V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Полученный результат означает лишь, строго говоря, что флуктуационпое сълещение обращается в бесконечность при неограниченном возрастании размеров (площади) двумерной системы (что допускает рассъютрение сколь угодно малых значений волнового вектора). Но ввиду медленного (логарифмического) характера расходимостн интеграла размеры пленки, при которых флуктуации остаются еще малыми, могут оказаться довольно большими ') .
В таких шзучаях пленка конечных размеров могла бы практически проявлять «твердо-кристаллические» свойства, и для пес можно было бы приближенно говорить о двумерной решетке. Мы увидим в следующеъл параграфе, что эти свойства двумерных систем еще усиливаются при понижении температуры. й 138. Корреляционная функция в двумерных системах Выражение (137.11) определяет средний квадрат флуктуационного смещения в каждой заданной точке двумерной кристаллической системы. Более глубокое понимание свойств таких систем может быть достигнуто путем рассмотрения функции корреляции между флуктуациями в различных точках системы. Прежде всего заметим, что при Т = О двумерная решетка вполне могла бы существовать при любых размерах: расходимость интеграла (137.11) связана именно с тепловыми (Т ф О) флуктуациями; пусть ро(г) -- функция плотности этой системы при Т = Ог).
Определим теперь корреляционнуго функцию флуктуаций плотности при конечных, но достаточно низких температурах (малых по сравнению с дебаевской). В этих условиях в решетке возбуждены,пизнь длинноволновые колебания; другими словами, изъгенение функции плотности определяется в основном длинповолновыми флуктуациями. Пусть атомы в точках г решетки испытывают флуктуационпые смещения и(г). Если функция н(г) мало меняется на расстояниях порядка п<ютоянной решетки (что соответствует интересующим нас флуктуациям с малыми волновыми векторами), то ) То же самое относится к трехмерным телам с одномерной перноднчностькг, для которых интеграл (137.9) расходится логарифмически. г) Здесь и ниже в этом параграфе г = (х, р) -- двумерный радиус-вектор в плоскости системы. кОРРВляционная аункпия В двумВРных сиотвмАх 497 изменение плотности в каждой точке пространства можно рассматривать как результат просто сдвига решетки на величину, равную местному значению вектора смещения.
Другими словами, флуктуирующая п.,ютность запишется как р(г) = ро [г — п(г)], а корреляция между ее флуктуациями в различных точках г1 и гз определяется средним значением (Р(г1)Р(гг)) = (Ро[г1 — н(г1)]Ро[гз — п(гз)]). (138.1) Разложим периодическую функцию р(г) в ряд Фурье (1р (133 2)) Ро(г) = Р + ~', 1 ь .'ьа (13872) ьФВ где Ь-. векторы обратной решетки (плоской); из суммы выделен постоянный член р. При подстановке этих рядов в (138.1) и усреднении члены с произведениями рврЬ~ с Ь' ~ — Ь, как мы увидим ниже, выпадают. Произведение же с Ь = — Ь дает в (138.1) вклад ~рь| ехр[1Ь(г1 — гв)](ехр[ — гЬ(п1 — пз)]) (138.3) (для краткости пишем п(г1) = п1, н(гз) = пз). Распределение вероятностей для флуктуаций вектора смещения дается формулой (137.2), в которой Ахг„-- квадратичный функционал от н(г).
Если рассматривать значения н(г) в различных (дискретных) точках пространства как различные флуктуирующие величины та (а = 1, 2,... ), то это значит, что распределение вероятностей для них гауссово. Тогда можно воспользоваться для усреднения в (138.3) форь1улой /1 (ехр(оала)) = ехр~ сРаоь(таль)х (см, задачу к 3 111), что дает 1 (ехр[ — гЬ(п1 — пг)]) = ехр( — -6,611Г11), (138.4) где 1~17(г) = ((и11 — и1в)(ип — и1з)) = 2(игп1) — (ипиьз) — (и12ип) (г = г1 — г2).
Остается подставить сюда п1 и н2 в виде разложений (137.1). Заметив при этом, что средние значения (и,1ЯН1ь ) равны нулю при 1г' 71 — 1г, а при 1г' = — 1г они даются выражениями (137.11), получим 498 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ Гл. хп! Этот интеграл сходится при малых к, поскольку множитель (1 — сов 1сг) Оо аз при г' — э О1) . Со стороны же болыпих значений Й интеграл логарифмически расходится. Эта расходимость связана в действительности лишь с неприменимостью использованных приближений при больших к' при й > кш „ Йскшах Т (с - скоРость звУка; см. 3110) флУктУаЦии пеРестают быть классическими (при низких температурах это условие нарушается раньше, гем условие Й» 1/а, где а - постоянная решетки).
