V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 89

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 89)

Как мы уже знаем, реальный кристалл можно рассматривать как совокупность нескольких решеток Бравэ одинакового типа, вдвинутых друт в друга. Благодаря такому наложению решеток Бравэ симметрия реального кристалла, вообще говоря, отличается от симметрии соответствующей решетки Бравэ. В частности, совокупность элементов симметрии класса данного кристалла отличается, вообще говоря., от его системы.

Очевидно, что присоединение к решетке Бравэ новых узлов может привести только к исчезновению некоторых из осей или плоскостей симметрии, но не к появлению новых. Поэтому кристаллический класс содержит меньше — или в крайнем случае столько же-. элементов симметрии, чем соответствующая ему система, т. е. совокупность осей и плоскостей симметрии решетки Брава данного кристал.ла. Из сказанного вытекает способ нахождения всех классов, относящихся к данной системе. Д!Ля этого надо найти все точечные группы, содержащие все или только некоторые из элементов симметрии системы.

При этом, однако, может оказаться, что какая-либо из получающихся такиь! образом точечных групп состоит из элементов симметрии, содержащихся пе только в одной, но в нескольких системах. Так, мы видели в предыдущем параграфе, что центром симметрии обладают все решетки Бравэ. Поэтому точечная группа С', содержится во всех системах.

Тем не менее распределение кристаллических классов по системам оказывается обычно с физической точки зрения однозначным. Именно, каждый класс должен быть отнесен к наименее симметричной из всех тех систем, в которых он содержится. кгиоталлические клАГоы Так, класс С; должен быть отнесен к триклииной системе, не обладающей никакими другими элементами симметрии, кроме центра инверсии. При таком способе распределения классов кристалл, обладающий некоторой решеткой Бравэ, никогда не будет относиться к классу, для осуществления которого достаточной была бы решетка Бравэ более низкой системы (за одним только исключением-.

см. ниже). Необходимость выполнения этого условия очевидна с физической точки зрения. Действительно, физически крайне невероятно, чтобы атомы кристалла, относящиеся к его решетке Бравэ, расположились более симметричным образом, чем этого требует симметрия кристалла. Более того, если бы даже такое расположение случайно осуществилось, то достаточно было бы любого, даже слабого, внешнего воздействия (скажем, нагревания), чтобы это расположение, как не связанное необходимым образом с симметрией кристалла, нарушилось бы. Например., если бы кристалл, относящийся к классу, для осуществления которого была бы достаточна тетрагональная система, обладал кубической решеткой Бравэ, то уже незначительное воздействие оказалось бы способным удлинить или укоротить одно из ребер кубической ячейки, превратив ее в прямую призму с квадратным основанием.

Из этого примера видно, что существенную роль играет то обстоятельство, что решетка Бравэ высшей системы может быть переведена в решетку низшей системы уже посредством сколь угодно малой ее деформации. Бетти однако, одно исключение, когда такое превращение невозможно. Именно, гексагональная решетка Бравэ никакой бесконечно малой деформацией не может быть переведена в решетку более низкой по симметрии ромбоэдрической системы: действительно, из рис. 57 видно, что для превращения гексагопальной решетки в ромбоэдрическую необходимо переместить узлы в чередующихся слоях иа конечную величину из вершин в цеисры треугольников. Это приводит к тому, что все классы ромбоэдрической системы осуществляются как с гексагональиой, так и с ромбоэдрической решетками Бравэ') . Таким образом, для нахождения всех кристаллических классов надо начать с отыскания точечных групп наименее симметричной системы триклиииой, переходя затем поочередно к системам более высокой симметрии и пропуская при этом те из содержащихся в них точечных групп, т.е.

классов, которые уже были отнесены к низшим системам. Оказывается, что существует всего 32 класса; приводим список этих классов, ') Кристаллы ромбоэдрическик классов с гексагональной решеткой Брава принято относить к ромбоэдрической системе.

468 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. ХП! распределенных по системам: Система Классы Триклинная.............,................. С'л, С', Моноклинная......................... См С'з, С'зи Ромбическая.......................... Сз,„.0з, 1Эзл, Тетрагональная... л4, 1Эзг, Сл, С44, С'.4,;, Юл, .Олз РомбоэГлрическая........... Сз, оз, Сз,, Оз, Тузл Гексагоналъная...

Сзз; Озз, Сз, Сзз, Сз,, Юз, Юзз Кубическая.............., .. Т, 'Гз, Тг, О, Оз В каждом из написанных здесь рядов классов последний является наиболее симметричным и содержит все элементы симметрии соответствующей системы. Классы, симметрия которых совпадает с симметрией системы, называются голоодрическими. Классы., обладающие числом различных преобржэований симметрии (поворотов и отражений, включая в их число тождественное преобразование), вдвое и вчетверо меныпим, чем у голоэдрического класса, называются соответственно гелли- и тетартоэдрическими. Так, в кубической системе класс Оь является голоэдрическизл! классы О, ТА, Тл -- геклиэдрическими, а класс Т -- тетартоэдрическим. й 132.

