V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Такие представления называют прпекшипнымгг. Все существенно различные проективные представления могут быть раз и навсегда перечислены для каждой из точечных групп, и затем использованы в качестве малых представлений при построении неприведимых представлений пространствЕнных гругш. Изложение теории проективных представлений и таблицы проективных представлЕний кристаллеграфичсских точечных групп можно найти в книге: Бар Г. Л., Пикус Г.Б.
Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках. -Мл Наука, 1972. 1 уа4 нкпгиводимык пгкдатавлкния пгоатганотвкнных ггхпп 479 Продемонстрируем этот способ на конкретном примере. Рассмотрим пространственную гру|шу Хтз~а, относящуюся к простой ромбической решетке Бравэ и содержащую следующие поворотные элементы '): (Е!0), (Сз'/0), (Сзд/0), (С2!0), (Рт), (п,.~т), (а ~т), (сг-~т), где оси ш, у, к направлены вдоль трех основных периодов решетки, а т = (ау+ аз + аа)/2 (оси симметрии С2 простые, а перпендикулярные им плоскости сг плоскости скольжения).
Выберем, например, вектор 1с = (1/2,0,0), (134.5) где числа в скобках дают значения составляющих вектора по осям обратной решетки., измеренные в единицах длин ребер (Ь; = 2зг/а,) ео ячейки. Собственная симметрия этого волнового вектора содержит все оси и плоскости точечной группы кг21„ так что этот вектор сам по себе составляет звезду. Расширенная грузша получается добавлением трансляции (Е~аг), для которой 1га/2л = 1/2.
В результате получим группу из 16 элементов, распределенных по 10 классам, как показано в верхнем ряду табл. 2. В сопряженности (т. е. принадлежности к одному Таблица 2 классу), например, элементов (Сд~0) и (Сзе1ау) можно убедиться следующим образом. Имеем (7/т) '(С2 /0)(1!т) = (7! — т)(С2"!0)(7!т) = = (7( — т)(С2л7~С2т) = (С") — т+ С~~т). Существуют также полные таблицы неприводимых представлений пространственных групп, которые можно найти в книгах: Ковалев С. В. Непрнводимые и индуцированные представления и копредставления федоровских групп. — Ы.: Наука, 198б1 Вгойеу С. Х, Сгасйпен А. Р. ТЬе гпаЕЬешамса1 1Ьеогу ог вушше1гу ш яо!Ыя.— Охотой С1агепгуов Ргеяч, 1972. ') пространственные группы принято обозначать символом кристаллического класса, дополненным верхним индексом-- условным номером группы в данном классе.
480 аиммвтгии кгисталлов гл. хш Но л 1 Сзлт = — ( — н1 + аз — нз), С "т — т = — а1 — нз = н1 — (2н1 + аз), а поскольку трансляции на аз и на 2н1 должны рассматриваться как тождественное преобразование, то (Т(т) ~(Сз(0)(1~т) = (Сз~~а1). По числу элементов и числу классов в группе находим, что она имеет 8 одномерных и 2 двумерных неприводимых представлений (8 1з+2 2з = 16).
Все одномерные представления получаются из представлений точечной группы Рзл, причем трансляции (Е~нз) приписывается характер 1. Эти представления, однако, возникают здесь как «паразитпые» и должны быть отброшены. Они пе соответствуют поставленному вопросу: функции их базиса инвариантны по отношению ко всем трансляциям, между тем как функция схр(11сг) с данным 1с заведомо не инвариантна по отношению к трансляции (Е~н1). Таким образом, остаются всего два неприводимых представления, характеры которых указаны в табл.
2. Функции базиса этих представлений могут быть выбраны в виде Г1 . .совки, вшют; Гз. созявяп2тдб зшявяп2лд (координаты т, у, л измеряются в единицах длин соответствующих псрипдпв Н1 аэ, аЗ). Рассмотрим еще представления, отвечающие звезде двух век- торов 1с = (1/2,0, х), (1,12,0, — х) (134.6) с собственной симметрией Сз„(ось Сз вдоль оси в): здесь произвольное число между 0 и 1 (кроме 1~з2). Расширенная группа 1с содержит восемь элементов, распределенных по пяти Таблицаз классам (табл. 3). (Зависимость от з функций базиса представлений этой группы сводится к общему множителю ехр(2ягнз) или ехр( — 2к1нг), инвариантному относительно всех преобразований группы; поэтому расширять группу трансляциями вдоль оси з не надо). Имеется четыре одномерных и одно двумерное ОимметРия ОтнОсительнО ОБРА!пения БРемени 481 неприводимые представления этой группы. Одномерные представления должны быть отброгпены по той же причине, что и в предыдущем случае, так что остается всего одно представление, характеры которого даны в табл.
3. Функции его базиса могут быть выбраны в виде Ешххт ' СОВ ЯХ, Е+Я ' ' Егн КХ со знаком плюс или минус в показателе, соответствегшо для первого и второго из векторов (134.6); полное неприводимое представление всей пространственной группы четырехмерно и осуществляется набором всех этих четырех функций.
