V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 80
Текст из файла (страница 80)
примеч. на с. 384). Если все величины хм..., х„ведут себя одинаково по отношению к обращению времени (так что матрица величин уГь целиком симметрична), то скорости т, могут быть представлены в виде производных х1 = — —, 7" = — у,ьХ;Хь ду 1 (120.14) от квадратичной функции величин Х,, построенной на коэффи- циентах ури 419 1 121 лиосипативная Функция Важность функции у связана с тем, что ею определяется скорость изменения энтропии системы о'. Действительно, имеем дд . . дУ вЂ” шг — — Хггвг — Хг дт, дХ,' а поскольку у — — квадратгичная функция от Х.;, то по теореме Эгьлера получаем о = 21. (120.15) По мере приближения к равновесию энтропия возрастает, стремясь к максимуму.
Поэтому квадратичная форма у должна быть существенно положительной; этим накладываются определенные условия на коэффициенты у,ы Функция 7' может быть выражена и через величины гсб тогда ее производные дают скорости Х,: — уг = — г г.,г, т.го (120.16) дт,' 2™ При этом, разумеется., по-прежнему Е = — ш,Х, = 2у. Длн системы, состоящей из тела во внешней среде, можно преобразовать формулу (120.15), воспользовавшись тем, что изменение энтропии замкнутой системы при отклонении от равновесия равно"- Лш;вггТог где Л,„;„. †минимальн работа, необходимая для перевода системы ишз равновесного состояния в данное (см. (20.8) ') . Полагая также Л;„= ЬŠ— ТоЬВ+ Розг)' (где Е, Ег Ъ' относятся к телу, а То, Ро температура и давление среды), получим Š— ТоБ" + Р01г = — 21То.
(120.17) В частности, если отклонение от равновесия происходит при постоянных (равных То и Ро) температуре и давлении, то Ф = — 21Т, (120.18) а при постоянных температуре и объеме Ес = — 21Т. (120.19) й 121. Диссипативная функция Макроскопическое движение тел, погруженных во внешнюю среду, сопровождается, вообще говоря, необратимыми процессами трения, приводящими н конце концов к прекращению ) Благодаря этому соотношению между изменением энтропии н 77,„ь определение величин Х, можно написать также и в виде Х,=— (120.2а) т д", который иногда удобнее, чем определение (120.2) (ср.
(22.7)). 420 ФЛУКТУАЦИИ Гл, хп движения. Кинетическая энергия тел при этом переходит в тепло, или,как говорят, диссипируепь Чисто механическое рассмотрение такого движения, очевидно, невозможно, поскольку энергия макроскопического движения переходит в энергию теплового движения молекул тела и среды, то такое рассмотрение требовало бы составления уравнений движения для всех этих частиц. Поэтому вопрос о возможности составления таких уравнений движения в среде, которые бы содержали лишь макроскопические координаты тел, относится к области статистики. Эта задача, однако, нс может быть решена в общем виде. Поскольку внутреннее движение атомов тела зависит не только от движения тела в данный ыоу|ент времени, но и от предыдущей истории этого движения, в уравнения движения будут, вообще говоря, входить не только макроскопические координаты тел Цы Яэ,..., 1УУ и их первые и вторые производные по времени, но и все производные высших порядков (точнее — — функции 1Фч(1) войдут под действием некоторого интегрального оператора).
Функции Лагранжа для макроскопического движения системы при этом, конечно, не существует, и уравнения движения в различных случаях будут иметь совершенно разли н1ый характер. Форма уравнений движения может быть установлена в общем виде для случая, когда можно считать, что заданием координат Ч, и скоростей 1Ф11 состояние системы в данный момент времени определяется полностью, и производными высших порядков можно пренебречь (более точно критерий малости должен устанавливаться в каждом конкретном случае).
Кроме того, мы будем считать, что сами скорости 01 достаточно малы, так что их высшими степенями можно пренебрегать. Наконец, предположим, что движение представляет собой малые колебания около некоторых положений равновесия — случай, с которым в этой связи обычно и приходится иметь дело; при этом ушювимся считать координаты Я; выбранными таким образом, чтобы в положении равновесия было Я; = О. Тогда кинетическая энергия системы К(ь,ч) будет квадратичной функцией скоростей Гу)1, нс зависящей от самих координат 1,11: потенциальная же энергия ст©), связанная с действием внешних сил, будет квадратичной функцией координат с,10 Введем обобщенные импульсы Р,, определив их, как обычно, ранее!стаями Р,= (121.1) дЯ, которые определяют импульсы в виде линейных комбинаций скоростей.
