V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Отсюда стедует, что выражение (123.13) равно единице при 0 ( а ( оо и нулю при всяком другом значении а. Таким образом, мы приходим к выводу, что функция а(ь1) в верхней полуплоскости ю принимает всего по одному разу всякое вещественное значение а, лежащее в указанном интервале (и ни рас зу значения, лежащие вне этого интервала). Отсюда прежде всего можно заключить, что на мнимой оси, где функция а(ь1) веществен— 00 о па, она не может иметь ни макси- мума, пи минимума: в противном Рис. 53 случае она принимала бы некоторые значения по крайней мере дважды.
Следовательно, на мнимой оси функция о(ь1) меняется монотонно, пробегая здесь и только:здесь по одному разу все вещественные значения от с1о до нуля. Если ов = оо (т.е. Гт(ь1) имеет полюс в точке ы = 0), то изложенное доказательство меняется лишь в том отношении, что при движении (в плоскости ы) вдоль вещественной оси надо обойти начало координат сверху по бесконечно малой полу- окружности. Изменение контура С' на рис. 53 можно представлять себе при этом как результат отодвигания ао на бесконечность.
Функция а(ы) на мнимой оси в этом случае монотонно убывает от +ос до О. 435 ОБОБШБННАЯ ВООПРИИЫЧИВОСТЬ Далее выведем формулу, связывающую мнимую и вещественную части функции а(ш) друг с другом. Для этого выберем какое-либо положительное вещественное значение ш = шо и проинтегрируем выражение а/(ш — шо) по контуру, изображенному на рис. 54. () Этот контур идет вдоль всей вещественной оси, огибая сверху точку ш = = шо > 0 (а также точку и = О, если последняя является полюсом функпии а(ш)). Контур замыкается бесконечно удаленной полуокружностью.
Рис. 54 На бесконечности о — э О, и потому функция о/(ш — шо) стремится к нулю быстрее, чем 1/м. Поэтому интеграл О(~) и — мо с сходится; поскольку же а(ьэ) не имеет особых точек в верхней полуплоскости, а точка ш = ша исключена из области интегРиРованиЯ, то фУнкЦиЯ гт/(ш — ьэо) аналитична во всей области внутри контура С, и написанный интеграл равен нулю.
Интеграл по бесконечно удаленной полуокружности обращается в нуль сам по себе. Точку же ыо обойдем по бесконечно малой полуокружности (радиуса р -э О). Обход происходит по часовой стрелке и дает в интеграле вклад, равный — Ыа(шо). Если оо конечно, то обход начала координат излишен и интегрирование вдоль всей вещественной оси дает, таким образом, мо — Р ОВ 1ш1 / й >+ / йьэ — гяо(шо) = О. Рэо 1 / и — В~В ,/ и — мо ~РВЧ Р Первый член есть интеграл от — ОО до +Ос, понимаемый в смысле главного значения. Отмечая это обстоятельство, как принято, перечеркнутым знаком интеграла, имеем (123.14) 1ясг(шо) = нш. ,/ ю — мо Переменная интегрирования ш пробегает здесь лишь вещественные значения.
Переобозначим ее буквой с, а буквой Оэ обозначим заданное вещественное значение ыо, .напишем также гл, хп еляктяации ст (о1) = — ~ с(~ + — + с(~ 1 1 о® 1 1 о(6) я 1 6 — ы я Г 6-Ьы или Г г 6~ — ы~ (123.17) о Если функция ст(ю) имеет полюс в точке ш = О, вблизи которой сз = гА/ы, то обход этого полюса по полуокружности дает в интеграле дополнительный вещественный член -- А/со, который должен быть прибавлен к левой части равенства (123.14).
Соответственно такой же член появится и в формуле (123.16): сев(оз) = — — ~- — дб + —. 1 ( о~(б) А М (123.18) ') Что касается свойства и -з О при ы — з оо, то оно не является существенным: если бы предел о был отличен от О, то надо было бы просто рассматривать разность о — и вместо и с соответствующим очевидным видоизменением формул (123.13), (123.16). См. также задачу к 6 126. / л функцию ст(ы) вещественного переменного ы в виде о = ст +го . Отделяя в (123.14) вещественную и мнимую части, найдем окончательно следующие две формулы: в (123.15) я б — ю (123.16) я 1 6 — ы Эти соотношения (которые называют дисперсиозпсыми) были впервые получены Крамерсом и Кронигом (Н. А.
