V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Действительно, ~тоскольку поворот вокруг винтовой оси, или отражение в плоскости скольжения связаны с переносом на долю основного периода, то такое преобразование не совмещает друг с другом узлы решетки Бравэ; кристаллическая решетка должна поэтому быть построена по крайней мере из двух вдвинутых друг в друга решеток Бравэ, заполненных одинаковыми атомами. ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА 471 о = а11а2аз) (133.4) Таким образом, мы определили возможные значения вектора Ь. Суммирование в (133.2) распространяется по всем целым значениям Р12 Р22 Рз Геометрически произведение и = а11а2аз) представляет собой обьем параллелепипеда, построенного на векторах а1, а2, аз, т.е.
объем элементарной ячейки; произведения же ~ала2) и т.д. изображают площади трех граней этой ячейки. Векторы Ь; имеют, следовательно, размерность обратной длины., а по величине равны умноженным на 222 обратным высотам параллелепипеда, построенного на векторах а1, а22 аз. Из (133.4) видно, 1то между Ь, и а„имеют место соотноше- / О, если лу=й, '1 2п, если 2' = Й. Это значит, что вектор Ь1 перпендикулярен к векторам а2, аз и аналогично для Ь2, Ь1. Определив векторы Ьь мы можем формально построить решетку с основными периодалги Ь1, Ь2, Ьз. Построенная таким образом решетка носит название обратной, а векторы Ь1, Ь2, Ьз называются периодами (основны2ми) обратной решетки ') . Вычислим объем элементарной ячейки обратной решетки.
Он равен п~ = Ь1~ЬЗЬЗ). ') Определение (133.4), принятое в современной физической литературе, отличается множителями 2в от определения, принятого в чистой кристаллографии. требования, чтобы функция Г1, представленная в виде ряда (133.2), удовлетворяла условию периодичности (133.1). Это значит, что все экспоненциальные множители не должны меняться при замене г на г + а, где а — любой из периодов решетки. Для этого необходимо, чтобы скалярное произведение аЬ было всегда целым кратным от 222. Выбирая в качестве а последовательно основные периоды а1, а22 аз, мы должны, следовательно, иметь а1Ь = 22гр1, аЗЬ = 22РР2, азЬ = 2ЯРз, где р1, Р2, Рз -- целые положительные или отрицательные числа (включая нуль).
Решение этих трех уравнений имеет вид Р1Ь1 + Р2Ь2 + РЗЬЗ2 (133.3) где векторы Ь, определлгются через а, следующими соотношениями; 2я 2Я Ь1 = — '1аэаЗ), Ь2 = — 1а21а1], в 21 472 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. ХП! Подставляя сюда выражения (133.4)! находим о' = —., [агав][[ага!][азаг]] = —,. ([агав]а!)([ага!]аг), (гх) (гл)з (г„)з о = —. о или окончательно: (133.6) Ьа/2х = пзр! + пгрг+ пзрз = т, (133. 7) где т -- заданная постоянная. Для того чтобы это уравнение представляло собой плоскость, заполненную бесконечным множеством узлов решетки Бравэ (о таких плоскостях говорят, как о кристаллических)! надо, чтобы оно удовлетворялось набором целых чисел пГ, пг, пз. Для этого, очевидно, постоянная т тоже должна быть целой.
При заданных рГ, рг, рз и пробегающей различные целые значения постоянной т уравнение (133.7) определяет, следовательно, бесчисленное множество кристаллических плоскостей, которые все параллельны друг другу. Каждому вектору обратной решетки соответствует определенное Очевидно, что ячейка обратной решетки триклинной решетки Бравэ тоже является произвольным параллелепипедом. Аналогично, обратные решетки простых решеток Бравэ других систем тоже являются простыми решетками той же системы, например, обратная решетка простой кубической решетки Бравэ тоже имеет простую кубическую ячейку. Легко, далее, убедиться при помощи простого построения в том, что обратная решетка гранецентрированных решеток Бравэ (ромбической, тетрагональной и кубической) представляет собой объемноцентрированную решетку той же системы: при этом об"ьем параллелепипеда Бравэ обратной решетки о,', = 8(2Л)з/о7, где о7 обьем параллелепипеда Бравэ прямой решетки.
Обратно, прямой об ьемноцентрированной решетке отвечает гранецентрированная обратная решетка, причем снова о~~ — — (2л)з8Г!оо. Наконец, для прямой решетки с центрированными основаниями обратная решетка тоже имеет ячейки с центрированными основаниями, причем о' = (2х)з 4(ом Как известно, уравнение вида Ьг = сонэк, где Ь постоянный вектор, описывает плоскость, перпендикулярную к вектору Ь и находящуюся на расстоянии сопвФ!!Ь от начала координат. Выберем начало координат в каком-нибудь из узлов решетки Брава, и пусть Ь = рГЬ! +)згЬг + рзЬз есть какой-яибудь вектор обратной решетки (рГ, рг, рз целые числа).
