V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Существенное отличие состоит, ) Помимо вырождений, связанных с симметрией решетки, может иметь место также и вырождение при «случайныхг значениях к; существование таких вырождений могло бы быть предсказано теоретически лишь путем фактического решения уравнений движения атомов в конкретной решетке. Исследование возможных здесь случаев см.
а статье: Негттяй С.НР11уз. Нет. 1937. 1г. 52. Р. Збб (Эта статья воспроизведена в сборнике: Нокс Р., Голд А. Симметрия в твердом теле./Пер. с англ. под ред. В. сй Бонч-Бруевича. —.Мл Наука, 1970.) 488 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ Гл. хп! однако, в том, что колебания решетки характеризуются еще и параметром )с, пробегающим непрерывный ряд значений, и классификация должна !троизводиться для каждого значения (или каждой категории значений) волнового вектора в отдельности. Заданием значения )с определяется звезда неприводимого представления пространственной группы. Поэтому фактически необходимо определить лишь колебателыгое малое представление и разложить его на неприводимые малые жс представления неприводимые представления группы симметрии вектора 1с. В особенности просто проведение классификации предельных (при 1с э 0) колебаний решетки. При 1с = 0 неприводимые малые представления для всех (как симморфных, так и несимморфных) пространственных групп совпадают с неприводимыми представлениями то гечной группы симметрии репи!тки — ее кристаллического класса.
Для нахождения же колебательного представления (Р ел) надо рассматривать только атомы в одной элементарной ячейке (другими словами, все трансляционно эквивалентные атомы ') надо рассматривать как один и тот же атом). Не повторяя заново всех рассуждений, которые проводятся в этой связи для колебаний атомов в молекуле, сформулируем следующее правило нахождения характеров колебательного представления решетки для )с = О.
Характеры поворота С(!!з) на угол !!з вокруг оси симметрии или поворота Я(у) вокруг зеркально-поворотной оси, равны у „,(С) = мп)~„(С), )~ ш,(Я) = пн)~е(Я), (136.3) где Хв(С) = 1+ 2сов!р, Кв(Я) = — 1+ 2сов!)! -- характеры представления, осуществляемого тремя компонентами вектора (полярного), а ип или ия число атомов, которые при преобразовании остаются на месте или переходят в трансляционно эквивалентные места') .
Эти же формулы определяют характеры для отражения в плоскости (преобразование о(0)) и для инверсии в центре симметрии (преобразование о(х)). Поворот вокрут винтовой оси ипи отражение в плоскости скольжения заведомо переводят все атомы в трансляционно не эквивалентные положения:, поэтому для них всегда )г ол = О. ! ) То есть заполняющие узлы одной и той же ре!летки Брава. г ) В случае молекулы в характерах колебательного представления должно было производиться вычитание с целью исключения координат, отвечающих смещению или повороту молекулы как целого.
В случае решетки число (6) этих степеней свободы исчезающе мало по сравнению с полным числом степеней свободы, и соответству!ощее вычитание не требуется. 1 шб свойства симмвтгии иогмкльиых колкваиий гвшвтки 489 Проиллюстрируем эти правила примером ') .
Решетка алмаза относится к несимморфной пространственной группе Оь. Она имеет гранецентрировацную кубическую решетку Бравэ с двумя одинаковыми атомами в элементарной я гейкс, занимающими положения в вершинах (000) и в точках (1/4 1/4 1/4) на пространственных диагоналях кубических ячеек') . Половина поворотных элементов группы О~ ~совпадает с вращениями и отражениями точечной группы Тз.
Эти преобразования оставляют оба атома на местах или переводят их в трансляционно эквивалентные положения: поэтому характеры колебательного представления для этих элементов; укол = 2уг. Остальные же поворотные элементы группы О~а представляют собой винтовые вращения и отражения в плоскостях скольжения, получающиеся комбинированием элементов группы Тэ с инверсией (Х~т), где т = 11/2 1/2 1/2): эти элементы совмещают атом в точке (000) с атомом в трансляционно неэквивалентной точке 11/4 1/4 1/4), так что их характоры у,ол = О. Разложение полученного таким образом колебательного представления по неприводимым представлениям точечной группы Оь.