Кгагаегз, Л.Ь. Кгопщ, 1927). Подчеркнем, что единственным существенным свойством функции сс(оз), .использованным при выводе этих формул, является отсутствие особых точек в верхней полуплоскости ' ) . Поэтому можно сказать, что формулы Крагиерса-. Кропига (как и указанное свойство функции о(ш)) являются прямым следствием принципа причинности. Воспользовавшись нечетностью функции стл®, можно переписать (123.15) в виде 437 'г 424 ФЛУКТУАПИОННОМТИООИПАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА Формулы же (123.15) или (123.17) остаются без изменений. Выведем еще формулу., выражающую значения сг(ьг) на верхней мнимой полуоси через значения о (нг) на вещественной оси. Для этого рассмотрим интеграл 11О(1 1) г + мо взятый по контуру, состоящему из вещественной оси и бесконечно УДаленной полУокРУжносги в веРхней полУплоскости (Иге вещественное число). Этот интеграл выражается через вычет подынтегрального выражения относительно полюса нг = гаго.
С другой стороны, интеграл по бесконечно удаленной полуокружности исчезает,так что получаем г ггп(пг) ., 41нг = ггго(1нго) мг+ ~.г В левой части равенства вещественная часть интеграла обращается в нуль в силу печетности интегрируемой функции. Заменив также обозначения Иге и нг на Ог и (, получим окончательно: г (123.19) г+Ег о Если проинтегрировать обе части этого соотношения по 11нг, то получается (123.20) й 124.
Флуктуационно-диссипационная теорема Приступим теперь к вычислениям, имеющим целью связать флуктуации величины х с введенной в предыдущем параграфе обобщенной восприимчивостью. Пусть тело, к которому относится величина т, находится в некотором определенном (и-м) стационарном состоянии. Среднее значение (122.8) вычисляется как соответствующий диагональный матричный элемент оператора 2 (хггх~ ~~ + х( 1гхгг )пп — ~(лгг)ппг (хгг~ )шп + (агг )гип(хм)шп] 2 ~-~ 1П (124.1) 438 элхктыции гл, хп где суммирование распространяется по всему спектру уровней энергии (ввиду комплексности оператора х два члена в квадратных скобках не совпадают друг с другом).
Зависимость оператора х(г) от времени означает, что вычисление его матричных элементов должно производиться с помощью зависящих от времени волновых функций. Поэтому имеем (л )„= л„~е'(~""'~~У<И2хлв„Ды„, + ы), (124.2) где х„„, обычный, не зависящий от времени матричный элемент оператора т, выраженного через координаты частиц тела, а ы„,„= (ń— Е,„),16-- частота перехода между состояниями и и т. Таким образом, 1, (тютю' + тю'ти)вп = 2 = 2я ~ ~тпт~ У(о~тип+~в)4(о~пт+~~>')+б(~>птп+~~')б(~>тп+~л)) (здесь учтено, что х„,„= т,* „ввиду вещественности т).
Про- изведения б-функций в квадратных скобках можно, очевидно, переписать в виде 5(ыи~и + ы)б(ы + ы ) + 5(~"~та + ы)б(ы + ы ) ° Сравнивая после этого с(122.8), получим следующую формулу; (х~)„= х ~ !т„/~(6(ы+ ы„) + б(ы + ы„,„)~. (124.3) В связи с формой записи этого выражения сделаем следую- щее замечание. Хотя уровни энергии макроскопического тела, строго говоря, дискретны, но они расположены так густо, что факти иски образуют непрерывный спектр. Формулу (124.3) можно написать без б-функций, если усреднить ее по малым (но содержащим все жс много уровней) интервалам частот. Ес- ли Г(Е) — число уровней энергии, мепыпих Е, то (тэ) кбайт ~ г( + ) (124 4) где Е = Е„+ йю, Е,'„= Š— йю. Предположим теперь, что на тело действует периодическое (с частотой ы) возмущение, описывающееся оператором Р = — 1т = — -(1 е ' ' + 1'е' ~)т (124.5) 2 ФЛУКТУАПИОННО-ДИОСИПАПИОННАЯ ТЕОРЕМА 439 ~ 124 Под влиянием возмущения система совершает переходы, причем вероятность перехода п — + т (в единицу времени) дается формулой [1 [г П1 „= ', ~т п~~ [6(Ы + 1П и) + б(1Н + 1НП1п)] (124.6) (см.
