V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Вывод ФДТ основан на рассмотрении внеп1него воздействия (124.5) как малого возмущения; с малостью воздействия связана также и линейность отклика системы линейность связи между х и силой 1'. Подчеркнем, однако, что это обстоятельство отнюдь не приводит к появлению каких-либо физических ограничений на допустимые значения средней флуктуации самой величины ас Малость воздействия всегда может быть обеспечена сколь угодной малостью вспомогательной величины 1, не фигурирующей в окончательной формулировке ФДТ.
Таким образом, для рассматриваемой категории физических величин т свойства их флуктуаций (в термодинамически равновесной системе) полностью определяются свойстваъ1и отклика системы на сколь угодно слабое внешнее воздействие. При температурах Т» 64н имеем с111(61н/2Т) — 2Т(64н, и формула (124.9) принии|ает вид ( 22) 2Т н( (124.13) Из пее выпадает квантовая постоянная в соответствии с тем, что в этих условиях флуктуации классичны.
Если неравенство Т )) 6гн справедливо при всех существенных частотах (частоты, для которых о (ь4) существенно отлично от нуля), то к классическому пределу можно перейти и в интегральной формуле (124.10)1 гт ' "() о подобном (123.3), после чего для средних квадратичных флуктуаций имеем (тт )=о() (')УИ1 ), или, переходя к спектральным плотностям флуктуаций, согласно определению (122.4): 442 Флуктъзции Гл, хп Но согласно (123.17) этот интеграл выражается через статическое значение ст1(0) = а(0), так что ') (тв) = Тст(0).
(124.14) Остановимся, наконец, на связи изложенных результатов с теорией квазистационарных флуктуаций Я 118). Прежде всего заметим, что если величина х такова, что ее флуктуации малы в подразумевавгисмся в 0110 смысле (т.с. допустимо разложение энтропии (110.3)), то средний квадрат (х~) = 11(). Сравнение с (124.14) показывает, что для такой сг(0) = —. (124.15) бт' Пусть далее х относится к категории величин, флуктуации которых квазистационарны. Предположим, что тело подвергается воздействию статической силы 7. Это приводит к смещению состояния равновесия, в котором х уже отлично от пуля и равно х = а(0)1" = 17'(1Т. Макроскопическое уравнение, описывающее релаксацию далекой от равновесия системы, будет тогда иметь вид х = — Л(х — — 1, (124.10) рТ/ отличающийся от уравнения х = — Лх (118.5) тем, что скорость х обращается в нуль не при х = О, а при х = ~(~~Т. Уравнение (124.16) можно считать применимым и в случае, когда тело подвержено воздействию зависящего от времени возмущения, если только период изменения силы 1 (1) велик по сравнению со временем установления неполного равновесия (отвечающего каждому заданному значению х).
Если Я) периодическая (с частотой о1) функция времени, то с той же частотой ') Это выражение можно получить также и прямо из распределения Гиббса в классической статистике. Пусть х = х(о,р) - некоторая классическая величина. Вводя в энергию системы член хг (с постоянным Д), для среднего значения У будеьг иметь Š— Е(о, р) + х(о, р) У х = х(р, Ч) ехр (, ) ' ' 4 Ич 11р. По определению о(0) = дх/111 при 1" — г 0: дифференцируя написанное выражение, находим 1 Г, Š— Е 1 о(0) = — ~ х .
р до 1р = — (хз) т) ' т т' (свободиая энергия Е тоже зависит от 1, но член с производной дЕ/дг выпадает после того, как будет положено 7 = О, т. е. х = 0). ~ 125 Фдт для нескольких Величин будет меняться и макроскопическое значение х(1). Подставив в уравнение (124.16) Т" (2) и х(1) в виде (123.8), (123.9) и отделив в нем члены, содержащие ехр( — иЛ) и ехр ЙЛ, получим — и~а(ы) Ьо = — Ла(ы)Уо+ — Уо, Л ЗТ откуда Л о(ы) = ,9Т(Л вЂ” и ~) Согласно ФДТ (124.9) находим теперь (124.17) 2Л Ьы Ьы (х ),„—,, — сг1л —. ,3(Л +и~) 2Т 2Т (124.18) Этот резулыат обобщает формулу (122.9), относящуюся к флуктуациям классической величины.
Выражение (124.18) отличается от (122.9) множителем Ьь~ Ьм — с1Ь вЂ”, 2Т 2Т (124.19) (р )„= — — са —, 2Л Ьх Ьи~ Д 2Т 2Т (124.20) что отличается от прежнего выражения (122.10) тем же множи- телем (124.19). й 125. Флуктуационно-диссипационная теорема для нескольких величин ФДТ легко может быть обобщена на случай, когда рассматриваются одновременно несколько флуктуирующих величин хь обращающимся в единицу в классическом пределе, когда Ьти « Т.
Уравнение (124.16) можно рассматривать и в другом аспекте: не как макроскопическое уравнение движения далекой от равновесия системы (находящейся под внешним воздействием), а как уравнение для флуктуаций величины х(г) в равновесной замкнутой системе, происходящих под влиянием случайной силы 2'. В такой интерпретации оно отвечает уравнению (118.9), так что оба определения случайной силы отличаются лишь множителем: д = Л)7Тй.
