равенство (123.12) означает тогда лишь комплексную сопряженность значений огьг) на двух берегах разреза. г) Излагаемое ниже доказательство принадлежит Н. Н. Мейману. 434 Г.ч, хп ФЛУКТУАЦИИ контура С из плоскости ь1. Вся бесконечно удаленная полу- окружность отображается в точку и = О, а начало координат (ь1 = 0) — в другую, тоже вещественную точку оо. Правая же и левая вещественныс полуоси ш отображаются в плоскосги а в некоторые весьма сложные (вообще говоря, самопересекающиеся) кривые, лежащие соответственно целиком в верхней и нижней полуплоскостях.
Существенно, что эти кривые нигде (кроме точек п = 0 и о = Оо) не пересекают ось абсцисс, так как ст не принимает вещественных зна1епий ни при каком (кровле ш = 0) конечном вещественном значении ш. Ввиду этого свойства контура С полное изменение аргумента комплексного числа о — а при обходе вдоль него равно 21Г (если число а лежит между 0 и Г1ш как изображено на рис. 53) или нулю (если а лежит вне этого интервала) вне зависв О симости от числа самопересече~ий контура.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