П1, 342). Два члена в этой формуле возникают соответственно из двух членов в (124.5). При каждом переходе система поглощает (или отдает) квант Ь1. Сумма Ю вЂ” ~~~ 1"1ти~~~'Нтп т дает среднюю энергию, поглощаемую телом (в единицу времени); источником этой энергии является внешнее возму.щение, а поглощаясь телом, она диссипируется в нем. Подставив (124.6), ПОЛУЧИЕ1 1) = — ~(Е[~ ~~> ~тпт~~[б(О1+ Ы и) + б(1Н+ Н1пт)[Ы т или, учитывая, что б-функции отличны от нуля лишь при равном нулю аргументе, 2ан1[УО~,~~~[АН т[ [11(1У + ыпт) п(н1 + П1,„п)[. (124.7) Сравнивая (124.7) с (123.11), находим С1 (Н1) =,~ [кит[ [А(П1 + Н1пт) А(Н1+ Ыти)[ ° (124.8) т Вычисленные таким образом величины (хв)„и Реп связаны между собой простым соотношением.
Оно выявляется, однако, лишь после того, как эти величины будут выражены через температуру тела. Для этого производим усреднение с помощью распределения Гиббса (ср. Н1эимеч. на с. 410). Для (х ) имеем (т )м = 1Г„~,РП~Хпп1~ [П("+ П1пт) + П(П1+О11пп))1 где для краткости обозначено Е' — Е„ рп = ехр Т Еп уровни энергии тела, Е его свободная энергия.
Поскольку суммирование производится теперь по обоим индексам гп и и., то 440 елхктхпции гл, хп можно менять их обозначение. Раскрыв квадратные скобки и заменив во втором члене гп и и друг на друга, получим (л )ы = Я,~,(Рп+Рт)~лпт~ Йш+«~пт) = 7й:й Рп(1 + е " Итпт~ Й~'~ + ыпт) т,п или, ввиду наличия в суммируемом выражении б-функции, (т )т — — 7Г(1+ е ) ~~' Рп~лпт~ Йы+ "пт) т,п Совершенно аналогичным путем получим = — (1 — е ~~~)~~~ Р„)г ~~о(ы+оэ,ий). й т,п Сравнивая друг с другом эти два выражения, найдем (и~) = Бап с1Ь вЂ” = 26ал( — + (124.9) Полный же средний квадрат флуктуирующей величины дается интегралом (т ) = — ал(ы) с$Ь вЂ” ош. и/ 2Т (124.10) о Эти важные формулы составляют содержание флуьтуационно-доссипнциониой теоремы (коротко ФДТ), сформулированной Калленом и Вельтоном (Н.В.
Са11еп, Т.А. И'ейоп, 1951). Они связывают флуктуации физических вели гин с диссипативными свойствами системы при внешнем воздействии на нее. Обратим внимание па то, что множитель в фигурных скобках в (124.9) представляет собой среднюю энерги1о (в единицах йхо) осциллягора при температуре Т; член 1/2 отвечает нулевым колебаниям. Подобно тому, как это было сделано в конце З 118, полученные результаты можно представить в другом виде, рассматривая формальным образом самопроизвольные флуктуации величины и как результат воздействия некоторых фиктивных случайных сил. При этом удобно записывать формулы, вводя фурье-компоненты х и ~ так, как если бы х было классической величиной.
Связь между ними записывается в виде л = о(ы)1, (124.11) ФЛУКТУАПИОННО-ДИООИНАПИОННАЯ ТЕОРЕМА 441 2 424 ( .2) ( ) ( )У2) ~ ( )12У2) Для спектральной плотности среднего квадрата случайной силы имеем, следовательно, из (124.9) (2,2) ПО (м),1, а'1 ~П(Е1) ~2 2Т (124.12) Такая трактовка может представить определенные преимущества в конкретных применениях теории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