Для спектральной плотности (92) найдем, подставив (124.17) в (124.12): 444 гл, хп г: лхктхпции Обобщенные восприимчивости определяются в таком случае по отклику системы на возмущение вида Р = — тт;Л(~) (125.1) и представляют собой коэффициенты в линейной связи между фурье-компопентаъэи средних значений х,(1) и обобщенных сил 1,(г): а( )Ь. (125.2) Изменение энергии системы выра>кается через внешнее возмущение согласно соотношению (125.3) Эта формула, как и (123.10), обычно служит в конкретных применениях теории для установления фактического соответствия между величинами х; и )гх Спектральные плотности флуктуаций вводятся по средним значениям симметризованных операторных произведений: 2 (тгЛьггг + тьгггтггг) = 2л(хгхй)ггпу(ггг + ггг )г (125.4) обобщающих выражение (122.8).
Вычисление этого среднего как диагонального (пп) матричного элемента, аналогичное выводу (124.3), приводит к результату (лгпаь)гг = л ~' ~((лг)пгп(тв)пгпгг(ггг + огппг)+ пг + (ль)гггп(сг)тпгэ(ог + огпгпЯ ° (125.5) Пусть на систему действует периодическое возмущение, в котором — гггг Л(2) = — 2(Иге-™+ 1оге* ). (125.6) Отклик системы на это возмущение: (125.7) таей) = (гтгп(ггг)ггове + гоп(ггг).геге Подставив (125.6), (125.7) в (125.3) и усреднив по периоду возмущения, получим вместо (123.11) следующее выражение для диссипацни энергии; (125.8) Гг1 (мгв гтйг)УогУоп 445 5 |25 Фдт для неокольких величин С другой стороны, вычисление, аналогичное выводу (124.7), дает О Ш 10г10Ь~(Хг)гпп(ХР)птпМОЗ+Шпгп) 26 (Хг)пгпгХЬ)тпогцг + гггтп)|г а сравнив с (125.8), получим 2тгС э — ИХг)гпп |Хй) ппго (го + гггпт) |Хг)ппг (ХЬ) гоп о |ггг + Оггпп ) | ° и гп (125.9) Наконец усреднив (125.5) и (125.9) по распределению Гиббса, как это было сделано в предыдущем параграфе, найдем следующую формулу, обобщающую флуктуационно-диссипационную теорему (124.9); (х,хь), = — ггг1|ть, — гт,ь) 011| —.
1. г ггпу (125.10) Аналогично формулам (124.11), (124.12) можно выразить и формулу (125.10) через фиктивные случайные силы, действие которых дало бы результат, эквивалентный самопроизвольным флуктуациям величин хь Для этого пишем хгы СтгьЫ Ьыг | гы стга Хьы (125.11) и далее г„|г|п)ы = огт овпггх|хгп) г Подставив сюда (125.10), получим 11|Та) = — (гт,, — сг, ) сГй —. (125.12) Полученные результаты позволяют сделать определенные заключения о свойствах симметрии обобщенных восприимчивостей гтгь(ы) |Н.
В. Сайсп, М. В. Ватгав1гг и'. В. 3асевогг, В. Р. ессеи, 1952). Предположим сначала, что величины х,, хь инвариантны относительно обращения времени; тогда их операторы х,, хсь вещественны. Кроме того, будем считать, что тело не обладает магнитной структурой (см. примеч. Иа с. 456) и не находится во внешнем магнитном поле; тогда вещественны и волновые функции его стационарных состояний') . Поэтому будут вещественны также и матричные элементы величин х, а | ) Точные уровни энергии системы взаимодействующих частиц могут быть вырождены только цо направлениям полного момента системы. Этот Гл, хн Флуктъяции учитывая эрмитовость матриц хпт. имеем хпт, = хтп = хтп ° Тогда правая, а потому и левая части равенства (125.9) симметричны по индексам г, Й. Таким образом, а,,'.~ — аы = а~, — ала или агь + а,*г — — аы + а~„т.
е. Хлы приходллгл к выводу о симметричности вещественной части а,ь но вещественная (аль) и мнимая (а~~а) части каждой из величин аль связаны друг с другом линейными интегральными соотношениями — формулами Крамерса-Кронига. Поэтому из симметричности а,'ь следует симметричность также и а,"~, а потому и целиком агы Таким ОбразОМ приходим к Окончгчтельному результат у: аль(ог) = аы(ог). (125.13) Вид этих соотношений несколько меняется, если тело находится во внешнем магнитном поле Н. Волновые функции системы в магнитном поле не вещественны, а обладают свойством ггг*(Н) = гр( — Н).
Соответственно для матричных элементов величин х имеем хпгп(Н) хгпп ( Н)г и выражение в правой части (125.9) не меняется при переста- новке индексов г„й лишь при условии одновременного изменения знака Н. Поэтому мы приходим к соотношению а,*ь(Н) — аы(Н) = а,*ь( — Н) — аы( — Н) Еще одно соотношение дает формула Крамерса — Кронига (123.14), в силу которой имеет место связь вида аы = гХ(аы), где,У вещественный линейный оператор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
