V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 88
Текст из файла (страница 88)
является одной из точечных групп. Легко видеть, что каждый узел решетки Бравэ представляет собой ее центр симметрии. Действительно, каждому атому в решетке Бравэ соответствует другой атом, расположенный на одной прямой с данным узлом и первым атомом таким образом, что оба атома находятся на равных расстояниях от узла. Если центр симметрии является единственным (кроме трансляций) элементом симметрии решетки Бравэ, то имеет место так называемая: 1. Т р и к.л и н н а я с и с т е м а.
Эта система, наименее симметричная из всех, соответствует точечной группе Сь Узлы триклинной решетки Бравэ расположены в вершинах одинаковых параллелепипедов с произвольными длинами ребер и углами СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. ХИ1 между ними; такой параллелепипед изображен на рис. 56.
Решетки Бравэ принято обозначать особыми символами; решетка триклинной системы обозначается как Гь г,. го г'„ В г„ Г1 г„„ г, ГО Гс Рис. 56 2. Моноклинная система является следующей по степени симметричности. Ее элементы симметрии -- ось второго порядка и перпендикулярная к ней плоскость симметрии, т.е. эта система представляет собой точечную группу Сзь. Это есть симметрия, которой обладает прямой параллелепипед с произвольным основанием. Решетка Бравэ этой системы может осуществляться двулля способами.
В первохл случае так называемая простая моноклинная решетка Бравэ (Г ) узлы расположены в вершинах прямых (в направлении Ь) параллелепипедов с произвольным параллелограммом в качестве грани ас кеистАлличвские еиствмм (рис. 56). Во втором случае решетка с центрированными основаниями (Г„„) —.
узлы расположены пе только в вершинах, но и ь в центрах противоположных прямоугольных граней параллелепипедов. 3. Ромбическая (или ортогональная) система соответствует точечной гручше Пзь. Это есть симметрия прямоугольного параллелепипеда с произвольными длинами ребер. К ромбической системе относятся четыре вида решеток Бравэ.
В простой ромбической решетке (Го) узлы расположены в вершинах прямоугольных параллелепипедов. В решетке с центрированными основаниями (Го) узлы находятся также в центрах ь двух противоположных г раней каждого параллелепипеда. Далее, в обьемноцентрированной решетке (Го) узлы находятся в вершинах и центрах параллелепипедов и, наконец, в грапецентрированной решетке (Го~) узлы находятся, кроме вершин, также и в центрах всех граней.
4. Тетрагоцальная (или квадратная) система представляет собой точечную группу 04ь, .это есть симметрия, которой обладает прямая призма с квадратным основанием. Решетки Брава этой системы могут осуществляться двумя способами. Именно, существуют простая и обьемноцентрированная тетрагональные решетки Брава (обозначаемые соответственно как Гч и Г") с узлами, расположенными соответственно по вершинам и по вершинам и центрам прямых призм с квадратными основаниями. 5. Ромб оэдрическая (или григ он альн ая) с истем а, соответствует точечной группе Х)зл, такой симметрией обладает ромбоэдр (фигура, получающаяся при растяжении или сжатии куба вдоль его пространственной диагонали). В единственной возможной в этой системе решетке Брава (Г„ь) узлы расположены в вершинах ромбоэдров. 6. Гексагопальная система соответствует точечной группе ХЭвь; такой симметрией обладает правильная шестигранная призма.
Решетка Бравэ этой системы (Гь) может быть осуществлена только одним способом ее узлы расположены в вершинах правильных шестигранных призм и в центрах их шестиугольных оснований. Полезно указать на следующее различие между ромбоэдрической и гексагональной решетками Брава. И в той и в другой узлы расположены в плоскостях, перпендикулярных к оси 6-го (или 3-го) порядка, таким образом, что образуют сетку из равносторонних треугольников. Но в гексагональной решетке в последовательных (вдоль оси Св) таких плоскостях узлы расположены непосредственно друг над другом (на рис. 57 эти плоскости изображены в плане).
В ромбоэдри- 464 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ Гл. хп! РИС. 57 ческой же решетке в каждой следующей плоскости узлы расположены над центрами треугольников, образованных у.злами предыдущей плоскости (кружки и крестики на рис. 57). 7. К у б и ч е с к а я с и с т е м а соответствует точечной группе Оь! это есть симметрия куба. К этой системе относятся три типа решеток Брава: простая кубическая (ГВ), обьемноцентрированная 'г (Г,") и гранецентрированная (Г~).