Написав такж!'. г в виде а = пза! + пгаг + пзаз, получаем уравнение плоскости вида ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА указанным способом семейство параллельных кристаллических плоскостей. Числа ры р2, рз в (133.7) можно представлять себе всегда взаимно простыми, т.е. не имеющими общего делителя, за исключением единицы. Рхли такой делитель имелся бы, то можно было бы разделить па, него обе стороны уравнения, причем получилось бы УРавнение того же виДа. 1игла Ры Р2, Рв пазываютсЯ и22декспми Миллера данного семейства кристаллических плоскостей и обозначаются как (р~рярз).
Плоскость (133.7) пересекает оси координат (выбранные вдоль основных пеРиодов аы ав, аз) в точках Тпа~(Ры п2аз/Рз, таз/рз. Отношение длин отрезков (измеренных соответственно в единицах аы а2, аз), отсскаемых плоскостью от осей ко- 1 1 1 ординат, есть —: —: —, т.е. эти длины относятся обрат- Ю Г2 ГЗ по пропорционально индексам Миллера. Так, индексы Миллера плоскостей., параллельных координатным плоскостям (т.е.
отсокающих от осей отрезки, относящиеся как ОО; ОО: 1), равны (100), (010), (001) соответственно для трех координатных плоскостей. Плоскости, параллельные диагональной плоскости основного параллелепипеда решетки, имеют индексы (111) и т.д. Легко определить расстояние между двумя последовательными плоскостями одного и того же семейства. Расстояние плоскости (133.7) до начала координат есть 2я гп!Ь, где б есть длина данного вектора обратной решетки. Для следующей плоскости это расстояние есть 2я(2п + 1)/б.
Расстояние же д между двумя плоскостями есть 2 (133.8) Заканчивая обсуждение вопроса о симметрии кристаллической решетки, отметим, что строго периодические кристаллы не исчерпывают собой все возможные типы твердых тел. Существуют еще так называемые яесоиэА2еримме кристаллические фазы, функции плотности которых р(х, у, е) являются не периодическими, а условно-периодическими функциями координат. Ряд Фурье вида (133.2) некоторой функции Г(г), характеризующей свойства такой фазы, содержит векторы Ъ, являющиеся линейными комбинациями (с целыми коэффициентами) более чем трех «основных периодовь. Установленные выше свойства симметрии периодических кристаллов, вообще говоря, не имеют места для несоизмеримых фаз. В частности, они могут обладать осями симметрии не только указанных в 3 130 порядков.
474 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ Гл. хп! й 134. Неприводимые представления пространственных групп Физические применения теории симметрии обычно связаны с использованием математического аппарата так называемых представлений групп. В этом параграфе мы остановимся на вопросе о классификации и методе построения неприводимых представлений пространственных групп') . Предварительно снова подытожим, в более математических терминах, изложенные в прсдыдугцих параграфах сведения о структуре пространственных групп. Каждая пространственная группа содержит подгруппу трансляций, заключающую в себе бесконечное множество всех возможных параллельных переносов, совмещающих решетку саму с собой; эта подгруппа и представляет собой с математической точки зрения то., что называется решеткой Бравэ кристалла. Полная пространственная группа получается из этой подгруппы добавлением п элементов симметрии, содержащих вращения и отражения, где п число преобразований симметрии соответствующего кристаллического класса; эти элементы будем называть поворотными.
Всякий элемент пространственной группы можно представить как произведение одной из трансляций на один из поворотных элементов' ) . Если пространственная группа не содержит винтовых осей и плоскостей скольжения (симморфная группа), то в качестве поворотных элементов можно выбрать просто и преобразований симметрии вращений и отражений — кристаллического класса. В несимморфных же группах поворотные элементы представляют собой вращения и отражения с одновременным переносом на определенную долю одного из основных периодов решетки. Для ясной характеристики элементов пространственной группы удобно обозначать их символами (Р)С), где Р какое-либо вращение или отражение, а С вектор одновременной трансляции; при воздействии на радиус-вектор г какой-либо точки: (Р~С)г = Рг+ С.
Перемножение элементов происходит по очевидному правилу (Р'(С')(Р)С) = (Р'Р(Р'С + С'). (134. 1) 1 ) Предполагается знание читателем теории групп а объеме, содержащемся, яапример, я Ш, гл. ХП. ) Отметим, что подгруппа трансляций . абелева (асе ее элементы коммутатиэиы между собой), и что оиа предстаяляет собой иормальпый делитель асей простравстэаввой группы: асе элементы группы, сопряжешгые с трансляциями, тоже являются трансляциями (иапомиим, что дэа элемента А и В называются сопряженными, если А = С ВС, где С вЂ”.
тоже элемент группы). г га4 икпгпводимык пгкдотлвлкпия пгоотгкиотвкипых ггкпп 475 Элемент, обратный элементу (Р~Ф), есть (Р/С) = (Р ! — Р 1). (134.2) при умножении на (Р)С) он дает едияи шый элемент группы (Е)О) (где Е символ тождественного поворотного преобразования). В частности, чистые трансляции изображаются символом (Е~а), где а - какой-либо из периодов решетки. Поворотные элементы в симморфных группах, выбранные указанным выше образом, являются элементами вида (Р~О). В несимморфных же группах поворотные элементы имеют вид (Р~т), где т--- та доля периода решетки, на которую происходит перенос в винтовой оси или плоскости скольжения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