Выразив при помощи этих равенств скорости через импульсы и подставив в кинетическую энерги1о, получим 421 8 121 лиссинАтивнля Функция последнюю в виде квадратичной функции импульсов, причем будут иметь место равенства дК(Т,) (121.2) дР, Если пренебречь процессами диссипации полностью, то уравнения движения будут обычными уравнениями механики, согласно которым производные импульсов по времени равны соответствующим обобщенным силам; Р, = — —. д12, (121.3) Прежде всего отметим, что уравнения (121.2), (121.3) нахо- дятся в формальном соответствии с принципом симметрии ки- нетических коэффициентов, если под введенными в 3 120 величи- нами я1, х2..... т2,, понимать координаты 1У1, и импульсы Рь Дей- ствительно, минимальная работа, необходимая для приведения тел из состояния покоя в положениях равновесия в положения 1у11 с импульсами Р;, есть 11~;„= К(Р,) + 11 (ф).
Поэтому роль вели- чин Х1,Х2,...,Х2,. буду.т играть производные (см. примеч. На с. 419): 1дВ, 1 дГ 1дй„„1дК Т д12, ТдЩ' ' Т дР, ТдР,' а уравнения (121.2), (121.3) будут соответствовать соотношениям (120.5), причем у~,, = — т=-у~д, в соответствии с правилом (120.12) (мы имеем здесь дело со случаем, когда одна из величин (11,) остается неизменной при изменении знака времени, а другая (Р;) ..меняет знак). В соответствии с общими соотношениями (120.5) мы можем теперь написать уравнения движения с учетом процессов диссипации, прибавив к правым частям равенств (121.2), (121.3) некоторые дополнительные линейные комбинации величин Х12,, Хр„ причем таким образом, чтобы была соблюдена требуемая симметрия кинетических коэффициентов.
Легко, однако, видеть, что равенства (121.2) следует оставить неизменными; действительно, эти равенства представляют собой просто следствие определения импульсов (121.1), не имеющего отношения к наличию или отсутствию процессов диссипации. Тем самым устанавливается, что к равенствам (121.3) можно добавить линейные комбинации лишь величин Хр, (т.е. г1роизводных ДК10Р,); в противном случае нарушится симметрия кинетических коэффициентов. 422 г: лкктклции гл, хо Таким образом, получаем систему равенств вида И> ' ОК Р;=- — — ~ъ, ОЩ ОРг ' /с=1 где постоянные коэффициенты у.;гг связаны соотношениями 7гЬ = 'гйг.
(121.4) ОК Заменив = С,>Ы напишем окончательно: ОРг дГ ч Рг = ,7 7гвггггг. ОЯ, ь=1 (121.5) 1 2 ~~-~~ (121.6) называемой диссипатиеной функцией. Тогда ОГ ОУ ОЯ, ОЯ, (121. 7) Введя функцию Лагранжа Ь = К вЂ” 1>', можно написать эти уравнения движения в форме д ОЬ ОЬ О1 (121.8) МОЯ, ОЯ4, ОЯ,' которая отличается от обьгшой формы уравнений Лагранжа, стоящей в правой части производной от диссипативной функции.
Наличие трения приводит к уменыпению полной механической энергии (К+ У) движущихся тел. В соответствии с общими результатами 2 120 скорость этого уменьшения определяется диссипативной функцией. Ввиду некоторого различия в обозначениях здесь и в у 120, покажем это заново. Имеем (К+~)=~( Рг+ Ф) =~~ Яг(рг+ )г г=1 г Это и есть искомая система уравнений дни>кения, Мы видим, что наличие процессов диссипации приводит в рассматриваемом приближении к появлению дополнительных сил трения, линейно зависящих от скоростей движения.
Вследствие соотношения (121.4) эти силы можно написать в виде производных по соответствующим скоростям от квадратичной функции 423 спектРАльнОБ РАзложение ФлуктуАцнЙ или, подставив (121.7) и имея в виду квадратичность диссипа- тивной функции, Н д1 лг — (Х+ бг) = — ~ Я,—.
= — 21, дЯ, г как и должно было быть. Укажем в заключение, что при наличии внешнего магнитного поля уравнения движения по-прежнему имеют вид (121.5), с той лишь разницей, что вместо (121.4) будет у„(н) = у„,(-н). Благодаря этому, однако, не будет существовать диссипатнвной функции, производные от которой определяли бы силы трения; поэтому уравнения движения не смогут быть написаны в виде (121.7). й 122. Спектральное разложение флуктуаций Введем спектральное разложение флуктуирующей величины х(1) по обычным формулам разложения Фурье: х„= х(г)е'" й, (122.1) и обратно х(1)= х е йв (122.2) ~Р(т — 1) = (х(~')х(г)) = (х хы )е е~ы ~ ~,. (122.3) ') В способе введення спектрального разложения флуктуаций мы следуем С. М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
