V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Гранецентрированной решетке Брава этой структуры отвечает объемноцентрированная кубическая обратная решетка. В точке 1с = О (вершина кубической ячейки) собственная симметрия волнового вектора ОА, и имеется (как было выяснено выше) одна трехкратно вырожденная частота оптических колебаний, отвечающая представлению и'28, характеры этого представления '1: Е 8Сз ЗСз ба' 654 1 8ооз Зо 6Сз 6С4 Езз.3011130 — 11 — 1 Проследим за расщеплением этой частоты при выходе из точки 14 = О.
При смещении вдоль пространственной диагонали кубической ячейки вектор 14 приобретает собственную симметрию СЗ,. По отношению к этой группе представление, осуществляемое теми же тремя колебательными координатами, приводикло: Е 2Сз Зп' 3 0 1 =Е+Лп т. е. трехкратно вырожденная частота расщепляется на одну двукратно вырожденную и одну невырожденную. Такого же типа расщепление произойдет при смещении вдоль ребра кубической ячейки, где собственная симметрия волнового вектора — Сзв: Е Сз 2С4 2о 2о' 3 — 1 — 1 — 1 1 = Е4-Ез.
При смещении вдоль диагонали грани кубической ячейки собственная симметрия вектора 1с понижается до Сэю и расщепле- 1 ) Перечислены сначала элементы симметрии, входящие в точечную группу Тю а затем- элементы, получающиеся умножением предыдущих па инверсию Е Элементы ЗСз — повороты на угол я вокруг осей, проходящих через ребра кубической ячейки; 6Сз †.повороты на я вокруг диагоналей граней кубической ячейки; бп' — отражения в плоскостях, проходящих через противоположные ребра кубической ячейки; Зо — отражения в плоскостях, совпадающих с гранями ячейки. 492 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ Гл. хп! ние ластот полное: Е Сл а о' 3 1 — 1 1=А!+А +Ве.
Для кристаллических решеток несимълорфных пространственных групп процедура классификации нормальных колебаний более громоздка, и мы па этом останавливаться не будем ') . 9 137. Структуры с одно- и двумерной периодичностью Характерной особенностьк> твердых кристаллов является трехмерная периодичность функции плотности р(х, у, я) ! простирающаяся на неограниченные расстояния. Рассмотрим вопрос о возможности существования в природе тел, у которых функция плотности бы.ла бы периодичиа лишь в одном или двух измереншлх (Т7.
Релег!з, 1934; Л.Д. Ландау, 1937). Так, тело с р = р1х) можно было бы представлять себе как состоящее из правильным образом расположенных друг относительно друга параллельных плоскостей (перпеллдикулярллых к оси х) ! в каждой из которых, однако, атомы расположены беспорядочным образом. При р = р(х, 9) атомы были бы расположены беспорядочным образом вдоль линий (параллельных оси з), в то время как сами эти линии располагались бы правильным образом друг относительно друга.
Для исс.тедования поставленного вопроса рассмотрим смещения, испытываемые малыми участками тела в результате тепловых флуктуаций. Ясно, что если такие смещения будут неограниченно возрастать с увеличением размеров тела, то это автоматически приведет к «размыванию» функции р, т.е. возникнет противоречие со сделанным предположением. Другими словами, могут осуществляться лишь такие структуры, для которых среднее смещение остается конечным при сколь угодно болыпих размерах тела.
Проверим прежде всего, что это условие выполняется для обычного кристалла. Обозначим через п(х,у,я) вектор флуктуяциош!ого смещения малого участка г, координатами х, лб з и представим его в виде ряда Фурье П=~~ П1ЕЛ ", (137.1) причем компоненты вектора 1л пробегают как положительные, так и отрицательные значения, а коэффициенты пь связаны соотношениями п и = п~, следующими из вещественности и. В 1 ) Примеры, относящиеся к таким группам, можно найти В указанной на с. 478 книге ГА Б Бира и Г. Е.
Пикуса. ОТРуктуРЫ О ОДВО- и дауыеРВОЙ пеРиОдичнООтыО 493 ряде (137.1) будут присутствовать ли|пь члены с не слишком болыпими волновыми векторами (й ~ 1/с1, где г1 линейные размеры смещающегося участка). Будем рассматривать флуктуации при постоянной температуре; их вероятность определяется тогда формулой ш ОО Рхр( — 1.'гг'„7'Т), (137.2) где гз?"„= (г" — Г) гЛ: (137.3) есть изменение полной свободной энергии тела при флуктуации, а г' обозначает теперь свободную энергию, отнесенную к единице обьема тела (ср. (116.?)).
Для вычисления гхг„надо разложить г' — и' по степеням смещения. При этом в разложение войдут не сама функция п(т, у, е), а лишь ее производные,, поскольку рссзность и — Е должна обрагцаться в нуль при и = сопв1, что соответствует простому смещению тела как целого. Далее очевидно, что линейных по производным членов в разложении не может быть: в противном шчучае Г не мошю бы иметь минимума при и = О.
Далее, вследствие малости волновых векторов 1с в разложении свободной энергии можно ограничиться членами, квадратичными по первым производным от и, пренебрегая членами, содержащими производные высших порядков. В результате найдем, что гаГ имеет вид д? и 1 2~~ ппгндсРИ(~х~ ~у~ )са)~ (137 '1) где элементы вещественного тензора узп (1, 1 - тензорные индексы, по которым подразумевается суммирование) -- квадратичные функции компонент вектора 1с') .