.Р,~„= гзх+ гз ') . Координаты акустических колебаний, описываюп1ие при )с = 0 смещение ячейки как целого, преобразуются как коьшоненты вектора; им ОтВЕЧаЕт, СЛЕДОВатЕЛЬНО, ПРЕДСтаВЛЕНИЕ Рзв, ПО КОТОРОМУ ПРЕ- образуются в группе Оь компоненты вектора. Представление жс У12х ОтВЕЧаЕт тРЕХКРатНО ВЫРОжДЕНПОй ПРЕДЕЛЬНОЙ ЧаетОтЕ оптических колебаний'). ') Во избежание недоразумений, отметим, что классификация предельных частот оптических ветвей колебаний по одной лишь кристаллографической симметрии решатки нЕдОпустима для иогшых криеталлов. Длиииоволиевые оптические колебания ионной решетки сопровождаются появлением макроскопической поляризации кристалла и связанного с иею макроскопического алектрического поля; это поле, вообще говоря, меняет (понижает) симметрию колебаний.
э) Координаты атомов даются по отвошевию к ребрам кубической ячейки (в единицах длины этих ребер). Напомним, что объем кубической граиецоитрироваииой ячейки в четыре раза больше объема ьшемеитарвой ячейки. Основными периодами решетки являются векторы, проведенные из вершины в точки (1/2 1/2 0), (1/2 0 1/2), (О 1/2 1/2) центры граней кубической ячейки. з ) точечную группу Оь можно рассматривать как прямое произведение О х С, или Тэ х СП мы пользуемся здесь вторым из иих.
В соответствии с этим иеприводимые представления группы Ов строим из представлений группы Тю В частности, представления гэ и гэ„точечной группы Оь получаются из представлеиия ге группы Хш отличаясь друг от друга соотве гствеипо четиостью или нечетиостыо по отношению к инверсии (см. П1, э 95). ") Предельная частота акустических колебаний всегда вырождеиа: макроскопическпй характер этих колебаний приводит к одинаковому значению 490 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ Гл. хп! При выходе из точки 1с = 0 вырождение оптических колебаний, вообще говоря, снимается. В зависимости от симметрии величина расщепления может меняться (вблизи точки 1с = 0) как однородная функция первого или второго порядка от компонент вектора 1с. Соответствующий критерий легко получить в терминах квантовомеханической теории возмущений. Гамильтопиан колебаний регпетки с малым волновыл! вектором 1с = Яс имеет вид Йо + уб)с, где Уо гамильтониан колебаний с 1с = О, а у некоторый векторный оператор; член уб1с играет роль возмущения, вызывающего расщепление.
Величина расщепления будет первого порядка по 61с, если оператор э ихлеет отличные от нуля матричные элементы для переходов между. состояниями, относящимися к одной и той же вырожденной частоте колебаний; в противном случае расщепление будет второго порядка по д)с. При этом надо учесть, что оператор у нечетен по отношению к обращении! времени; это следует из того, что нечетен волновой вектор д)с, а произведение уо)с (как и всякий гамильтониан) должно быть инвариантно относительно обращения времени. Таким образом, решение поставленного вопроса сводится к выяснению правил отбора для диагональных (по частоте) матричных элементов векторного оператора, нечетного относительно обращения времени (см.
П1, ~97). Если вырожденная частота отвечает некоторому неприводимому представлению В, то эти правила определяются разложением антисимметричной части его прямого произведения самого на себя: 11Э2): отличные от нуля матричные элементы существуют, если это разложение содержит в себе части., по которым преобразуются компоненты вектора.
Расщеп!Ление заведомо будет второго порядка по д)с, если точечная группа симметрии решетки (кристаллический класс) содержит центр инверсии; это очевидно уже из того, что квадратичный базис представления 111~) заведомо четен относительно инверсии, между тем как компоненты вектора меняют знак при этом преобразоваяии. Если же кристаллический класс не содержит инверсии, то возможны оба случая. Так, для кристаллического класса О антисимметричные произведения самих на себя для двумерного неприводимого представления .Е и трехмерных представлений г'! и Рв ') о! = 0 для всех трех ветвей, даже если это ве вызывается требованиями симметрии. В этом смыгте это вырождение является млучэипым».
1 ) Обозначения неприводимых представлений точечных групп —. см. 111, 1йэб. 136 овойствА онммктгии ногмальных колквлннй гвшктки 491 Компоненты же вектора преобразуются по ЕП поэтому расщепление двукратно вырожденной частоты будет второго, а трех- кратно вырожденных — первого порядка по о14. Обратимся к колебаниям с отличным от нуля волновым вектором. Их классификация в шгучае симк|орфных пространственных групп производится так же, как и в описанном выше случае 1с = О. Неприводимые малые представления совпадают здесь с неприводимыми представлениями точечной группы симметрии вектора 14, а для нахождения колебательного малого представления надо по-прежвему рассматривать атомы только в одной элементарной ячейке. Продемонстрируем эту процедуру на примере оптических колебаний решетки алмаза.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