Пространственные группы Изучив симметрию решеток Бравэ и симметрию направлений в кристалле, мы можем, наконец, перейти к рассмотрению полной истинной симметрии кристаллических решеток. Эту симметрию можно назвать микроскопической в отличие от макроскопической симметрии кристаллов, рассмотренной в предыдущем параграфе. Микросколшческая симметрия определяет те свойства кристалла, которые зависят от расположения атомов в его решетке (таким свойством является, например, рассеяние рентгеновских лучей кристаллом). Совокупность всех элементов симметрии (исти!!пой) кристаллической решетки называется ее пространственной группой.

Решетка всегда обладает определенной трансляционной симметрией и, кроме того, может обладать простыми и винтовыми осями симметрии, зеркально-поворотными осями и плоскостями симметрии -- простыми и зеркального скольжения. Что касается трансляционной симметрии решетки, то она вполне определяется ее решеткой Бравэ! так как по самому определению последней кристаллическая решетка не может иметь никаких трансляционных периодов., кроме периодов ее решетки Бравэ. Поэтому для определения пространственной тру ппы кристалла достаточно, кроме указания решетки Браня, перечислить элементы симметрии связанные с поворотами и отражениями.

При этом, конечно, должно быть указано также и 469 пРОГ'ТРАнствкнные ГРуппы расположение этих плоскостей и осей симметрии друг относительно друга. Далее надо иметь в виду, что трансляционная симметрия кристаллической решетки приводит к тому, что если решетка имеет какую-нибудь ось или плоскость симметрии, то имеется бесконечное множество таких параллельных друг другу осей или плоскостей, совмещающихся друг с другом при параллельных переносах на трансшяционные периоды решетки. Наконец, кроме этих осей (или плоскостей) симметрии, отделенных друг от друта периодами решетки, одновременное наличие трансляционной симметрии и осей (плоскостей) симметрии приводит к появлению других осей (плоскостей), которые не могут быть совмещены с первоначальными параллельным переносом на какой-нибудь период.

Например, наличие плоскости симметрии приводит к появлению не только параллельных ей плоскостей, находящихся на расстоянии периода друг от друга, но еще плоскостей симметрии, делящих эти периоды пополам. Действительно, легко убедиться в том, что отражение в некоторой плоскости с последующим переносом на какое-нибудь расстояние г! в направлении, перпендикулярном к плоскости, эквивалентно простому отражению в плоскости, параллельной первоначальной и находящейся на расстоянии г!,12 от нее.

Все возможные пространственные группы распределяются по криста.ллическим классам. Именно, каждая пространственная группа относится к тому классу, в котором совокупность осей и плоскостей симметрии та же, что и в пространственной группе, евши в последней не делать различия между простыми и винтовыми осями и простыми и скользящими плоскостями.

Всего оказываются возможными 230 различных пространственных групп') . Они были впервые найдены Е. С. Федоровым (1895 г.). Пространственные группы распределяются по классам следующим образом (табл. 1). Мы не станем приводить здесь перечисления элементов симметрии всех пространственных групп, которое было бы весьма громоздким. Его можно найти в специальных кристаллографических справочниках'). Пространственные группы, не содержал!ие винтовых осей или плоскостей скольжения, называют симморфными, всего су- ) В том числе одинпазп!ать пар пространственных груши отличающихся друг от друга только направлением арап!ения вокруг своих винтовых осей. ) Полное описание пространственных групп можно найти, например., в книгах: Любарский Г. Я.

Теория групп и ее применения в физике (Приложение 1Ъ'):- Мл Физматгиз, 1958; 1псегпас!Пг1а! ТаЫея 1ог Сгуяса!!ПкгарЬу, У. А. Брасе Сгопр Бупгюе!Гу.— Погг!Гесйс — Воьчоп: В. Ке!г)е! РпЫ!яЬ!п8 Сощрапу, 1983. В последних перечислены также для каждой пространственной группы вСЕ эквивалентные точки. 470 аиммвтгия кгисталлов гл. хш шествует 73 такие группы. Остальные 157 пространственных ~руин содержат указанные элементы симметрии.

Отметим, что Таблица1 3 133. Обратная решетка Все физические величины, характеризуюгцие свойства кристаллической решетки, обладают такой же периодичностью, как и сама решетка. Таковы, например, плотность заряда, создаваемая электронами атомов в решетке, вероятность нахождения атомов в том или ином месте решетки и т. и. Пусть функция Г(г) представляет собой какую-либо из таких вели пш. Ее периодичность означает,что 77(г + н1 а1 + пэаэ + нэаэ) = 77(г) (133.1) при любых целых нм пэ, пэ (аы аэ, аэ основныс периоды решетки).

Разложим периодическую функцию Г(г) в тройной ряд Фурье. Это разложение можно написать в виде Г = ~~» 77ье'~", ь (133.2) где суммирование происходит по всем возможным значениям вектора Ь. Эти возможные значения Ь определяются из кристаллические решетки., относящиеся к несимморфным пространственным группам, .заведомо должны содержать по крайней мере два одинаковых атома в элементарной ячейке.

Характеристики

Список файлов книги