Согласно (111.9) находим отсюда для средних квадратичных флуктуаций фурье-компонент вектора смеп1ения (ип,и1й) = — ~р,,~(Ц,?гу, И,), (ип,ип, ) = О при 1с' ф — 1с, (137.5) где уз,. компоненты тензора, обратного тснзору ~рп'). Для большей наглядности представим это выражение в виде (иейий,) =— Т Ап(п) (137.6) ) г1депы с произведениями и,яиж ехр(г(1г+ к )г) с к ~ — 1г исчезают при интегрировании по объему.
з)Для установления общего чистенпого коэффициента в (137.5) надо учесть, что каждое произведение и,ки~е входит в (137.4) дважды (~Ц, давая 2 11е(и,еи~*„), а вещественная часть произведения и,е и~я сама есть сумма двух независимых произведений. 494 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ Гл. хп! — — 'Р' ~ (и ! ~з~р! ''Р„эгэ) (137.8) ! ) Напомним, что написанный вид подынтегрального выражения относится лишь к не слишком большим зна гениям А. где величины А!! зависят только от направления вектора 1с (и = 1сГ!Й).
Средние значения (п,м!) получаются из (137.6) суммированием по 1с) перейдя обычным образом от суклмирования по 1с к интегрированию, получим, например! для среднего квадрата вектора сме!цения ,, „я)в, „я)в Этот интеграл ') сходится па нижнем пределе 1)с -э 0) как первая степень й. Таким образом, .средний квадрат флуктуационного смещения оказывается, как н следовало, конечной величиной, не зависящей от об"ьема тела. Рассмотрим далее тело с функцией плотности р = р(т). Поскольку в направлениях осей у и г в таком теле р = сопв$, то никакое смещение вдоль этих осей не может «размазать» функцию плотности, а поток!у не представляет для нас интереса. Надо, следовательно, рассмотреть только смещение и,.
Далее легко видеть, что первые производные ди /ду, ди /дя вообще не могут входить в разложение свободной энергии: если повернуть те.ло как целое вокруг оси у или я, то эти г!)эоизводные изменятся, между тем как свободная энергия должна, очевидно, остаться неизменной. Таким образок|, в разложении г' — г' надо рассмотреть следующие квадратичные по смещению члены; (ди ) ди,, (д и д'и,.) (д!и„д иь)а Для некоторого упрощения формул мы сделали не влияющее па результат предположение об изотропии в плоскости у я. Тогда производные по д и я должны входить в симметричной комбинации. При подстановке в (137.3) написанные выражения дадут соответственно члены вида ~и, к~ И,п ~ияк~ )с х, ~и к~ х, где хт = й~~ + гс~.
Хотя последние два выражения содержат более высокис степени ком)юнент волнового вектора, чем первое, однако они могут быть одинакового порядка величины с ним, поскольку об относительной величине !с. и х заранее ничего не известно. Таким образом, изменение свободной энергии будет иметь вид 495 ОТРуктуРы О ОднО- и двуывРнОЙ ННРиОдичнООтью где ез квадратичная функция переменных к и зс .
Вмес- 2 то (137.7) будем теперь иметь х 1:л(ь хге) (2я)з Яяз 1 1Р()с хге) Но этот интеграл логарифклически расходится при к. -+ О. Расходимость среднего квадрата смещения означает, что точка, к которой относится определенное значение р(х), может сме1цаться на очень большие расстояния: другими шювами, плотность р(л) еразмажетсяа по всему телу, так что никакая функция р(л) (кроме тривиальной р = сонями) не оказывается возможной. Аналогичные рассуждения в случае тела с р = р(и,р) приводят к следующему выражению для средних квадратов сме1цения: , 2, 2 Т ~' гИ,.~ЙРМЬ, У (2 )З / (Ь к Ье) ~ (137. 10) ) Таковыми являются мономолекулярные адсорбционные пленки, расположенныс на границе между двумя изотропными фазами — см. 2 159.
где снова 1р квадратичная функция своих аргументов. Этот интеграл, как легко видеть, сходится на нижнем пределе, так что среднее флуктуационное смещение остается конечным. Таким образом, тела с такой структурой лгогут существовать; по-видимому, такую структуру имеют некоторые из так называемых дискотичсских жидких кристаллов. До сих пор в этом параграфе речь шла о трехмерных телах, и лишь упорядоченность расположения атомов в них предполагалась двух- (или одно-) мерной. Рассмотрим теперь вопрос о возможности упорядоченного расположения атомов в двумерных системах с атомами, заполняющими лишь некоторую поверхность'). Двулгерным аналогом обычных твердых кристаллов являлась бы пленка, в которой атомы расположены правильным образом в узлах плоской решетки.
Это расположение могло бы быть описано функцией плотности р(т, у) (имеющей теперь другой - по сравнению с рассмотренным выше случаем -- смысл, так как рассматриваются только атомы на одной поверхности = сопвЦ. Легко, однако, видеттн что тепловые флуктуации еразмываюта такой кристалл, так что единственной возможностью оказывается р = сопв1.
Действительно, средние значения произведений компонент флуктуационного смещения ц (в плоскости хр) определяются снова формулами вида (137.6), (137.7) с той разницей, что интегрирование будет теперь производиться 496 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ Гл. хп! по двумерному 1с-пространству; (137.11) / 1сг (9я) г и инте! рал логарифмически расходится при ь — ъ О. Здесь необходимо, однако, сделать следующую оговорку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