9 135. Симметрия относительно обращения времени В физических применениях теории групп симметрии на их представления обычно накладывается дополнительное требование: функции базиса представления должны быть вещественными (точнее допускать приведение к вещественному виду). Это требование возникает как следствие симметрии по отношению к обращению времени. В квантовой механике в силу этой симметрии комплексно-сопряженные волновые функции должны отвечать одному и тому же уровню энергии квантовой системы и потому должны входить в число функций базиса одного и того же физически нег1р1лнодимого представления (с1ь 111, 3 96). В классической же теории эта симметрия выражается инвариантностью уравнений движения по отнопгению к замене 1 — у — 1 (уравнения содержат производные по времени четного второго порядка).
Именно в результате этого уравнения для смещений и, атомов в решетке остаются вещественными, когда их решение ищется в комплексном ( е ™) виде (69.6); амплитуды этих выражений могут, следовательно, быть выбраны вещественными ') . Вещественные функции базиса остаются, конечно, вещественными и в результате воздействия всех элементов симметрии; другими шювами, вещественны и все матрицы представления группы.
Если же некоторое пеприводимое представление пе удовлетворяет этому требованию, то оно должно быть объединено с комплексно-сопряженным ему представлением в одно физически неприводимое представление вдвое болыпей размерности. Рассмотрим с этой точки зрения случаи, которые могут иметь место для представлений пространственных групп (С. Нег тд, 1937).
) Это, однако, уже не так при наличии магнитного поля или в кристаллах с магнитной структурой. 16 Л.Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, тоц У 482 СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. ХП! Наиболее прост в этом смысле случай, когда звезды волновых векторов 1с и — 1с нс совпадают друг с другом. В таком случае неприводимые представления, построенные на каждой из этих звезд, заведомо комплексны. Так, для звезды к функции базиса представлений умножаются при трансляциях (Е~а) на множители е™! среди которых нет взаимно комплексно-сопряженных; ясно поэтому, что никаким выбором линейных комбинаций этих функций нельзя привести матрицы преобразований к вещественному виду. С другой стороны, произведя комплексное сопряжение этих функций, мы получим комплексно-сопряженное представление, относящееся к звезде вектора — 1с.
Объединением этих двух представлений мы и получим вещественное представление. Таким образом, для получения физически неприводимого представления в звезду волнового вектора надо включить наряду с каждым 1т также и вектор — 1с. Другими словами, для получения всей нужной звезды надо применить к некоторому исходному К все элементы группы направлений, дополненной центром симметрии. Если же звезда волнового вектора уже с самого начала содержит все нужные значения к, то этим еще отнюдь не гарантируется вещественность построенных на них неприводимых представлений. Продемонстрируем это на простом примере. Рассмотрим симморфпую пространственную группу ЯА, от- 1 носящуюся к кристаллическому классу Я4 и имеюшую простую тетрагональную решетку Брава.
Рассмотрим в этой группе представления, отвечающие звезде двух векторов 1с = (О,О,АГ), (0,0, — АГ), (135.1) где ось я направлена вдоль оси симметрии 54! а АГ произвольное (отличное от 1!!2) число между 0 и 1. Собственная симметрия этих векторов: Сз, .эта точечная группа имеет два одномерных представления с характерами: ! Взяв первое из них в качестве малого представления, получим двумерное представление всей пространственной группы, базис которого может быть выбран в виде комплексно-сопряженных функций ехр(х2!ГЫВ); это представление, следовательно, вещественно.
Малому же представлению В отвечает двумерное представление всей группы, осуществляемое базисными функциями ехр(2ГГГАГВ) сов 2лх, ехр( — 2ягАГВ) Вш 2хх. ОИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОБРА1ПЕНИЯ БРЕМЕНИ 483 Характеры поворотных элементов группы в этом представле- (Е!0) (О4!0) ГСэ!0) ГО4)0) 2 0 — 2 0 а характеры трансляциий: (Цаг) (Е(ав) ГЕ~аз) 2 2 2соа 2км Все эти характеры вещественны, но представление тем не менее комплексно; функции его базиса не могут быть преобразованы к вещественному виду. Физически неприводимое представление получается присоединением к этим функциям также и их комплексно-сопряженных. Таким образом, физически неприводимое представление получается в данном случае объединением двух комплексно-сопряженных, но эквивалентных (с одинаковыми характерами) представлений ') .
В рассмотренном примере симметрия относительно обращения времени приводит к удвоению размерности физически неприводимого представления для значений волнового вектора, заполняющих прямую линию (ось симметрии) в )с-пространстве. Существуют также и сщу.чаи, когда такое удвоение происходит для значений )с, заполняющих целую плоскость в )с-пространстве. Именно, речь идет о плоскости, перпендикулярной к винтовой оси второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