В последовательности систем три- о, ;о ,Ч клинной, моноклипной, ромбической! тетрагональной и кубической каждая 'р' '!' >' обладает большей симметрией, чем все предыдущие. Другими словами, Π— — — — -р — — — — р каждая следующая из них содержит в себе все элементы симметрии, содержащиеся в предыдущих. Ромбоэдриче- О,;~" окая система обладает в том же смысле ',,' х,' х симметрией более высокой, чем моноклинная, и в то же время более низкой, чем симметрия кубической и гексагональной систем: ее элементы сил!Метрии содержатся и в той и в другой.
Наиболее симметричными являются именно эти две последние системы. Укажем еще на следующее обстоятельство. На первый взгляд могло бы показаться, что возможны еще некоторые типы решеток Бравэ, кроме перечисленных четырнадцати. Так, если к простой тетрагональной решетке присоединить еще по узлу в центрах противоположных квадратных оснований призм, то решетка имела бы при этом по- прежнему тетрагональную симметрию. Легко, однако, видеть, что мы при этом не получили бы новой решетки Бравэ. Действительно, соединив узлы такой решетки указанным на рис.
58 (Гпт|>ГГХОВ! !Ми линиями) с~особо~, что новая решетка является, по-прежнему простой тстрагональной. Легко убедиться, что то же самое имеет место и во всех других подобных случаях. Параллелепипеды решетки Бравэ, изображенные на рис.
56, сами по себе обладают всоми элементами симметрии той системы, к которой они относятся. Необходимо, однако, .иметь в виду, что во всех случаях, за исключением только простых решеток Брава, эти параллелепипеды не являются элементарными ячейками: периоды, на которых они построены, не явля!отея 465 кгис:тллличнскик кллсаы основными. В качестве основных периодов в гранецентрированных решетках Бравэ можно выбрать векторы из какой-нибудь вершины параллелепипеда к центрам граней; в обьемноцентрированной- из вершины в центры параллелепипедов и т.п. На рис. 59 изображены элементарные ячейки для кубических решеток ГУ.
[" — — — — — —— и Г', эти ячейки предста- с1 вляют собой ромбоэдры и отнюдь не обладают сами по себе всеми элементами симметрии кубической системы. Очевидно, что обьем пу гранецен- Рис. 59 трированного параллелепипеда Бравэ в четыре раза больше об"ьема элементарной ячейки: еу = 4п; обьемы же обьемноцентрированного параллелепипеда и параллелепипеда с центрированпыми основаниями равны удвоенным объемам элементарной ячейки: ое = 2п, нь = 2п. Для того чтобы полностью определить триклинную решетку Бравэ, необходимо указать шесть величин; длины ребер ее параллелепипедов и утлы между ними; в моноклинной достаточно уже четырех величин, так как два из углов между ребрами всегда прямые, и т.д. Аналогичным образом легко найти, что решетки Бравэ различных систем определяются следующим числом величин (длин ребер параллелепипедов или углов между.
ними): Триклиниая.................... б Ромбоэдрическая............... 2 Моиоклинная................... 4 Гексагональная................. 2 Ромбическая.................... 3 Кубическая..................... 1 Тетрагональная ................ 2 9 131. Кристаллические классы В цсшом ряде явлений, которые можно назвать макроскопическими, кристалл ведет себя как однородное сплошное тело. Макроскопические свойства кристалла зависят только от направления в пем. Так, особенности прохождения света через кристалл зависят только от направления луча света; тепловое расширение кристалла происходит, вообще говоря, различно по разным направлениям; наконец, упрутие деформации кристалла под влиянием тех или иных внешних сил также зависят от направлений. С другой стороны, симметрия кристаллов приводит к эквивалентности различных направлений в нем.
Вдоль этих эквива- СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ Гл. хп! лентных направлений все макроскопические свойства кристалла будут в точности одинаковыми. Мы можем, следовательно, сказать, что макроскопические свойства крис>алла определяются симметрией направлений в нем. Если, например, кристалл обладает центром симметрии, то всякому направлению в нем будет эквивалентно прямо противоположное. Трансляционная симметрия решетки не приводит к эквивалентности каких-либо направлений —. параллельные переносы вообще не меняют направлений. По этой же причине для симметрии направлений несущественно различие между винтовыми и простыми осями симметрии или между простыми плоскостями симметрии и плоскостями зеркального скольжения.
Таким образом, симметрия направлений, а потому и макроскопических свойств кристалла определяется совокупностью его осей и плоскостей симметрии, причем винтовые оси и плоскости скольжения надо рассматривать как простые оси и плоскости. Такие совокупности элементов симметрии называются кристаллическими классами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