Замечая также, что при болыпих а член с быстро осциллирующим множителем сов)сг в подынтегральном выражении может быть опущен, находим ;„!1(г) = — А11 1п(й„„!') (138.6) (черта над Ап означает усреднение по направлениям вектора )с в плоскости). Искомую корреляционную функцию мы получим теперь, подставив (138.6) в (138.3), (138.4) н просуммировав по Ь; асимптотический закон убывания этой функции с расстоянием г определяется наименее быстро убывающими членами суммы: (р(г1) р(гг)) — р схз ., соэ Ьг! гть = — 6!ф!А!1, (138.7) — й )рь!в 1 Гчь к ' где нужно выбрать члены с такими векторами Ь, для которых величина сгь имеет наименыпее значение. Таким образом, в двумерной решетке корреляционная функция хотя и стремится к ну,тю при г -э ОО (в противоположность трехмерной решетке, где она стремится к конечному пределу), но лишь по степенному закону, причем тем более медленному, чем ниже температура') .
Напомним для сравнения, что в обычной жидкости корреляционная функция убывает по гораздо более быстрому, экспонснциальному закону (см. 8 116). Подчеркнем, что по своим механическим свойствам рассматриваемые двумерные тела являются твердокристаллическими. 1 ) Проследив за происхождением этого множители, заъ!етим, что он возник в результате равенства Ь' = — Ь в (138.3). Легко убедиться, что при Ъ ф — Ъ сокращений в подынт!шральном выражении не происходит и интеграл расходится. Поскольку эти интегралы входят в показатель экспоненты (ср.
(138.4)), то их расходимость приводит к обращению в нуль соответствующих вкладов в корреляционную функцию, !) Корреляционная функция такого вида была найдена Райсом ( Т. М. В!се, 1965) для другого двумерного об ьекта (двумерного сверхпроводника), а для двумерной решетки — йнковичи (В. Уапсое!с1, 1967) и В.Л. Березинским (1971). 499 СИММЕТРИЯ ПО ОРИЕНТАЦИИ МОЛЕКУЛ Это видно уже из того, что они характеризуются несколькими упругими модулями, а не только модулем всестороннего сжатия как жидкость. Заметим также, что корреляционная функция С138.7) анизотропна. Аналогичные, хотя и несколько более громоздкие вычисления приводят к закону такого же типа и для корреляционной функции в трехмерной системе с функцией плотности р(л). й 139. Симметрия по ориентации молекул Условие р = сопвг есть необходимое, но отнюдь нс достаточное условие изотропности тела.
Это ясно видно из следующего примера. Представим себе тело, состоящее из молекул удлиненной формы, причем все положения в пространстве молекулы как целого Сее центра инерции) равновероятны, но оси молекул ориентированы преимущественно в одну сторону. Ясно, что такое тело будет анизотропным, несмотря на то, что для каждого из входящих в состав молекулы атомов будет р = сопвс. Свойство, о симметрии которого при этом идет речь, можно сформулировать как взаимную корреляцию между положениями различных атомов. Пусть рсасйг2 есть вероятность нахождения атома 2 в элементе объема с1РЕ при заданном положении атома 1 сири этом обычно речь идет об атомах различного сорта); р12 есть функция от координат г1 и гз двух атомов, и свойства симметрии этой функции определяют симметрию тела (у которого р = сопвс).
Постоянство функции плотности р означает, что перемещение частей тела д1зуг относительно друга Сбез изменения их объема) не приводит к какому-либо изменению равновесного состояния тела, .т.е. изменению его термодинамических величин. Это есть как раз то свойство, которое характеризует жидкости (как и газы). Поэтому гела с р = сопвс и анизотропной функцией корреляции р12 представляют собой определенную категорию Оссидких кристаллов анизотропных текучих тел.
Сюда относятся тела с анизотропным распределением молекул по их ориентации в пространстве. В смысле симметрии этого распределения возможны две категории случаев. В одной из них (так называемые иематические жидкие кристаллы) корреляционная функция зависит только от разности г1у = гс — гу, при изменении длины вектора гс2 и сохранении его направления она не Обнаруживает никакой периодичности (хотя и может испытывать колебания, затухающие по мере увеличения гс2). Другими словами, такая функция пе имеет трансляционной симметрии, и ее группа симметрии 500 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. ХП! может складываться лишь из различных поворотов и отра>кений, т.е, представляет собой какую-либо из точечных групп.
С чисто геометрической точки зрения это может быть любая из точечных групп с осями симметрии произвольного порядка. По-видимому, однако, подавляющее большинство известных нематических жидких кристаллов имеют ось полной аксиальной симметрии, причем оба направления вдоль этой оси эквивалентны. Такими свойствами обладают точечные группы С, а, Р, Р а ') . Мы увидим, однако, в следующем параграфе, что симметрия Р,., (не содержащая никаких плоскостей симметрии) приводит к неустойчивости состояния жидкого кристалла, в результате чего автоматн гески появляется определенная «вторичная» периодическая структура, характерная для жидких кристаллов другой категории-- так называемых саолестерпческит. Помимо двух пере гисленных категорий, существуют еще и другие анизотропные жидкие вещества разнообразной слоистой структуры, которые принято объединять в группу смектическищ жидких кристаллов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
